2022-2023学年广东省深圳市宝安区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市宝安区八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若，有，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  一件商品售价元，利润率为，则这种商品每件的成本是元．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  用反证法证明命题：“在中，，则”应先假设(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知点在第四象限，则实数的取值范围在数轴上表示正确的为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  下列说法正确的是(    )

A. 若能用完全平方公式分解因式，则的值一定等于
B. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为
C. 等腰三角形有一个角等于，则另外两个内角一定都等于
D. 若关于的不等式组无解，则的最大值是

10.  如图，点为直线上一点，先将点向左移动个单位，再绕原点顺时针旋转后，它的对应点恰好落在直线上，则点的横坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若分式的值为，则 ______ ．

12.  小王准备用元买手抓饼和冰激凌，已知一张手抓饼元，一个冰激凌元，他购买了张手抓饼，则他最多还能买______ 个冰激凌．

13.  如果，那么代数式的值是           ．

14.  如图，中，，，，的外角平分线与边的垂直平分线交于点，则 ______ ．

15.  如图，边长为的等边三角形中，是上一点且，为的外角的角平分线，将沿翻折得到，交于点，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
因式分解：
；
．

17.  本小题分
解不等式组：，并求出它的整数解．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中的值从不等式组的解集中选取一个整数．

19.  本小题分
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的，画出，并直接写出点的坐标；
绕原点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形；
如果，通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．

20.  本小题分
开学前夕，某书店计划购进、两种笔记本共本，已知种笔记本的进价为元本，种笔记本的进价为元本，共计元．
请问购进了种笔记本多少本？
在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为元本、元本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于元，请求出的最小值．

21.  本小题分
问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：
首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究．
如表与的几组对应值：

如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当随的增大而减小时，的取值范围是______ ；
若，为该函数图象上不同的两点，则 ______ ；
当时，自变量的取值范围是______ ；
定义，例如，，则函数的最大值为______ ．

22.  本小题分
如图，边长为的等边三角形中，，分别是，边的中点，点从点沿着折线运动，连接，绕点逆时针旋转到点．

如图，当点在上运动时，求的度数；
如图，连接，，，设点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为，请求出的面积关于的函数关系式；并指出的取值范围；
当是直角三角形时，直接写出此时的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、右边不是整式的积的形式含有分式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、是整式乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：．
利用因式分解的定义判断即可．
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的值可以是．
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：的坐标为，
，
，
，
向右平移了个单位长度，
点的坐标为，
点的坐标为：．
故选：．
直接利用对应点的变化，进而得出平移距离，即可得出答案．
此题主要考查了坐标与图形变化，正确得出平移距离是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了列代数式，正确掌握售价利润率成本是解题关键．
根据售价利润率成本求出即可．
【解答】
解：售价利润率成本，商品售价元，利润率为，
成本，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：反证法证明命题：“在中，，则”，
先假设．
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

7.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，
解得，
解集在数轴上的表示为：

故选：．
根据第四象限内点的坐标特点列出关于的不等式组，求出的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
 

8.【答案】 

【解析】解：、由作图可知，，
，本选项不符合题意；
B、由作图可知，，
，，
，本选项不符合题意；
C、由作图可知，点在线段的垂直平分线上，
，
，
，本选项不符合题意．
D、无法判断，．
故选：．
利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质一一判断即可．
本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：、若能用完全平方公式分解因式，则的值等于，故A选项错误，不符合题意；
B、若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为且，故B选项错误，不符合题意；
C、等腰三角形有一个角等于，则另外两个内角等于或，故C选项错误，不符合题意；
D、若关于的不等式组无解，则的最大值是，故D选项正确，符合题意．
故选：．
根据乘法公式，分式有意义，二次根式有意义的条件，等腰三角形的性质，不等式无解的意义即可求解．
本题主要考查概念及性质，掌握乘法公式进行因数分解，分式有意义，二次根式有意义的条件，等腰三角形的性质，不等式无解的取值方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点为直线上一点，
点向左移动个单位后的解析式为，
绕原点顺时针旋转后解析式为
，
可得，
点的横坐标为，
故选：．
可将点的平移和旋转转化为直线的平移和旋转，求出解析式后，联立两个函数解析式即可求出交点的横坐标．
此题考查一次函数，掌握将点的平移和旋转转化为函数平移和旋转，求函数的交点坐标是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：且，
解得：．
故答案为：．
利用分式值为零的条件可得，且，再解方程和不等式即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

12.【答案】 

【解析】解：设他还能买个冰激凌，根据题意，得，
解得：，
为整数，
他最多还能买个冰激凌．
故答案为：．
设他还能买个冰激凌，根据买冰激凌的钱买手抓饼的钱要小于或等于元，列不待式求解即可．
本题考查不等式的应用，理解题意，设恰当未知数，找出不等量关系，列出不等式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，
即，
原式



．
故答案为：．
根据分式的运算法则得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，设交于点，过点作于点，

，
，
，，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：．
设交于点，过点作于点，根据勾股定理即线段垂直平分线的性质得出，，根据平行线的判定与性质得出，∽，根据相似三角形的性质得出，根据角平分线的定义及等腰三角形的判定推出，则，根据，得出四边形是矩形，根据矩形的性质及勾股定理求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，过点作 于，

边长为的等边，
，，
，
，
为等边的外角的角平分线，
，
由翻折得：，，，
，，
，
，即，
，
，
，，，
，
设，则，，
，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
，
故答案为：．
连接，过点作 于，由等边三角形性质与折叠性质得，从而得，继而证明，得出，又由，，所以，设，则，，则，，然后在中，由勾股定理，得，求解得，即可由求解．
本题考查等边三角形的性质，翻折的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确地作出辅助线，证明是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；


． 

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

17.【答案】解：
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
解集表示在数轴上，如图所示：

则不等式组的整数解为，，，． 

【解析】分别解不等式，在数轴上表示出不等式的及解集，进而根据公共部分求得解集，求得整数解，即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键．
 

18.【答案】解：


，
由且为整数，得到，，，，
当，时，原式没有意义；
当时，原式；
当时，原式． 

【解析】化简时先通分，然后将分式的分子分母进行因式分解来化简，代值时先排除分式和计算过程中出现的分母为零的取值，然后在，中任选一个代值计算即可．
此题考查分式的化简求值，解题关键是代值时需要排除令原分式和化简过程中出现的所有的分母为零的取值．
 

19.【答案】解：如图，即为所求．
点的坐标为．
如图，即为所求．

如图，连接，，作与的垂直平分线，相交于点，则点即为与的旋转中心，
旋转中心的坐标为． 

【解析】根据平移的性质作图，即可得出答案．
根据旋转的性质作图即可．
连接，，利用网格分别作，的垂直平分线，两线交于点，则点即为与的旋转中心，即可得出答案．
本题考查作图旋转变换、平移变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：设购进了种笔记本本，购进了种笔记本本，
由题意得：，
解得：，
答：购进了种笔记本本，购进了种笔记本本；
由题意得：，
解得：，
答：的最小值为． 

【解析】设购进了种笔记本本，购进了种笔记本本，由题意：某书店计划购进、两种笔记本共本，已知种笔记本的进价为元本，种笔记本的进价为元本，共计元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
由题意：两种笔记本的总利润不少于元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】    或   

【解析】解：函数的图象如图的所示，

根据图象可得：当随的增大而减小时，的取值范围是；
把，，分别代入，
得，
则，
解得：，
，，该函数图象上不同的两点，
；
由图象可得：当时，自变量的取值范围是或；
由图象可得：
当时，，当时，的最大值为；
当时，，当时，的最大值为；
当时，，当时，的最大值为；
综上，的最大值为．

用描点法作出函数的图象；再根据图象性质求解即可；
把，，代入，求解即可；
利用图象法，根据中所画函数图象求解即可；
分三种情况：当时，；当时，；当时，；分别 求出函数最大值即可得解．
本题考查作函数图象，利用图象法求解问题，新定义问题，熟练掌握用描点法作函数图象和利用图象法解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：三角形是等边三角形，
，
绕点逆时针旋转到点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
解：如图所示，当点在上运动时，取的中点，连接，过点作于，

由可知，≌，
，，，
≌，
，
三角形是等边三角形，，
，
在中，，
，
，则，
点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为，
；
当点在上运动时，取的中点，连接，连接，过点作于，则，

，，，
≌，
，，，
，
点，都是中点，
是中位线，即，且，
在中，，
，
是中线，
；
综上所述，．
解：根据中的推理可知，
当点与点重合时，是直角三角形，即是直角三角形，，如图所示，连接，

在中，，，
，
是等边三角形，
是直角三角形，，，
，
在中，；
当点运动到中点时，是直角三角形，即是直角三角形，，如图所示，

点，是，的中点，，，，
是的垂直平分线，
，
在中，，
；
综上所述，的长为或． 

【解析】三角形是等边三角形，绕点逆时针旋转到点，可证≌，由此即可求解；
分类讨论，当点在上运动时；当点在上运动时；根据即可求；
由的证明过程，分类讨论，当点与点重合时，是直角三角形，即是直角三角形，；当点运动到中点时，是直角三角形，即是直角三角形，；由此即可求解．
本题主要考查等边三角形，含特殊角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，特殊角的直角三角形中特殊三角形函数值的计算，全等三角形的判定和性质是解题的关键．