2022-2023学年新疆乌鲁木齐市新市区集团校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆乌鲁木齐市新市区集团校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  要使有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在平行四边形中，，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是(    )

A. ， B. ，，
C. ，， D. ，，

4.  下列计算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，平行四边形的对角线交于点，且，的周长为，则平行四边形的两条对角线的和是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图为某楼梯，测得楼梯的长为米，高米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

7.  如图，已知在矩形中，对角线，相交于点，于点若：：，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离(    )

A. 变小
B. 不变
C. 变大
D. 无法判断

9.  如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

10.  若一个直角三角形两边的长分别为和，则第三边的长为          ．

11.  若实数、满足：，则 ______ ．

12.  如图，在▱中，，，以点的圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为__________．
 

13.  如图，一只蚂蚁从点沿圆柱表面爬到点，圆柱高为，底面半径为，那么最短的路线长是______．

14.  如图，点所表示的数是______ ．

15.  如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为______．
 

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  已知，，分别求下列代数式的值：

．

四、解答题（本大题共7小题，共47.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，四边形的对角线，交于点，，，求证：四边形是平行四边形．

19.  本小题分
有一块空白地，如图，，，，，，试求这块空白地的面积．
 

20.  本小题分
如图，平面直角坐标系．
在图中描出，，
连接、、，试判断的形状；
求的面积．
 

21.  本小题分
如图，将▱的边延长至点，使，连接，，，交于点．
求证≌；
若，求证四边形是矩形．

22.  本小题分
如图，中，，，，点是边上一点若沿将翻折，点刚好落在边上点处，求的长．

23.  本小题分
如图，在中，点是边上的一个动点，过点作，交的平分线于点，交的外角平分线于点．
求证：；
当点位于边的什么位置时，四边形是矩形？并给出证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：要使有意义，即．
故选：．
根据二次根式被开方数为非负数即可求的出取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件就是被开方数为非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
．
故选：．
根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的除法运算、乘法运算、加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的加减法则和乘除法则．
结合选项分别进行二次根式的除法运算、乘法运算、加减运算，然后选择正确选项．
【解答】
解：、，原式计算正确；
B、，原式计算正确；
C、，原式计算正确；
D、，原式计算错误．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
的周长为，
，
，，
平行四边形的两条对角线的和，
故选：．
由平行四边形的性质和已知条件计算即可，解题注意求平行四边形的两条对角线的和时要把两条对角线可作一个整体．
本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形的基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

6.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是米．
故选：．
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
此题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形矩形，
，，，，
，
，
：：，

，
，
，
．
故选：．
由矩形的性质得到，，得到，由：：，求出的度数，即可求出的度数，从而求出的度数．
本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是掌握矩形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：在木棍滑动的过程中，点到点的距离不发生变化，
理由是：连接，
，为中点，，
，
即在木棍滑动的过程中，点到点的距离不发生变化，永远是；
故选：．
根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出，即可得出答案．
此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
，
，
根据折叠可得：，，
设，则，，，
在中：，
，
解得：，
故选：．
首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，，设，则，，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

10.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
由于直角三角形的斜边不能确定，故分是斜边与直角边两种情况进行解答．
【解答】
解：分情况讨论：
当和为两条直角边时，由勾股定理得第三边长为：；
当为斜边，为直角边时，由勾股定理得第三边长为：，
故答案为：或．  

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，
则，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出，计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．根据作图过程可得平分；再根据角平分线的定义和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长．
【解答】
解：根据作图的方法得：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：连接，
圆柱的底面半径为，
，
在中，，
，即最短的路线长是；
故答案为：．
首先根据画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可．
此题主要考查了圆柱的平面展开图，最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，
，
表示的数是，
故答案为：．
根据题意求出的值，即可知的值，进而求出的值，进而求出答案．
本题考查数轴上的有理数，关键要了解有理数分两部分，一是性质符号，二是绝对值．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查最短路径问题，勾股定理等知识点．
由于，这两个三角形等底同高，可得点在线段的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得此时最小，有勾股定理可求结果．
【解答】
解：

为矩形，
，
又，
点到的距离与到的距离相等，即点在线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且，
故答案为：．  

16.【答案】解：，，
，，
则

；

由知，


． 

【解析】先由、计算出、，再代入计算可得；
将代入计算可得．
本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
先算乘除法，再算加法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】证≌，得，再由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：连接，
在中，
米，米，
，
米负值舍．
在中，
，．
，
为直角三角形，．
平方米．
答：这块空白地的面积是平方米． 

【解析】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形．
连接，根据勾股定理可求出的长，再证明为直角三角形，根据空白地的面积面积面积即可计算．
 

20.【答案】解：如图所示：

，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
的面积． 

【解析】

【分析】
此题主要考查了描点，勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形，算出、、的长．
根据题目中给出的点的坐标描出点；
连接、、，利用勾股定理结合网格算出、、的长，根据数据可得到，由勾股定理逆定理可得是直角三角形；
根据三角形面积公式计算即可．  

21.【答案】证明：在平行四边形中，，，，则．
又，
，
四边形为平行四边形，
．
在与中，
，
≌；

由知，四边形为平行四边形，则，．
四边形为平行四边形，
，
即．
又，，
，
，
，
即，
平行四边形为矩形． 

【解析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形，然后由推出两三角形全等即可；
欲证明四边形是矩形，只需推知．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．
 

22.【答案】解：在中，，，，
，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
设，则，
在，，
，
解得：，
． 

【解析】先根据勾股定理求出，根据折叠可知，，，则，，，则，在，根据勾股定理列出方程，求解即可．
本题主要考查勾股定理、折叠的性质，利用折叠前后图形的对应边和对应角相等，再根据勾股定理列出方程是解题关键．
 

23.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
同理，，
，
故；
当点位于边的中点时，四边形是矩形．
由知，
又为边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形． 

【解析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形及矩形的判定与性质，是一道有一定的综合性的好题．
由于平分，，故，，同理可得，故；
根据平行四边形的判定定理可知，当时，四边形是平行四边形．由于、分别是与的平分线，故是直角，则四边形是矩形．