2023年河南省南阳市镇平六校联考中考数学二模试卷

这是一份2023年河南省南阳市镇平六校联考中考数学二模试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省南阳市镇平六校联考中考数学二模试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内。
1．（3分）的倒数是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
2．（3分）下列四个几何体中，如图主视图和左视图相同的有（　　）个．
​
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3+a＝a4 B．（a6）2＝a8
C．a3•a＝a4 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
4．（3分）如图，AB∥CD，EG⊥MN，若∠EFD＝59°，则∠BEG的度数为（　　）

A．21° B．31° C．49° D．59°
5．（3分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则整数k的值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥CB，垂足为E，则AC的长度为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
7．（3分）按疫情防控要求，学生居家学习每日需进行体温监测，小泽记录某周周一至周四的体温检测（单位：℃），36.4，36.4，若添加上周五的体温监测结果36.6，则不发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．（3分）2008年5月12日14时28分4秒，四川省汶川县境内发生里氏8.0级地震，地震影响波及大半个中国，作为中学生的我们要掌握地震知识，提升防震意识，地震所释放出的能量E与震级M的关系为E＝a×101.5M（a＞0，a为常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为4级的地震所释放能量的（　　）倍．
A．104 B．106 C．108 D．1010
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点B，△AOB绕O点逆时针旋转到如图△A′OB′的位置，旋转角记为α，将△AOB绕O点逆时针旋转，则第2023次旋转结束后，点B的坐标为（　　）

A． B．（0，2） C． D．（，1）
10．（3分）自然环境中，大气压受到各种因素的影响，其中以海拔的影响最为显著（如图1），而随着海拔的升高，空气中的含氧量与海拔的关系见图2，下列说法正确的是（　　）
信息窗
海平面空气中的含氧量约为20.95%
海拔高度每抬升100m，含氧量下降约0.16%，
含氧量低于18%属于缺氧，低于10%时人无法行动

A．海拔越高，大气压越大
B．海拔为7千米时，大气压约为60千帕
C．大气压为70千帕时，含氧量属于缺氧
D．大气压为60千帕时，人无法行动
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（3分）因式分解a3﹣64a＝　 　．
13．（3分）2022年卡塔尔世界杯落下大幕，全球亿万球迷以足球为伴，纵享高水平竞赛的速度与激情，若从中任意挑选两支球队比赛，则抽到的球队是波兰和墨西哥的概率为 　 　．
14．（3分）如图，扇形纸片AOB，沿AB折叠扇形纸片上的点C处，已知　 　．
​

15．（3分）如图，已知▱ABCD中，AB＝3，∠BAC＝90°，E、F分别是AB，EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，则BF的长为　 　．

三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）计算时，小明、小亮两位同学的解法如下：
小明：
＝①
＝②
小亮：
＝③
＝     ④
（1）判断：小明、小亮两位同学的解题过程有无错误？若无误，请直接跳到下一问；若有误　 　（填序号）．
（2）请任选一种自己喜欢的解法，完成解答．
17．（9分）人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，40，43，50；
信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 　 　百万人．
（2）下列结论正确的是 　 　．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．


18．（9分）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程（Pappus，约300﹣350）把么△AOB三等分的操作如下：
（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y＝（x＞0）的图象；
（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y＝；
（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；
（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．
（1）判断四边形CEDM的形状，并证明；
（2）证明：O、M、E三点共线；
（3）证明：∠EOB＝∠AOB．


19．（9分）为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，安装说明书的部分内容如表：
名称
红外线体温检测仪
安装示意图

技术参数
最大探测角：∠B'CA'＝34°
安装要求
本设备需要安装在垂直于水平地面AB的支架CE上，CD∥AB且∠ECB'＝∠A'CD
问题解决：学校要求测温区域的宽度AB为4m，师生身高设定为A'A＝B'B＝1.7m．当师生从A走到B时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度EC．（结果精确到0.1m；参考数据tan34°≈0.7，tan28°≈0.5）

20．（9分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元
21．（9分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA，从点A四周喷水，喷出的水柱为抛物线，如图，以水平方向为x轴，点A在y轴上，水柱所在的抛物线（第一象限部分）（x﹣3）2+2．
（1）求喷水管高OA．
（2）身高为1.7m的小明站在距离喷水管4m的地方，他会被水喷到吗？
（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高

22．（10分）某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，并测得OH＝50cm，PQ＝40cm
（1）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？并说明理由；
（2）求滑块Q在平直滑到l上可以左右滑动的最大距离．

23．（10分）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在▱ABCD中，点P是边AD上一点．将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，连接DF，则四边形AEFD是菱形．
数学思考：
（1）请你证明“兴趣小组”提出的问题；
拓展探究：
（2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
问题解决：
“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，PD＝4，DC＝10．则AE的长为 　 　．（直接写出结果）



2023年河南省南阳市镇平六校联考中考数学二模试卷
（参考答案）
一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内。
1．（3分）的倒数是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
【解答】解：的倒数是﹣2023，
故选：A．
2．（3分）下列四个几何体中，如图主视图和左视图相同的有（　　）个．
​
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：三棱柱的的主视图与左视图都是矩形；
圆锥主视图与左视图都是三角形
圆柱的主视图和左视图都是矩形；
长方体的主视图和左视图都是矩形；
所以主视图和左视图相同的有4个．
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3+a＝a4 B．（a6）2＝a8
C．a3•a＝a4 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【解答】解：∵a3+a不能再合并计算，
∴选项A不符合题意；
∵（a6）3＝a12，
∴选项B不符合题意；
∵a3•a＝a4，
∴选项C符合题意；
∵（a﹣6）2＝a2﹣4a+1，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
4．（3分）如图，AB∥CD，EG⊥MN，若∠EFD＝59°，则∠BEG的度数为（　　）

A．21° B．31° C．49° D．59°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠FEB＝180°，
∵∠EFD＝59°，
∴∠FEB＝180°﹣59°＝121°，
∵EG⊥MN，
∴∠FEG＝90°，
∴∠BEG＝∠FEB﹣∠FEG＝31°．
故选：B．
5．（3分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则整数k的值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由于a＝1，b＝﹣2，
所以Δ＝b3﹣4ac＝（﹣2）8﹣4×1×k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜7．
所以k的值可以是0．
故选：A．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥CB，垂足为E，则AC的长度为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，
∴CD＝DB＝AB，
∵DE⊥CB，
∴点E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC＝8DE＝4，
故选：C．
7．（3分）按疫情防控要求，学生居家学习每日需进行体温监测，小泽记录某周周一至周四的体温检测（单位：℃），36.4，36.4，若添加上周五的体温监测结果36.6，则不发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【解答】解：A、原来数据的平均数是36.425，故不符合题意；
B、原来数据的众数是36.4，故不符合题意；
C、原来数据的中位数是36.4，故符合题意；
D、原来数据的方差＝2+8×（36.4﹣36.425）2+（36.8﹣36.425）2]＝0.0146875，
添加数字3后的方差＝[（36.5﹣36.46）2+2×（36.7﹣36.46）2+2×（36.6﹣36.46）2]＝0.0144，故方差发生了变化；
故选：C．
8．（3分）2008年5月12日14时28分4秒，四川省汶川县境内发生里氏8.0级地震，地震影响波及大半个中国，作为中学生的我们要掌握地震知识，提升防震意识，地震所释放出的能量E与震级M的关系为E＝a×101.5M（a＞0，a为常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为4级的地震所释放能量的（　　）倍．
A．104 B．106 C．108 D．1010
【解答】解：由题意得：＝106，
故选：B．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点B，△AOB绕O点逆时针旋转到如图△A′OB′的位置，旋转角记为α，将△AOB绕O点逆时针旋转，则第2023次旋转结束后，点B的坐标为（　　）

A． B．（0，2） C． D．（，1）
【解答】解：在中，
当x＝2时，y＝2，
当y＝0时，得5＝﹣，
解得x＝，
∴A（，0），6），
∴OA＝，OB＝2，
∴tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝60°，
由旋转性质得：OA′＝OA，OB'＝OB，
∴△A'OA是等边三角形，
∴∠AOA'＝∠BOB'＝60°，
∴α＝60°，
又∵OB'＝OB＝5，
∴OD＝＝1＝，
∴B′（﹣，1），
∴旋转第1次点B的坐标为（﹣，1），
∴旋转第2次点B的坐标为（﹣，﹣1），
旋转第3次点B的坐标为（2，﹣2），
旋转第4次点B的坐标为（，﹣1），
旋转第5次点B的坐标为（，1），
旋转第6次点B的坐标为（2，2），
…，6次一个循环，
∵2023÷4＝337…1，
∴旋转第2023次点B的坐标为（﹣，2），
故选：A．

10．（3分）自然环境中，大气压受到各种因素的影响，其中以海拔的影响最为显著（如图1），而随着海拔的升高，空气中的含氧量与海拔的关系见图2，下列说法正确的是（　　）
信息窗
海平面空气中的含氧量约为20.95%
海拔高度每抬升100m，含氧量下降约0.16%，
含氧量低于18%属于缺氧，低于10%时人无法行动

A．海拔越高，大气压越大
B．海拔为7千米时，大气压约为60千帕
C．大气压为70千帕时，含氧量属于缺氧
D．大气压为60千帕时，人无法行动
【解答】解：由图1可知，海拔越高，故A错误；
由图1可知，海拔为2千米时，故B错误；
大气压为70千帕时，海拔高度约为3千米，
此时空气中的含氧量约为20.95%﹣×0.16%＝16.15%，
∵18%＞16.15%＞10%，
∴此时含氧量属于缺氧，故C正确；
大气压为60千帕时，海拔高度约为6千米，
此时空气中的含氧量约为20.95%﹣×0.16%＝14.55%，
由于18%＞14.55%＞10%，故D错误．
故选：C．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥　．
【解答】解：由题意得，3x﹣1≥6，
解得，x≥，
故答案为：x≥．
12．（3分）因式分解a3﹣64a＝　a（a+8）（a﹣8）　．
【解答】解：原式＝a（a2﹣64）
＝a（a+8）（a﹣6），
故答案为：a（a+8）（a﹣8）．
13．（3分）2022年卡塔尔世界杯落下大幕，全球亿万球迷以足球为伴，纵享高水平竞赛的速度与激情，若从中任意挑选两支球队比赛，则抽到的球队是波兰和墨西哥的概率为 　　．
【解答】解：把阿根延、波兰、沙特阿拉伯四支球队分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽到的球队是波兰和墨西哥的结果有2种，
∴抽到的球队是波兰和墨西哥的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，扇形纸片AOB，沿AB折叠扇形纸片上的点C处，已知　+4　．
​

【解答】解：连接OC，交AB于H，
∵扇形纸片AOB沿AB折叠，点O落在，
∴AC＝OA，OB＝BC，
∵OC＝OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
同理：∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OC⊥AB，
∴AH＝AB＝＝，
∵sin∠AOC＝＝，
∴AO＝7，
∴AC＝BC＝OA＝2，
∵的长＝＝．
∴图中阴影部分的周长＝的长+AC+BC＝．
故答案为：+4．

15．（3分）如图，已知▱ABCD中，AB＝3，∠BAC＝90°，E、F分别是AB，EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，则BF的长为　或　．

【解答】解：分三种情况：
①当∠PAD＝90°，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，
∴∠APB＝∠PAD＝90°，
∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝4，
∵∠B＝∠B，
∴△ABP∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得：BP＝，
∵EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，
∴BF＝PF＝BP＝；
②当∠APD＝90°时，点P与C重合时
∵AB∥CD，
∴∠APD＝∠ACD＝∠BAC＝90°，
∵E在AB上，E和A重合，
则△BEF与△PEF关于直线EF不对称，
∴该情况不存在；
③当点P与C不重合时，∠APD＝90°
作AG⊥BC于G，则EF与AG重合；
综上所述，若△APD是直角三角形或；
故答案为：或．



三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）计算时，小明、小亮两位同学的解法如下：
小明：
＝①
＝②
小亮：
＝③
＝     ④
（1）判断：小明、小亮两位同学的解题过程有无错误？若无误，请直接跳到下一问；若有误　①　（填序号）．
（2）请任选一种自己喜欢的解法，完成解答．
【解答】解：（1）①中应为：﹣，
故选①．
（2）选第一种解法，
﹣x+1＝﹣＝﹣＝．
17．（9分）人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，40，43，50；
信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 　40　百万人．
（2）下列结论正确的是 　①②　．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．


【解答】解：（1）将这31个省、自治区，因此中位数是40百万人，
故答案为：40；

（2）①全国大陆31个省、自治区，故原结论正确；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，故原结论正确；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014；2012﹣2013，2016﹣2021年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②；

（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生．
18．（9分）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程（Pappus，约300﹣350）把么△AOB三等分的操作如下：
（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y＝（x＞0）的图象；
（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y＝；
（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；
（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．
（1）判断四边形CEDM的形状，并证明；
（2）证明：O、M、E三点共线；
（3）证明：∠EOB＝∠AOB．


【解答】证明：（1）∵CE∥x轴，MD∥x轴，DE∥y轴，
∴CE∥MD，CM∥DE，
∴四边形CMDE是平行四边形，
∵x轴⊥y轴，CE∥x轴，
∴CE⊥MD，
∴四边形CMDE是矩形；
（2）设点C（a，），点D（b，），
∴点E（b，），点M（a，），
∴直线OE的解析式为：y＝，
当x＝a时，y＝，
∴点M在直线OE上，
即O、M、E三点共线；
（3）∵O、M、E三点共线，
∵四边形CMDE是矩形，
∴CN＝MN＝ND＝NE，
∴∠DCE＝∠CEN，
∴∠CNO＝2∠CEO，
∵CE∥x轴，
∴∠BOE＝∠CEO，
∴∠CNO＝2∠EOB，
∵CD＝4OC，
∴OC＝CN，
∴∠CNO＝∠CON，
∴∠AOB＝∠CON+∠EOB＝3∠BOE，
∴∠BOE＝∠AOB．
19．（9分）为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，安装说明书的部分内容如表：
名称
红外线体温检测仪
安装示意图

技术参数
最大探测角：∠B'CA'＝34°
安装要求
本设备需要安装在垂直于水平地面AB的支架CE上，CD∥AB且∠ECB'＝∠A'CD
问题解决：学校要求测温区域的宽度AB为4m，师生身高设定为A'A＝B'B＝1.7m．当师生从A走到B时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度EC．（结果精确到0.1m；参考数据tan34°≈0.7，tan28°≈0.5）

【解答】解：如图，过点A'作A'F⊥CE交CE于点F，
设CF＝xm．

∵∠ECB'＝∠A'CD，∠B'CA'＝34°，
∴，
在Rt△FCB′中，FB'＝x⋅tan28°，
在Rt△FCA'中，x＝FA'⋅tan28°，
∴x＝8.5（0.7x+4），
解方程得x≈2.2，
安装高度EC≈2.7+8.7＝4.2（m），
∴该设备的安装高度EC为4.4m．
20．（9分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元
【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，
∴2x﹣30＝90．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，
依题意得：90m+60(200﹣m)≤15500，
解得：m≤．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为116．
答：学校最多可以购买116个篮球．
21．（9分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA，从点A四周喷水，喷出的水柱为抛物线，如图，以水平方向为x轴，点A在y轴上，水柱所在的抛物线（第一象限部分）（x﹣3）2+2．
（1）求喷水管高OA．
（2）身高为1.7m的小明站在距离喷水管4m的地方，他会被水喷到吗？
（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2+2＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴喷水管高OA高m．
（2）解法一：对于y＝﹣（x﹣7）2+2，
令x＝6，则y＝﹣（4﹣3）3+2＝＞2.7，
∴小明不会被水喷到；
解法二：令y＝1.8，
则﹣（x﹣8）2+2＝5.7，
解得：x1＝8+，x2＝3﹣，
∵3+＞4＜4，
∴小明不会被水喷到；
（3）设喷水管OA的高度要升高hm，
则抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）4+2+h．
把（7，2）代入得：0＝﹣2+2+h，
解得：h＝，
∴喷水管OA的高度要升高m．
22．（10分）某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，并测得OH＝50cm，PQ＝40cm
（1）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？并说明理由；
（2）求滑块Q在平直滑到l上可以左右滑动的最大距离．

【解答】解：（1）小明的判断正确，理由如下：
∵OH＝50，PH＝PQ＝40，
∴OP2+PH2＝305+402＝2500，
OH2＝505＝2500，
∴OP2+PH2＝OH2，
∴∠OPH＝90°，即OP⊥PH，
∵OP为⊙的半径，
∴PH与⊙O是相切，
∵H点与Q点重合，
∴PQ与⊙O是相切的；
（2）由题意知，当点Q、P，Q点离H点的距离最远，
如图，当点Q在H点右边时，

∴HQ＝（cm），
故当点Q在H点右边时，点Q离H点的最大距离为20，
同理，当点Q在H点左边时cm，
∴滑块Q在平直滑到l上可以左右滑动的最大距离20＝40．
23．（10分）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在▱ABCD中，点P是边AD上一点．将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，连接DF，则四边形AEFD是菱形．
数学思考：
（1）请你证明“兴趣小组”提出的问题；
拓展探究：
（2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
问题解决：
“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，PD＝4，DC＝10．则AE的长为 　2.5　．（直接写出结果）


【解答】数学思考：
（1）证明：如图1中，由折叠的性质可知，DF＝EF，
∵EF∥AD，
∴∠DAF＝∠EFA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∴EA＝EF，
∴AD＝DF＝EF＝AE，
∴四边形AEFD是菱形；

（2）解：结论：PF⊥PC．
理由：连接AE．由折叠的性质可知，∠PEC＝∠PDC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵PEC+∠PEF＝180°，
∴∠DAB＝∠PEF，
∵点P是AD的中点，
∴PA＝PD＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∴∠DAB﹣∠PAE＝∠PEF﹣∠PEA，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF，
∵PF＝PF，
∴△PAF≌△PEF（SSS），
∴∠APF＝∠EPF，
∵∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF＝180°，
∴2∠CPE+3∠FPE＝180°，
∴∠FPC＝90°，
∴PF⊥PC；

问题解决：
解：延长CP交BA的延长线于点T．设AE＝x．

由折叠的性质可知，∠PCD＝∠PCE，
∵CD∥BT，
∴∠T＝∠DCP，
∴∠T＝∠PCE，
∴EC＝ET＝10，AT＝10﹣x，
∵AT∥CD，
∴＝，
∴＝，
∴x＝7.5，
∴AE＝2.5．
故答案为：2.5．