2023年河南大学附中中考数学二模试卷附解析

这是一份2023年河南大学附中中考数学二模试卷附解析，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南大学附中中考数学二模试卷附解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B．8 C．±8 D．﹣8
2．（3分）一个正方体的表面展开如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“预祝中考成功”，把它折成正方体后，与“考”相对的字是（　　）

A．预 B．祝 C．成 D．功
3．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，AB与直线a交于点D，CB延长线交直线b于点E，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x5+x5＝2x10
C．（﹣2x）3＝8x3 D．
5．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
6．（3分）“中国共产党第二十次全国代表大会”于2022年10月16日上午10时在北京人民大会堂开幕．报告显示，我国提出并贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，推动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达18.5%，提高7.2%，稳居世界第二位．把数据“114万亿”用科学记数法表示为（　　）

A．0.114×1013 B．1.14×1013 C．1.14×1014 D．11.4×1012
7．（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（　　）

A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线AEB向右平移得到折线CFD，则折线AEB在平移过程中扫过的面积是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
9．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（　　）

A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
10．（3分）小明同学利用计算机软件绘制函数y＝（a、b为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（　　）

A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
二、填空题（每题3分，共16分）
11．（3分）已知关于x的方程2x2﹣k＝0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的k值 　 　．
12．（3分）不等式组的解集是　 　．
13．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是　 　．

14．（3分）如图，扇形OAB的圆心角∠AOB＝60°，将扇形OAB沿射线AO平移得到扇形O′A′B′，与OB交于点C，若OA＝2，O'O＝2，则阴影部分的面积为 　 　．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．作射线PE与边AB交于点Q，当QE＝QB时，t＝　 　s．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算：．
（2）化简：．







17．2022年以来，江北区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯．区政府为了解9月份甲、乙两个社区垃圾分类换积分的情况，从甲、乙两个社区各抽取10人，记录下他们的积分（单位：分），并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100），下面给出了部分信息：
甲社区10人的积分：47，56，68，71，83.83，85，90，91，94
乙社区10人的积分在C组中的分数为：81，83，84，84
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示
社区
平均数
中位数
众数
甲
76.8
83
b
乙
76.8
a
84
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为 　 　社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好．请说明理由（一条理由即可）；
（3）若9月份甲社区有620人参与活动，乙社区有480人参与活动，请估计该月甲、乙两个社区积分在C组的一共有多少人？







18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，B（2，n），与x轴交于点C（1，0），点D在第三象限，且CD⊥AB，CD＝AC．
（1）利用尺规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若D（﹣2，﹣2），求反比例函数与一次函数的解析式．






19．（1）如图1是郑州市北龙湖“鼎桥”，是国内首座“鼎”形斜拉桥，以司母戊鼎为背景，桥长210米，通过横梁及塔柱间拉杆连接成“鼎”字结构．“鼎”形结构寓意鼎盛中原，展现了郑州厚重的地域文化．
（2）某校数学社团的同学们使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度．如图2所示，他们在地面MB上架设测角仪CM，先在点M处测得“鼎桥”最高点A的仰角∠ACD＝22°，然后沿MB方向前进153m到达点N处，测得点A的仰角∠ADE＝45°（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为1.5m．请利用同学们的测量数据求“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB．（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）





20．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
（3）如果每天的利润要达到5920元，并且尽可能的让利于顾客，则每套的售价应该定为多少元？







21．中国5A级旅游景区开封市清明上河园中水车园的水车由立式水轮、竹筒、支撑架、水槽等部件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上，且∠PAC＝∠PBA，若点P到点C的距离为32m，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2m．连接AC，AB．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）请求出水槽AP的长度．



22．如图，抛物线y＝mx2﹣2mx+4经过点A，B，C，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差；
（3）若点P的坐标为（2，2），连接AP，并将线段AP向上平移a（a≥0）个单位得到线段A1P1，若线段A1P1与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围．







23．小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP（OP＜AB），再以点A为圆心，OP的长为半径，画⊙A分别交AB于点E．交AD于点G．过点E，G分别作AB，AD的垂线交于点F，易得四边形AEFG也是正方形，连接CF．

（1）【探究发现】如图1，BE与DG的大小和位置关系：　 　．
（2）【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．
（3）【思维拓展】如图3，若AB＝2OP＝4，则：
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为 　 　；
②在旋转过程中，CF的最大值是 　 　．

2023年河南大学附中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B．8 C．±8 D．﹣8
【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）一个正方体的表面展开如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“预祝中考成功”，把它折成正方体后，与“考”相对的字是（　　）

A．预 B．祝 C．成 D．功
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“成”与面“祝”相对，面“预”与面“考”相对，“中”与面“功”相对．
故选：A．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，AB与直线a交于点D，CB延长线交直线b于点E，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°
【分析】根据三角形的外角性质得出∠ACD，进而利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠1＝55°，
∴∠ACD＝∠1﹣∠A＝55°﹣30°＝25°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠DCB＝65°，
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x5+x5＝2x10
C．（﹣2x）3＝8x3 D．
【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝x5，错误；
B、原式＝2x5，错误；
C、原式＝﹣8x3，错误；
D、原式＝x，正确，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】连接BD，由点D是弧AC的中点结合∠ABC的度数即可得出∠ABD的度数，根据AB是半圆的直径即可得出∠ADB＝90°，再利用三角形内角和定理即可求出∠DAB的度数．
【解答】解：连接BD，如图所示．
∵点D是弧AC的中点，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵∠ABC＝50°，AB是半圆的直径，
∴∠ABD＝∠ABC＝25°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝65°．
故选：B．

【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理，根据圆周角定理结合∠ABC的度数找出∠ABD的度数是解题的关键．
6．（3分）“中国共产党第二十次全国代表大会”于2022年10月16日上午10时在北京人民大会堂开幕．报告显示，我国提出并贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，推动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达18.5%，提高7.2%，稳居世界第二位．把数据“114万亿”用科学记数法表示为（　　）

A．0.114×1013 B．1.14×1013 C．1.14×1014 D．11.4×1012
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤a的绝对值＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：114万亿＝114000000000000＝1.14×1014，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．
7．（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（　　）

A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为5，3×7，3×7×7和1×7×7×7，然后把它们相加即可．
【解答】解：孩子自出生后的天数是：
1×7×7×7+3×7×7+3×7+5
＝343+147+21+5
＝516，
答：那么孩子已经出生了516天．
故选：B．
【点评】本题考查了用数字表示事件．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线AEB向右平移得到折线CFD，则折线AEB在平移过程中扫过的面积是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积＝S▱AEFC+S▱BEFD，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵平移折线AEB，得到折线CFD，
∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，
∴折线AEB在平移过程中扫过的面积＝S▱AEFC+S▱BEFD＝AO•EF+BO•EF＝EF（AO+BO）＝EF•AB＝[2﹣（﹣1）]×[1﹣（﹣1）]＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形﹣平移，掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键．
9．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（　　）

A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
【分析】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标．
【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得
D点坐标为（，），即（1，1）．
每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，
2700°÷360＝7.5周，
OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的性质及旋转的性质，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键．
10．（3分）小明同学利用计算机软件绘制函数y＝（a、b为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（　　）

A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【分析】由图象可知，当x＞0时，y＜0，可知a＜0；x＝﹣b时，函数值不存在，则b＞0；
【解答】解：由图象可知，当x＞0时，y＜0，
∴a＜0；
x＝﹣b时，函数值不存在，
∴﹣b＜0，
∴b＞0；
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定b的取值是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共16分）
11．（3分）已知关于x的方程2x2﹣k＝0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的k值 　1（答案不唯一）　．
【分析】根据根的判别式的意义得到＝02﹣4×2×（﹣k）＞0，再解不等式得到k的取值范围，然后在此范围内选取一个值即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝02﹣4×2×（﹣k）＞0，
解得k＞0，
所以k可以取1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
12．（3分）不等式组的解集是　﹣2＜x≤　．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞﹣2，
解不等式②得，x≤，
所以不等式组的解集是﹣2＜x≤．
故答案为：﹣2＜x≤．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
13．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是　R≥3.6　．

【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过10A列不等式，求出结论，并结合图象．
【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，
把（9，4）代入得：k＝4×9＝36，
∴反比例函数关系式为：I＝，
当I≤10时，则≤10，
R≥3.6，
故答案为：R≥3.6．
【点评】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．
14．（3分）如图，扇形OAB的圆心角∠AOB＝60°，将扇形OAB沿射线AO平移得到扇形O′A′B′，与OB交于点C，若OA＝2，O'O＝2，则阴影部分的面积为 　　．

【分析】连接O'C，过点C作CD⊥OA'，设OC＝x，则OD＝，CD＝，在Rt△O'CD中根据勾股定理可列方程，即可求出x，进而得到CD长，利用S阴影＝S扇形AOB﹣（S扇形O′C′A′﹣S△OO′C）计算即可．
【解答】解：如图，连接O'C，过点C作CD⊥OA'，

设OC＝x，
在Rt△OCD中，∠DOC＝60°，则OD＝，CD＝，
根据平移的性质得：O'C＝OA＝2，
在Rt△O'CD中，，
∴x＝2，
∴CD＝＝，
∴∠CO'D＝30°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣（S扇形O′CA′﹣S△OO′C）
＝﹣[﹣]
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题关键是将不规则图形转化成规则图形．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．作射线PE与边AB交于点Q，当QE＝QB时，t＝　或5　s．

【分析】分两种情况：点E在矩形的内部和外部，根据等量关系列方程可解答．
【解答】解：分两种情况：
当点E在矩形ABCD内部时，过P作PH⊥AB于H，过Q作QG⊥CD于G，如图，

∴PH＝QG＝AD＝6，
∵∠APQ＝∠APD＝∠PAQ，
∴AQ＝PQ，
∵PQ2＝PG2+QG2＝PG2+62＝36+PG2，
∴AQ2＝36+PG2，
∵AQ＝DG＝DP+PG，
∴（DP+PG）2＝36+PG2，
∵PD＝2t，
∴（2t+PG）2＝36+PG2，
解得：PG＝，
∵AQ＝PD+PG＝2t+＝，
∵QE＝PQ﹣PE＝PQ﹣DP＝PQ﹣2t，
∵QE＝QB，PQ＝AQ，
∴QB＝AQ﹣2t，
∵AQ+BQ＝AB＝10，
∴AQ+AQ﹣2t＝10，
∴AQ＝5+t，
∴5+t＝，
解得t＝；
当点E在矩形ABCD的外部时，如图：

∵∠APQ＝∠APD＝∠PAQ，
∴AQ＝PQ，
∵QE＝PE﹣PQ＝DP﹣PQ＝2t﹣PQ，QE＝QB，
∴BQ＝2t﹣AQ，即AB﹣AQ＝2t﹣AQ，
∴AB＝2t，
∴t＝＝5（此时P与C重合），
综上，存在这样的t值，使得QE＝QB，t的值为或5．
故答案为：或5．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质、几何动点问题，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算：．
（2）化简：．
【分析】（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2+3﹣﹣3
＝．
（2）原式＝•
＝
＝
＝
＝a﹣1．
【点评】本题考查二次根式的性质、负整数指数幂的意义、绝对值的性质、分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
17．2022年以来，江北区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯．区政府为了解9月份甲、乙两个社区垃圾分类换积分的情况，从甲、乙两个社区各抽取10人，记录下他们的积分（单位：分），并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100），下面给出了部分信息：
甲社区10人的积分：47，56，68，71，83.83，85，90，91，94
乙社区10人的积分在C组中的分数为：81，83，84，84
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示
社区
平均数
中位数
众数
甲
76.8
83
b
乙
76.8
a
84
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　83.5　，b＝　83　，m＝　30　；
（2）根据以上数据，你认为 　乙　社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好．请说明理由（一条理由即可）；
（3）若9月份甲社区有620人参与活动，乙社区有480人参与活动，请估计该月甲、乙两个社区积分在C组的一共有多少人？

【分析】（1）根据中位数和众数的意义求解；
（2）根据中位数进行比较；
（3）理由样本的百分比估计总体的百分比．
【解答】解：（1）乙社区A组有1人，B组有2人，C组有4人，D组有3人，
所以a＝83.5，b＝83，m＝×100＝30，
故答案为：83.5，83，30；
（2）乙社区表现好些，
理由：乙社区的中位数比甲社区的中位数大些；
（3）0.3×620+0.4×480＝378（人），
答：该月甲、乙两个社区积分在C组的大约一共有378人．
【点评】本题考查了统计的应用，掌握统计的有关概念是解题的关键．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，B（2，n），与x轴交于点C（1，0），点D在第三象限，且CD⊥AB，CD＝AC．
（1）利用尺规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若D（﹣2，﹣2），求反比例函数与一次函数的解析式．

【分析】（1）以C为圆心，任意长为半径画弧交AB于两点P、Q，分别以P、Q为圆心以大于PQ长为半径画弧，交于点K，过点K、C作直线CK，在CK上截取CD＝AC，使D在第三象限；
（2）作AE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，通过证得△ACE≌△CDF（AAS），求得A（﹣1，3），然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；
；
（2）作AE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，

∵D（﹣2，﹣2），C（1，0），
∴DF＝2，CF＝3，
∵∠ACE+∠FCD＝90°＝∠FCD+∠FDC，
∴∠ACE＝∠FDC，
∵∠AEC＝∠CFD＝90°，AC＝CD，
∴△ACE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF＝3，CE＝DF＝2，
∴OE＝1，
∴A（﹣1，3），
∵反比例函数y＝的图象过点A，
∴m＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数为y＝﹣，
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣1，3），C（1，0），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、三角形全等的判断和性质，求得点A的坐标是解题的关键．
19．（1）如图1是郑州市北龙湖“鼎桥”，是国内首座“鼎”形斜拉桥，以司母戊鼎为背景，桥长210米，通过横梁及塔柱间拉杆连接成“鼎”字结构．“鼎”形结构寓意鼎盛中原，展现了郑州厚重的地域文化．
（2）某校数学社团的同学们使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度．如图2所示，他们在地面MB上架设测角仪CM，先在点M处测得“鼎桥”最高点A的仰角∠ACD＝22°，然后沿MB方向前进153m到达点N处，测得点A的仰角∠ADE＝45°（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为1.5m．请利用同学们的测量数据求“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB．（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）

【分析】延长DE交AB于点F，设AF＝xm，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，可得AF＝DF＝xm，则CF＝CD+DF＝（x+153）m，在Rt△ACF中，tan22°＝≈0.40，求出x的值，结合AB＝AF+BF可得出答案．
【解答】解：延长DE交AB于点F，

由题意得，MN＝CD＝153m，CM＝DN＝BF＝1.5m，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AF＝DF＝xm，
∴CF＝CD+DF＝（x+153）m，
在Rt△ACF中，tan22°＝≈0.40，
解得x≈102，
∴AB＝AF+BF＝103.5m．
∴“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB约为103.5m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
20．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
（3）如果每天的利润要达到5920元，并且尽可能的让利于顾客，则每套的售价应该定为多少元？
【分析】（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48），化简即可；
（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296），化成顶点式，
（3）根据题意，确定每套的售价即可．
【解答】解：（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48）
＝﹣2x+296，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；
（2）根据题意，得：
W＝（x﹣34）（﹣2x+296）＝﹣2（x﹣91）2+6498，，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
当x＝91时，w最大值＝6498；
（3）﹣2（x﹣91）2+6498＝5920，
x1＝108或x2＝74，
因为要尽可能让利于顾客，所以每套的售价应该定为74元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
21．中国5A级旅游景区开封市清明上河园中水车园的水车由立式水轮、竹筒、支撑架、水槽等部件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上，且∠PAC＝∠PBA，若点P到点C的距离为32m，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2m．连接AC，AB．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）请求出水槽AP的长度．

【分析】（1）连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接CD，则∠ACD＝90°，由切线的性质及圆周角定理可得出结论；
（2）由勾股定理求出CE＝4米，证明△CAP∽△ABP，得出，可求出答案．
【解答】（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接CD，则∠ACD＝90°，

∴∠CAD+∠CDA＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC，∠PAC＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC＝90°，
∵OA是半径，
∴AP与⊙O相切，
（2）解：如图，OF⊥BP于点E，且EF＝2米，

∵OF＝5米，
∴OE＝OF﹣EF＝5﹣2＝3（米），
连接OC，
∴EC＝＝＝4（米），
∴BC＝2OC＝8米，
∵PC＝32米，
∴PB＝CP+CB＝32+8＝40（米），
∵∠PAC＝∠PBA，∠CPA＝∠APB，
∴△CAP∽△ABP，
∴，
∴AP2＝PB•CP＝40×32＝1280，
∴AP＝16（米）．


【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
22．如图，抛物线y＝mx2﹣2mx+4经过点A，B，C，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差；
（3）若点P的坐标为（2，2），连接AP，并将线段AP向上平移a（a≥0）个单位得到线段A1P1，若线段A1P1与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围．

【分析】（1）将A点代入y＝mx2﹣2mx+4，可求函数的解析式及顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤2时，y的最大值为，最小值为0，即可求解；
（3）由题意可求A1（﹣2，a），P1（2，2+a），当P1在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，则0≤a＜2时，线段A1P1与抛物线只有一个交点；求出平移后直线A1P1的解析式y＝x+1+a，当直线与抛物线有一个交点时，求出a的值．
【解答】解：（1）将A点代入y＝mx2﹣2mx+4，
∴4m+4m+4＝0，
解得m＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+4，
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴顶点为（1，）；
（2）当x＝﹣2时，y＝0，
∴当﹣2≤x≤2时，y的最大值为，最小值为0，
∴y的最大值与最小值的差为；
（3）∵线段AP向上平移a（a≥0）个单位得到线段A1P1，
∴A1（﹣2，a），P1（2，2+a），
当P1在抛物线上时，﹣2+2+4＝2+a，
解得a＝2，
∴0≤a＜2时，线段A1P1与抛物线只有一个交点；
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+1，
∴y＝x+1+a，
当x+1+a＝﹣x2+x+4时，x2﹣x+2a﹣6＝0，
∴Δ＝1﹣4（2a﹣6）＝0，解得a＝，
∴当a＝时，线段A1P1与抛物线只有一个交点；
综上所述：0≤a＜2或a＝时，线段A1P1与抛物线只有一个交点．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形平移的性质，数形结合是解题的关键．
23．小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP（OP＜AB），再以点A为圆心，OP的长为半径，画⊙A分别交AB于点E．交AD于点G．过点E，G分别作AB，AD的垂线交于点F，易得四边形AEFG也是正方形，连接CF．

（1）【探究发现】如图1，BE与DG的大小和位置关系：　BE＝DG，BE⊥DG　．
（2）【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．
（3）【思维拓展】如图3，若AB＝2OP＝4，则：
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为 　2　；
②在旋转过程中，CF的最大值是 　6　．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝90°，则可得出结论；
（2）延长BE交DG于点M，交AD于点N，证明△BAE≌△DAG（SAS），由全等三角形的性质得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，则可得出结论；
（3）①延长GF，DC交于点Q，证明四边形BCQD是矩形，得出∠CQG＝90°，QG＝BC＝4，证出四边形AGQD是矩形，由矩形的性质得出DQ＝AG＝2，由勾股定理可求出答案；
②求出AC和AF的长，证出F的运动轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，当C，A，F三点共线时，CF＝CA+AF，CF有最大值，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝90°，
∴AB﹣AE＝AD﹣AG，BE⊥DG，
∴BE＝DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）（1）中的关系存在．
如图2，延长BE交DG于点M，交AD于点N．

∵∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD﹣∠EAD＝∠EAG﹣∠EAD，
∴∠BAE＝∠DAG．
在△BAE和△DAG中，

∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．
在△ABN和△MDN中，
∵∠ABN＝∠MDN，∠ANB＝∠DNM，
∴∠DMN＝∠BAN＝90°，
∴BE⊥DG．
即BE＝DG且BE⊥DG；
（3）①延长GF，DC交于点Q，

∵∠QGF＝∠GBC＝∠BCQ＝90°，
∴四边形BCQD是矩形，
∴∠CQG＝90°，QG＝BC＝4，
∵∠DAG＝∠AGQ＝∠GQD＝90°，
∴四边形AGQD是矩形，
∴DQ＝AG＝2，
∵QF＝QG﹣FG＝4﹣2＝2，QC＝QD+CD＝2+4＝6，
∴CF＝＝＝2．
故答案为：；
②在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝4，AE＝2，
∴AC＝＝4，AF＝＝2，
∵F的运动轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，
∴当C，A，F三点共线时，CF＝CA+AF，CF有最大值，
此时CF＝AC+AF＝4+2＝6．
故答案为：．
【点评】本题是圆的综合题，考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等，熟练掌握正方形的性质是解题关键．