2022-2023学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是(    )

A. 金额
B. 数量
C. 单价
D. 金额和数量

3.  如图，在中，点，分别为，的中点，若，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  在方差计算公式：中，，分别表示(    )

A. 数据的个数和方差 B. 平均数和数据的个数
C. 数据的个数和平均数 D. 数据的方差和平均数

6.  矩形具有而菱形不具有的性质是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直

7.  如图，九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈十尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度为(    )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

8.  如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接，，，若，则四边形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  小带和小路两个人开车从城出发匀速行驶至城整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开城的距离千米与行驶的时间小时之间的函数关系如图所示，有下列结论：
、两城相距千米；
小路的车比小带的车晚出发小时，却早到小时；
小路的车出发后小时追上小带的车；
当时，小带和小路的车相距千米．
其中正确的结论有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  要使二次根式有意义，实数的取值范围是            ．

12.  若函数是正比例函数，则的值为______ ．

13.  如图，在中，，是的中点，若，，则 ______ ．

14.  在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占，环境卫生成绩占，个人卫生成绩占八年级一班这三项成绩分别为分，分和分，求该班卫生检查的总成绩______．

15.  若直线和直线的交点坐标为，则 ______ ．

16.  如图，矩形中，，，平分，交于，，于，则下列说法：
；≌；；的面积为．
其中正确的有______ 填序号

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，有一四边形空地，，，，，，求四边形的面积．

19.  本小题分
如图，以平行四边形的边、为边，作等边和等边，连接，求证：四边形是平行四边形．
 

20.  本小题分
已知一次函数的图象经过点．
求的值；
请在图中画出该函数的图象；
已知，为图象上的动点，连接，则的最小值为        ．

21.  本小题分
我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了名学生进行比赛百分制测试成绩整理、描述和分析如下：
成绩得分用表示，共分成四组：
A.；；；．
七年级名学生的成绩：，，，，，，，，，．
八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
______ ， ______ ， ______ ．
这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由．
我校八年级共人参加了此次活动，估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？

22.  本小题分
某超市销售套品牌运动装和套品牌的运动装的利润为元，销售套品牌和套品牌的运动装的利润为元．
该商店计划一次购进两种品牌的运动装共套，设超市购进品牌运动装套，这套运动装的销售总利润为元，求关于的函数关系式；
在的条件下，若品牌运动装的进货量不超过品牌的倍，该商店购进、两种品牌运动服各多少件，才能使销售总利润最大？

23.  本小题分
通过学习特殊的四边形我们知道平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，所以平行四边形可以看成是一个三角形通过图形变换后与原三角形组成的如图，平行四边形可以看作是由绕的中点旋转得到后组成．
小亮把以边所在直线为对称轴翻折得到，这两个三角形组成四边形如图，这也是一种特殊的四边形筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形．
首先请你给出筝形的一种定义：______ ；文字语言描述
如图，在边，角，对角线的关系方面直接写出两条对筝形性质的猜想定义除外；
如图，在筝形中，、、、分别为、、、边中点，求证：四边形是矩形．
 

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线：为常数，且与轴交于点，与轴交于点．
当，求的面积与的函数关系式；
当时，的最大值为，求的值；
若，关于轴对称，且点，直线与交于点，求．

25.  本小题分
如图，正方形中，点在边上，延长至，使得，平分，交于点，连接、、．
求证：；
求证：；
直接写出、、三者之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据计算即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，熟记是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：．
根据常量与变量的定义即可判断．
本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：、分别为边，的中点，，
，
故选：．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在一次函数中，，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：．
根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：中，
，分别表示数据的个数和平均数．
故选：．
根据方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差即可得结论．
本题考查了方差，解决本题的关键是掌握方差的定义．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据矩形好菱形的性质，容易得出结论．
本题考查了矩形的性质和菱形的性质；熟练掌握矩形和菱形的对角线上的性质是解决问题的关键．
【解答】

解：矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；
根据矩形和菱形的性质得出：矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等；
故选A．
 

7.【答案】 

【解析】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
折断处离地面的高度为尺，
故选：．
竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边长为尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由尺规作图可得，，
四边形为菱形，
，，
四边形的面积为．
故选：．
由尺规作图可得，，即可得四边形为菱形，根据菱形的性质可得答案．
本题考查作图基本作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图平行四边形的第三个顶点坐标为，，．

故选：．
利用图象法画出平行四边形，可得结论．
本题考查平行四边形的判定和性质，解题关键是正确画出图形，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知、两城市之间的距离为，小带行驶的时间为小时，而小路是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即早到小时，
都正确；
设小带车离开城的距离与的关系式为，
把代入可求得，
，
设小路车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得，
解得：，
，
令，可得：，
解得：，
即小带、小路两直线的交点横坐标为，
此时小路出发时间为小时，即小路车出发小时后追上小带车，
不正确；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时小路还没出发，
当时，小路到达城，；
综上可知当的值为或或或时，两车相距千米，
正确；
故选：．
观察图象可判断，由图象所给数据可求得小带、小路两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断，再令两函数解析式的差为，可求得，可判断，可得出答案．
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意是甲车所用的时间．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
故答案为：．
根据二次根式的有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
 

12.【答案】 

【解析】解：是正比例函数，
且，
．
故答案为：．
一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数，由此即可求解．
本题考查正比例函数，关键是掌握正比例函数的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，
，，，
，
点是边的中点，
．
故答案为：．
根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质解答．
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

14.【答案】分 

【解析】

【分析】
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求，，这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．
根据加权平均数的计算公式求解即可．
【解答】
解：该班卫生检查的总成绩分．
故答案为分．  

15.【答案】 

【解析】解：线和直线的交点坐标为，
，，
，
．
故答案为：．
根据两直线相交的问题，把分别代入两函数解析式得到，，然后把两个等式相加即可得到的值．
本题考查了两条直线相交或平行，掌握两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
．
，
，
，
，
故符合题意；
在矩形中，，，
延长交的延长线于点，过点作于点，如图所示：
则，
在矩形中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
故符合题意；
，，
和不全等，
故不符合题意；
在中，根据勾股定理，得，
，
，
，
，
，
的面积，
故符合题意，
综上所述，符合题意的有，
故答案为：．
根据矩形的性质可得，根据，进一步可得，即可判断选项；延长交的延长线于点，过点作于点，先证明四边形是矩形，再证明≌，根据全等三角形的性质可得，，再证明≌，可得，，然后再证明≌，根据全等三角形的性质可得，，可判断选项；根据，，可判断选项；先根据勾股定理求出的长度，进一步可得的长度，根据，可得的长度，进一步可得的长度，根据的面积计算，即可判断选项．
本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线，添加合适的辅助线是解题的关键．本题综合性较强，难度较大．
 

17.【答案】解：


；


． 

【解析】利用二次根式的性质进行化简，再去括号，计算二次根式的加减法；
利用二次根式的乘法计算法则进行计算．
本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质正确的计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，连接，

在中，，，，
根据勾股定理得，，
在中，，，，
，
为直角三角形，
．
故答案为：． 

【解析】连接，先根据勾股定理求出，进而判断出是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形的面积．
此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出是直角三角形．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
和是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，，由等边三角形的性质得出，，证明≌，得出，则可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点．
，
；
由函数可知直线与轴的交点为，


作于，此时是最小值，
，，，
，，
，
，
．
的最小值是，
故答案为：．
根据待定系数法求得即可；
利用两点画出函数的图象；
线段的最小值，就是原点到已知直线的距离，可以根据所构建的三角形面积一样来求；
本题考查一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用两点之间的距离公式以及面积法是解决本题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：因为八年级组有人，组有人，组有人，
所以组有人，所以，即．
七年级名学生的成绩：，，，，，，，，，．
从小到大排列：，，，，，，，，，，
所以第个，第个数据为：，，
中位数为，
因为七年级学生成绩中分有个，出现的次数最多，所以众数，
故答案为：，，；
因为七八年级的平均数相等，根据已知条件可得，七年级成绩的方差为：
，
七年级成绩的方差为，
，
七年级成绩的方差比八年级小，所以七年级的成绩更稳定．
由题意得：八年级成绩大于或等于分的有人，
人，
答：参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为人．
先根据扇形统计图求解，组的学生人数，结合组人数，求解组人数，可得的值，再根据八年级学生成绩的中位数落在组，可得的值，由七年级学生成绩中分有个，出现的次数最多，可得的值；
因为两个年级的平均数相同，计算七年级的方差分析可得结论；
分别统计出七年级、八年级成绩大于或等于分的人数，利用样本的百分率估计总体即可得到答案．
本题考查的是扇形统计图，频数分布，平均数，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每套种品牌的运动装的销售利润为，每套品牌的运动装的销售利润为元，
得，
解得：
，
关于的函数关系式为；
根据题意得：，
解得：，
，，
随的增大而减小．
为正整数，
当时，取得最大值，
此时，
超市购进套品牌运动装和套品牌运动装才能获得最大利润． 

【解析】设每套种品牌的运动装的销售利润为，每套品牌的运动装的销售利润为元，根据销售套品牌运动装和套品牌的运动装的利润为元，销售套品牌和套品牌的运动装的利润为元，列出方程组解方程组，然后依据题目中的数量关系列出与之间的函数关系式即可；
依据品牌运动装的进货量不超过品牌的倍列不等式可求得的取值范围，然后依据一次函数的增减性进行解答即可．
本题主要考查的是一次函数的应用、二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
 

23.【答案】把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形” 

【解析】解：根据折叠的性质得，，，
即把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，
故答案为：把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；

解：如图，筝形的一条对角线平分一组对角；
筝形的一组对角相等；

证明：由折叠知，≌，
，，；
即筝形的一条对角线平分一组对角；
由折叠知，≌，
；
即筝形的一组对角相等；

证明：连接，．

，，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
垂直平分线段，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
根据折叠的性质得出答案；
先判断出≌，即可得出结论；
利用三角形中位线定理证明即可．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
 

24.【答案】解：直线：，令，则，
，
令，则，
，
当时，的面积，
的面积与的函数关系式为；
直线：，当时，的最大值为，
分两种情况：
当时，直线：，随的增大而增大，
时，的最大值为，
，
；
当时，直线：，随的增大而减小，
时，的最大值为，
，
；
综上，的值为或；
，，关于轴对称，
，
点，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立直线：得，
解得，
，
点，，
为线段的中点，
，
． 

【解析】令，则，可得，令，则，，当，根据三角形的面积公式即可得与的函数关系式；
分两种情况：当时，当时，根据的最大值为即可求得的值；
由，关于轴对称得，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立直线：可得，可得为线段的中点，，即可求解．
本题是一次函数综合题，主考查了一次函数的性质，三角形的面积，对称的性质，待定系数法求函数的解析式．熟练掌握一次函数的性质以及三角形的面积是解题的关键．
 

25.【答案】证明：平分，
，
在和中，
，
≌，
；

证明：如图中，过点作于点，交的延长线于点．

设，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
平分，
，
，
；

解：结论：．

理由：过点作于点，交的延长线于点．
同法可证≌，
，，
平分，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
． 

【解析】证明≌，可得结论；
如图中，过点作于点，交的延长线于点证明≌，推出，推出平分，证明，可得结论；
结论：过点作于点，交的延长线于点同法可证≌，推出，，证明四边形是正方形，推出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．