2023年吉林省长春市榆树市八号镇第一中学+三模数学试题

这是一份2023年吉林省长春市榆树市八号镇第一中学+三模数学试题，共21页。

榆树市八号镇第一中学2023.5三模九年级数学试题
一．选择题（每题3分共24分）
1．（3分）﹣的绝对值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣ D．
2．（3分）下列运算一定正确的是（　　）
A．（a2b3）2＝a4b6 B．3b2+b2＝4b4
C．（a4）2＝a6 D．a3•a3＝a9
3．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）不等式组的解集为（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣3≤x＜﹣1 C．x＞﹣1 D．x≥﹣3
5．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）方程＝的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣9 C．x＝9 D．x＝﹣3
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AD垂直于过点C的切线，垂足为点D．若∠CAD＝37°，则∠CAB的大小为（　　）

A．37° B．53° C．63° D．74°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点E、F、G、H，连结EF、GH．若△AEF与△CGH的面积和为2，且BE＝3AE，则k的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣8
二、填空题（每题3分共18分）
9．（3分）火星赤道半径约为3396000米，用科学记数法表示为 　 　米．
10．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，1）．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为 　 　．

12．（3分）如图，四边形ABCD的两边AD、CD与⊙O相切于A、C两点，点B在⊙O上，若∠D＝50°，则∠B的度数为

13．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转45°后得到△ADE，点B经过的路径为．若AB＝4，则图中阴影部分图形的面积为 　 　．（结果保留π）

14．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，y1）、B（m+1，y2）在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上．当y1＜y2时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象的最高点的纵坐标为3，则m的值为 　 　．
三、解答题（共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2m﹣1）2﹣（m﹣5）（m+1），其中．
16．（6分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”、“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字．请用画树状图（或列表）的方法，求两次记录的数字之和为3的概率．
17．（6分）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树600棵所需时间与原计划植树450棵所需时间相同，求实际每天植树的棵数．
18．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．

19．（6分）民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名．

20．（6分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD垂直平分AC，点E是OB上一点，且∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是菱形．
（2）若点E是OB的中点，CD＝5，AC＝8，则tan∠ABD的值为 　 　．

21．（6分）现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以60km/h的速度匀速驶向景点．两辆车的行驶路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车停留前行驶时的速度是 　 　km/h，m＝　 　h；
（2）求甲车停留后继续行驶时的行驶路程y与时间x之间的函数关系式；
（3）求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？

22．（6分）【学习心得】（1）请你完成下列证明：如图①，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：BD＝CE；
【类比探究】（2）如图②，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上．若BD＝2，CD＝3，则DE的长为 　 　；
【拓展延伸】（3）如图③，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，点P在线段AC上．若，则＝　 　．

23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为边AC的中点．点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CB向终点B运动．以CP为边作正方形CPMN，点N在边AC上．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段DN的长．
（2）连接CM，则∠MCA＝　 　度；当点D与点M的距离最短时，线段DN的长为 　 　．
（3）连接PD，当PD将正方形CPMN的面积分为3：5两部分时，求t的值．
（4）作点C关于直线DM的对称点C'，当点C'、点M到△ABC的某一条直角边所在直线距离相等时，直接写出t的值．

24．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．

25．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+b经过点A（，），点B（，﹣），与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为﹣2．过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接DP，设点P的纵坐标为t，△DEP的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接OA，点F在OA上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接DF交y轴于点G，点G为DF的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接CN，PB，延长PB交AN于点M，点R在PM上，连接RN，若3CP＝5GE，∠PMN+∠PDE＝2∠CNR，求直线RN的解析式．



九年级数学参考答案
一．选择题（每题3分共24分）
1． D．2． A．3． C．5． A．6． C．7． A．8． C．
二、填空题（每题3分共18分）
9． x≠﹣．11．（2，2）．12．65°．13． 2π．14． ．
三、解答题（78分）
15．
解：原式＝4m2﹣4m+1﹣（m2+m﹣5m﹣5）
＝4m2﹣4m+1﹣m2+4m+5
＝3m2+6，
当时，
原式＝．
16．
解：根据题意，作树状图如下：

由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，
所以，两次记录的数字之和为3的概率为．
17．
解：设实际每天植树x棵．
根据题意，得．
解得x＝200．
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．
答：实际每天植树200棵．
18．
解：（1）如图，△MNP为所作；
（2）如图，△DEF为所作；
FP＝＝．

19．
解：（1）20÷25%＝80（名），
答：一共抽取了80名学生；
（2）80﹣16﹣24﹣20＝20（名），
补全条形统计图如下：

（3）1600×＝480（名），
答：估计该中学最喜欢球类的学生共有480名．
20．
（1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AC⊥BD，OA＝OC，
∵∠EAO＝∠DCO，∠AOE＝∠COD，
∴△AOE≌△COD．
∴OE＝OD．
∵OA＝OC，
∴四边形AECD是平行四边形．
∴AC⊥ED，
∴▱AECD是菱形．
（2）解：

∵四边形AECD是菱形，
又∵CD＝5，AC＝8，
∴AO＝OC＝4，
∴，
∴OD＝OE＝3，
∵点E是OB的中点，
∴EO＝EB＝3，
∴OB＝6，
∵BD⊥AC，
∴．
故答案为：．
21．
解：（1）根据函数图象可得当x＝0.5时，y＝40，
∴甲车停留前行驶时的速度是km/h，
∵乙车的速度为60km/h，
∴h，
故答案为：80，1.5．
（2）设y＝kx+b，把（1，40），（1.5，90）代入，

解得
所以y＝100x﹣60．（1≤x≤）；
（3）当y＝200时，200＝100x﹣60，
甲用的时间：．
乙用的时间：，
，即44分钟．
答：甲车比乙车早44分钟到达旅游景点．
22．
（1）：证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE．

类比探究（2）：解：
如图②，连接CE，

∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠ABC＝∠ACB＝45°
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴CE＝BD＝2，∠ACE＝∠ABC＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴，
故答案为：．

拓展延伸（3）：解：
如图③，过点P作PM⊥AC交BC于点M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAE＝∠PCE＝45°，
∵PM⊥AC，
∴∠APM＝∠CPM＝90°，
∴∠CMP＝∠PCE＝45°，
∴PC＝PM，∠PMF＝∠PAE＝45°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠APE+∠EPM＝∠EPM+MPF＝90°，
∴∠APE＝∠MPF，
∴△APE∽△MPF，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
23．
解：（1）由题可得：当0＜t≤2时，DN＝2﹣t；
当2＜t≤4时，DN＝t﹣2．

（2）如图：连接MC，MD，
∵四边形CPMN是正方形，
∴，
在Rt△MND中，DN＝2﹣t，MN＝t，
∴，
∴当t＝1，即DN＝2﹣t＝1时，MN有最小值．

故答案为：45；1；

（3）①如图：当0＜t≤2时，DN＝2﹣t，ON＝t﹣OM，

∵，，
∴，即，
∴，
∵PM∥ND，
∴，即，即，
解得：．

②如图：当2＜t≤4时，DN＝t﹣2，CP＝MN＝PM＝t，CD＝2，
∵，，
∴，
解得：．


（4）如图：当0＜t≤2时，DN＝2﹣t，点C'、点M到直线BC距离相等，即点C'、点M、点N在同一条直线上，
∵四边形CPMN是正方形，
∴△CNM是等腰直角三角形，即∠MCN＝45°，
∵作点C关于直线DM的对称点C'，
∴△CMD≌△C'MD，
∴∠C'＝45°，CD＝DC'，
∴NC'＝ND＝2﹣t，
∴，
∴，
解得：；

②如图：当0＜t≤2时，DN＝2﹣t，点C'、点M到直线AC距离相等，即点C'、点M、点P在同一条直线上，
∵作点C关于直线DM的对称点C'，
∴△CMD≌△C'MD，
∴MC＝MC'、∠C'＝45°，
∵四边形CPMN是正方形，
∴△CNM是等腰直角三角形，即∠PMC＝45°，
∴∠PMC＝∠C'＝45°，
∴CM∥DC'，，即，
∵CD∥PC'，
∴四边形MCDC'是平行四边形，
∴MC'＝CD＝2，
∴，解得：；

③当2＜t≤4时，DN＝t﹣2，点C'、点M到直线BC距离相等，即点C'、点M、点N在同一条直线上，
∵四边形CPMN是正方形，
∴△CNM是等腰直角三角形，即∠MCN＝45°，
∵作点C关于直线DM的对称点C'，
∴△CMD≌△C'MN，
∴∠C'＝45°，
∴，
∴，解得：．

综上，当点C'、点M到△ABC的某一条直角边所在直线距离相等时，t的值为或或．
24．
（1）证明：如图1，过点O作OP⊥BC，交⊙O于点P，连接AP交BE于Q，

∴＝，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵点N为AC的中点，
∴＝，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，
∴∠AQB＝∠EQP＝135°，
△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，
∴∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）证明：在△DGO和△DBO中，
，
∴△DGO≌△DBO（SSS），
∴∠ABD＝∠DGO，
∵DG⊥BE，
∴∠GDB＝90°，
∴∠ADG+∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠CBE＝90°，
∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，
∴OG∥AD；
（3）解：如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，

由（2）知：OG∥AC，
∴GH∥AC，
∴∠OHB＝∠C＝90°，
∴OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，
∴四边形GHCK是矩形，
∴CH＝GK，
设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，
由（2）知：∠ADG＝∠DBC，
在△GKD和△DCB中，
，
∴△GKD≌△DCB（AAS），
∴GK＝DC＝y，
∵OE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
∴tan∠DBC＝tanE，
∴，即＝，
∴EN＝，
∴AN＝CN＝y+，ON＝y，
由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，
∴（y+）2＝y2+（y+）2，
解得：y1＝﹣（舍），y2＝，
∴AG＝＝＝2．
25．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+b经过点A（，），点B（，﹣），
∴，
解得：，
故a＝，b＝；
（2）如图1，由（1）得：a＝，b＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣，
∵点D在该抛物线上，点D的横坐标为﹣2，
∴y＝×（﹣2）2﹣＝，
∴D（﹣2，），
∵DE⊥y轴，
∴DE＝2，
∴E（0，），
∵点P为y轴负半轴上的一个动点，且点P的纵坐标为t，
∴P（0，t），
∴PE＝﹣t，
∴S＝PE•DE＝×（﹣t）×2＝﹣t+，
故S关于t的函数解析式为S＝﹣t+；
（3）如图2，过点C作CK⊥CN，交NR的延长线于点K，过点K作KT⊥y轴于点T，
由（2）知：抛物线的解析式为y＝x2﹣，
当x＝0时，y＝﹣，
∴C（0，﹣），
∴OC＝，
∵FH⊥y轴，DE⊥y轴，
∴∠FHG＝∠DEG＝90°，
∵点G为DF的中点，
∴DG＝FG，
∵∠HGF＝∠EGD，
∴△FGH≌△DGE（AAS），
∴FH＝DE＝2，HG＝EG＝HE，
设直线OA的解析式为y＝kx，
∵A（，），
∴k＝，
解得：k＝，
∴直线OA的解析式为y＝x，
当x＝2时，y＝×2＝，
∴F（2，），
∴H（0，），
∴HE＝﹣＝，
∴GE＝HE＝×＝，
∵3CP＝5GE，
∴CP＝GE＝×＝，
∴P（0，﹣1），
∵AN∥y轴，PN∥x轴，
∴N（，﹣1），
∴PN＝，
∵E（0，），
∴EP＝﹣（﹣1）＝，
设直线BP的解析式为y＝mx+n，则，
解得：，
∴直线BP的解析式为y＝x﹣1，
当x＝时，y＝×﹣1＝，
∴M（，），
∴MN＝﹣（﹣1）＝，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠PNM＝∠DEP＝90°，
∴△PMN∽△DPE，
∴∠PMN＝∠DPE，
∵∠DPE+∠PDE＝90°，
∴∠PMN+∠PDE＝90°，
∵∠PMN+∠PDE＝2∠CNR，
∴∠CNR＝45°，
∵CK⊥CN，
∴∠NCK＝90°，
∴△CNK是等腰直角三角形，
∴CK＝CN，
∵∠CTK＝∠NPC＝90°，
∴∠KCT+∠CKT＝90°，
∵∠NCP+∠KCT＝90°，
∴∠CKT＝∠NCP，
∴△CKT≌△NCP（AAS），
∴CT＝PN＝，KT＝CP＝，
∴OT＝CT﹣OC＝﹣＝2，
∴K（，2），
设直线RN的解析式为y＝ex+f，把K（，2），N（，﹣1）代入，
得：，
解得：，
∴直线RN的解析式为y＝﹣x+．