广西南宁市2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

广西南宁市2022-2023学年高三第二次模拟考试

数学（文）试卷

学校:___________姓名：___________班级：______________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知复数为的共轭复数，则（    ）

A． B．

C． D．

3．若是第四象限角，，则（    ）

A． B． C． D．

4．甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，已知所有棱长均相等的直三棱柱，，分别为和的中点，则下列陈述不正确的是（    ）

A．平面 B．

C．与所成角的正切值为 D．与平面所成角的正切值为2

6．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为

A．升 B．升 C．升 D．升

7．已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

8．若一动点在曲线上移动，则它和定点的连线的中点的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

9．求的程序框图，如图所示，则图中判断框中可填入

A． B． C． D．

10．设椭圆左、右焦点分别，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（    ）

A．12800 B．24800 C．25600 D．51200

12．若函数在区间上只有一个零点，则常数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知，，则______．

14．给出下列命题：（1）函数不是周期函数；（2）函数在定义域内为增函数；（3）函数的最小正周期为；（4）函数，的一个对称中心为．其中正确命题的序号是______．

15．已知正项等比数列，其前项和为，满足，．若不等式对一切正整数恒成立，则实数的取值范围为__________．

16．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，是下底圆面直径，若点是下底面圆周上的动点，点是上底面内的动点，则四面体的体积最大值为______．

三、解答题

17．请在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______.

(1)求角C；

(2)若外接圆的周长为，求面积的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18．已知函数

（1）写出的单调区间；

（2）若，求相应的值．

19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD，点E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，点P是MN上的一点．

（1）证明：EP∥平面SBD；

（2）求四棱锥S﹣ABCD的表面积．

20．已知函数.

（1）若函数在点处切线的斜率等于1，求a的值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若函数有两个极值点分别为，证明.

21．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于和两点.

（1）当时，求直线的方程；

（2）若过点且垂直于直线的直线与抛物线交于两点，记与的面积分别为，求的最小值.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．设直线与曲线相交于两点．

(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

(2)已知点，求的值．

23．已知.

(1)解不等式；

(2)若，关于的不等式成立，求实数的取值范围.

参考答案

1．C

【分析】解出中不等式，根据交集含义即可得到答案.

【详解】，解得，故.

故选：C.

2．D

【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算，即可求得结果.

【详解】由得

代入计算可得．

故选：D．

3．A

【分析】求出的取值范围，结合诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】由已知可得，则，

所以，，

因此，.

故选：A.

4．B

【分析】列举出所有基本事件，并确定满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】甲、乙、丙三人排队，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}，共个基本事件；

其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）}，共个基本事件；

甲排在末位的概率.

故选：B.

5．B

【分析】对于A：结合已知条件，构造平行四边形，然后利用线面平行判定定理即可判断；对于B：结合空间几何关系即可判断；对于CD：通过直线的平行关系，利用异面直线夹角的求法和线面夹角的定义即可判断.

【详解】分别取，的中点为，，连接，，，，如下图所示：

对于A：由题意可知，，且，

所以四边形为平行四边形，则，

因为平面，平面，

所以平面，故A正确；

对于B： 因为直三棱柱的棱长均相等，所以，即为等腰三角形，从而与不垂直，

因为，，

所以与不垂直，故B错误；

对于C：因为

所以与所成角为与所成角，

从而，故C正确；

对于D：与平面所成角为与平面所成角，

由直三棱柱的性质可知，所求角为，

故，故D正确.

故选：B.

6．D

【详解】分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得结果.

详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，则，竹子的容积为，故选D.

点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.

7．A

【分析】利用线面平行的性质定理与判定定理即可判断出关系．

【详解】，，则“”⇒“”，反之也成立．

∴，，则“”是“”的充要条件．

故选：A．

【点睛】本题考查了线面平行的性质定理与判定定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8．C

【分析】设动点的坐标为，点的坐标为，根据中点坐标公式得到，，再由点在圆上，代入圆的方程，整理即可得到动点的轨迹方程；

【详解】解：设动点的坐标为，点的坐标为，则，，即，．

又动点在曲线上，∴，∴，即为点的轨迹方程．

故选：C

9．A

【分析】阅读程序框图，写出前面几步，再总结规律，得到时，，从而推断判断框应填的条件.

【详解】，；

，；  

依此类推，，

故判断框中可填入“”.

故选：A.

【点睛】本题考查程序框图的阅读，求解的关键是抓住求和的规律，考查特殊到一般的思想的运用.

10．D

【分析】由点在椭圆外部得不等关系，变形后得离心率的一个范围，利用椭圆定义变形后，结合题意得不等关系，从而得的一个范围，再结合可得结论．

【详解】∵点在椭圆的外部，则，可化为，

∴，即．

由椭圆的定义得，

，

，

又∵恒成立，

∴，解得，即，

又，综上可得，

即椭圆离心率的取值范围是．

故选：D．

11．D

【分析】根据题意得，再结合对数运算解方程即可.

【详解】解：因为时，，

所以，解得，

所以，时，，即，

所以，解得．

故选：D．

12．C

【分析】将问题转化为函数与函数的图像只有一个交点，利用导数研究的极值或最值即可得到答案.

【详解】令，则，

因为函数在区间上只有一个零点

则函数与函数的图像只有一个交点

又，

在上单调递增，

则

故选：C.

13．5

【分析】先用向量的坐标公式求得：，进而求向量的模.

【详解】，则.

故答案为：5

14．（1）（4）

【详解】（1）函数它是偶函数,不是周期函数,正确;

（2）函数在每一个单调区间是增函数,定义域内不是增函数.

（3）函数的周期是,所以不正确;

（4）把代入函数成立,正确.

故本题正确答案为（1）（4）.

15．

【分析】根据题意，求出等比数列的通项公式，进而得到该等比数列的前项和，把不等式整理成，根据，分离参数，可得对一切正整数成立，然后研究的最小值，即可得到答案.

【详解】因为，，设等比数列公比为，可得，所以．

不等式化为，

所以对一切正整数成立，

，

当且仅当，即时等号成立，所以．

故答案为：

16．

【分析】根据题意得圆台高为，即动点到圆面的距离为定值，进而当面积最大时，体积最大.

【详解】解：因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，

所以，圆台高为，所以，动点到圆面的距离为定值，

因为动点到的最大距离为2，

所以．

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）选条件①②时，直接利用三角函数关系式的变换求出的值；

（2）利用三角形外接圆的周长求出外接圆半径，进一步利用正弦定理和三角形的面积公式的应用及三角函数关系式的变换的应用求出结果．

【详解】（1）选条件①时，；

整理得：，

即，

由于，故；

选条件②时，，

整理得，

即，

由于，故；

（2）由于外接圆的周长为，

故外接圆的半径为2；

所以，

整理得．

，

当时，面积的最大值为．

18．（1）单调增区间为[﹣2，0），（2，+∞），单调减区间为（﹣∞，﹣2），（0，2]．（2）6或﹣6．

【分析】（1）结合二次函数性质分段讨论函数单调区间，（2）根据分段函数分类求满足方程的解.

【详解】解：（1）由题意知，当x＜0时，f（x）=（x+2）2，当x＞0时，f（x）=（x﹣2）2；

∴函数的单调增区间为[﹣2，0），（2，+∞），

单调减区间为（﹣∞，﹣2），（0，2]．

（2）∵f（x）=16，讨论下面两种情况：

∴当x＜0时，（x+2）2=16，∴x=2（舍）或﹣6；

当x＞0时，（x﹣2）2=16，∴x=6或﹣2（舍）．∴x的值为6或﹣6．

【点睛】求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

19．（1）证明见解析（2）．

【分析】（1）根据已知条件可证平面EMN∥平面SBD，即可证结论；

（2）四棱锥的各侧面为全等的等腰三角形，只需求出底边的高，求出侧面积，即可求出全面积.

【详解】（1）证明：连接BD，EM，EN，

∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，

∵BD⊂平面SBD，EM⊄平面SBD，∴EM∥平面SBD，

∵SD⊂平面SBD，MN⊄平面SBD，∴MN∥平面SBD，

又EM⊂平面EMN，MN⊂平面EMN，MN∩EM＝M，

∴平面EMN∥平面SBD，而EP⊂平面EMN，

则EP∥平面SBD；

（2）解：在四棱锥S﹣ABCD中，由底面ABCD是边长为2的正方形，

SA＝SB＝SC＝SD，可知四棱锥S﹣ABCD是正四棱锥，

又E为BC的中点，连接SE，

则SE为四棱锥的斜高，可得，

∴四棱锥S﹣ABCD的表面积S．

【点睛】本题考查面面平行的判定以及性质，考查正四棱锥的表面积，属于基础题.

20．(1) ; (2) 当，在上单调递增，当，在和上单调递增，在上单调递减.(3)证明见解析；

【分析】（1）直接求导，代值即可.

（2）提取导函数的分子构造新函数，以判别式作为分类讨论的依据，即可得到原函数的单调区间.

（3）根据（2）对不等式进行化简，再根据单调性，即可证明.

【详解】（1），，解得：

(2) ,

令，则，

①当时，即时，，在上单调递增，

②当时，即或时，的两个根为：，

，根据韦达定理得，，即同号，

（i）当，，在上单调递增，

（ii）当，，在和上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当，在上单调递增，

当，在和上单调递增，在上单调递减.

（3）由（2）得，当时，有两个极值点，且，,

故要证，

只需证，

只需证，

令，，即在单调递增，

所以，即，

综上，得证.

21．（1）；（2）12.

【解析】(1) 设直线方程为,联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理求解得即可.

(2) 联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理表达,再根据基本不等式的方法求最小值即可.

【详解】解: （1）由直线过定点,可设直线方程为.

联立消去,得,

由韦达定理得,

所以.

因为.所以,解得.

所以直线的方程为.

（2）由(1),知的面积为

.

因为直线与直线垂直,

且当时,直线的方程为,则此时直线的方程为,

但此时直线与抛物线没有两个交点,

所以不符合题意,所以.因此,直线的方程为.

同理,的面积.

所以

,

当且仅当,即,亦即时等号成立.

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,包括联立方程利用韦达定理求解以及面积的问题和利用基本不等式求解函数最值的方法.属于难题.

22．(1)曲线的方程为，直线的普通方程为；

(2)

【分析】（1）由可得曲线的直角坐标方程，消去参数可得直线的普通方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，然后利用参数的几何意义求解即可.

【详解】（1）由题意，曲线的极坐标方程为，

又由，则，

所以曲线的方程为，即．

由直线的参数方程为（其中为参数），

可得

两式相加消去参数得直线的普通方程为．

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，

得，化简得．

设点所对应的参数分别为，则．

由（1）可知，曲线是圆心，半径为1的圆，点在圆外，

所以．

23．(1)

(2)

【分析】（1）用分类讨论思想去绝对值符号化简不等式求解；

（2）利用绝对值值三角不等式求得的最大值，然后解相应不等式可得．

(1)

依题意，

所以或或

解得，所以不等式的解集为.

(2)

因为，

所以（当且仅当时等号成立），

因为对关于的不等式成立，所以，

解得或.

所以满足条件的实数的取值范围是.