2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列方程中，是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B. 、、为常数
C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在中，，，的对边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的是(    )

A. ：：：： B. ，，
C. ， D.

5.  如果一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围为(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

6.  某校要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛场双循环，计划安排场比赛，设有支球队，可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端也外移，则梯子的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知是方程的一个根，则代数式的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

9.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在平面直角坐标系中，将若干个边长为个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边的路线运动，设第秒运动到点为正整数，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.  若二次根式有意义，则的取值范围为______ ．

12.  已知直角三角形的两边的长分别是和，则第三边长为______．

13.  若，则的值是______ ．

14.  如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面圆的周长为．
点位于盒外底面的边缘，如果在处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是______ ；
将图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点距离下底面，此时蚂蚁从处出发，爬到盒内表面对侧中点处如图，则蚂蚁爬行的最短路程是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.  计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计，该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率．

18.  本小题分
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为，每个小格的顶点叫做格点，其中格点已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图不需要写画法．
在图中画一个，使其三边长分别为，，；
在的条件下，边上的高为______ ．

19.  本小题分
已知关于的方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
设方程的两个根分别为，，若，求的值及方程的根．

20.  本小题分
如图，四边形中，，，，，求四边形的面积．

21.  本小题分
阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以可其进一步化简：；一
；二
三
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：四
请用不同的方法化简．
参照三式化简；
参照四式化简．
若有理数、满足，求的值．

22.  本小题分
直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．
若每件售价为元，则日销量是______ 件
若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件元为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过中的售价，则该商品至少需打几折销售？

23.  本小题分
如图，和均为等腰直角三角形，，，现将绕点旋转．

如图，若、、三点共线．
若，，求．
若，求点到直线的距离；
如图，连接、，点为线段的中点，连接求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，与是同类二次根式，故正确；
B、，与不是同类二次根式，故错误；
C、，与不是同类二次根式，故错误；
D、，与不是同类二次根式，故错误；
故选A．
根据同类二次根式的定义进行选择即可．
本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
C、整理得：，是一元一次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意．
故选：．
本题根据一元二次方程的定义解答即可．
本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项正确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
本题主要考查了二次根式的乘除法、加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
 

4.【答案】 

【解析】解：，：：：：，
最大角，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边不能组成直角三角形，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
，
，
是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据三角形的内角和定理和已知求出的度数，即可判断；根据勾股定理的逆定理即可判断和；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可判断．
本题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形内角和定理等于是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
，
，
且，
故选：．
根据判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：设有支球队，每两队之间都赛场双循环，计划安排场比赛，
，
故选：．
设有支球队，根据题意每两队之间都赛场双循环，每支球队比赛场，列出一元二次方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，依题意，得，，
在中，根据勾股定理

在中，根据勾股定理
，
，
解得，
，
故选：．
设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求出的长度．
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，找到为梯子长等量关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
将代入方程成立，得：，
即：，
将上式代入中得：，
，
．
故选：．
将代入方程得，然后整体代入得结果，最后根据得范围确定结果的范围即可；
本题考查了一元二次方程的根，判断无理数的范围，整体代入等知识点，整体代入的运用是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：有意义，
，
，
，
原式，
故选：．
根据二次根式的意义，可知有意义，进而可求，利用的取值范围，易化简所求代数式，然后合并即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是注意先根据求出的取值范围．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，

图中是边长为个单位长度的等边三角形，
，
，
，，
同理，，，，，

中每个点的纵坐标规律：，，，，，，
点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，秒钟走一段，
运动每秒循环一次，
点的纵坐标规律：，，，，，，，
点的横坐标规律：，，，，，，，，
，
点的纵坐标为，
点的横坐标为，
点的坐标，
故选：．
通过观察可得，每个点的纵坐标规律：，，，，，，点的横坐标规律：，，，，，，，，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，秒钟走一段，运动每秒循环一次，点运动秒的横坐标规律：，，，，，，，，点的纵坐标规律：，，，，，，，确定循环的点即可．
本题考查点的坐标变化规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，勾股定理，确定点的坐标规律是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数即可求解．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】
解：依题意，得
，
解得．
故答案是：．  

12.【答案】或 

【解析】

【分析】
此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：是直角边，是斜边；、均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】
解：长为的边是直角边，长为的边是斜边时：
第三边的长为：；
长为、的边都是直角边时：
第三边的长为：；
综上，第三边的长为：或．
故答案为或．  

13.【答案】 

【解析】解：令，
则原方程可变形为：，
整理得到：，
解得：或，
，
，
故答案为：．
令，则原方程可变形为：，整理后得到：，解方程即可．
考查了换元法解一元二次方程的知识，解题的关键是能够代入降次，难度不大．
 

14.【答案】   

【解析】如图，把圆柱侧面展开，在中，

，，
，
故答案为：．
如图所示，点与点关于对称，可得，，

则最短路程为，
故答案为：．
把圆柱侧面展开，在中，利用勾股定理求解即可．
将圆柱侧面展开，得到矩形，作点关于的对称点，构造，根据勾股定理求出即可解决问题．
本题考查了勾股定理求线段最短距离，轴对称的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式
 

【解析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得．
 

16.【答案】解：


，
解得：，． 

【解析】首先把方程整理成一般形式，进一步因式分解求得方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，根据式子的特点，灵活分解因式求得答案即可．
 

17.【答案】解：设该汽车销售量的月均增长率为，
根据题意列方程：，
解得不合题意，舍去，
答：该品牌汽车销售量的月均增长率． 

【解析】设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，等量关系为：月份的销售量增长率月份的销售量，把相关数值代入求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，，，，即为所求；

过点作于，

，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用勾股定理，画出图形即可；
过点作于首先证明，再利用面积法解决问题即可．
本题考查几何变换，三角形的面积，勾股定理以及逆定理等知识，学会利用面积法解决问题是解题的关键．
 

19.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得；
，
，
由根与系数的关系可得，，
即，
解得，
方程为，
因式分解得：，
解得，． 

【解析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
利用根与系数的关系，用表示出和的值，由条件可得到关于的方程，则可求得的值．
本题有要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示，连接，

，，
，
，，
，，，
，
是直角三角形，且，
四边形的面积． 

【解析】由勾股定理求得，进而由勾股定理逆定理得出是直角三角形，且，根据四边形的面积，即可求解．
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式；
原式；
，
，
，
、为有理数，
且，
解得，，
． 

【解析】把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
把化为，然后利用平方差公式计算；
先分母有理化，再移项得到，然后利用实数运算法则得到且，最后解方程组求出、，从而得到的值．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：．
答：当每件售价为元时，日销量是件．
故答案为：．
设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又商家想尽快销售完该款商品，
．
答：每件售价应定为元．
设该商品需打折销售，
依题意得：，
解得：．
答：该商品至少需打折销售．
利用日销售量降低的价格，即可求出结论；
设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用总利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可得出每件售价应定为元；
设该商品需打折销售，利用售价原价折扣率，结合售价格不超过中的售价，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：，
，
在与中，
，
≌，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
．
如图，延长，过点作垂线，交延长线于点，

由可得：，，
为等腰直角三角形，
，
即：，
解得：．
如图，设交于点，延长到点，使，连接，，，

，，，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】先证≌，然后证得为直角三角形，根据勾股定理即可求得；
延长，过点作垂线，交延长线于点，证得为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得；
设交于点，延长到点，使，连接，，，先证≌，再证≌即可．
本题考查了图形的旋转、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，辅助线的准确添加是解题关键．