辽宁省抚顺市重点高中六校协作体2023届高三二模数学试题（含答案）

辽宁省抚顺市重点高中六校协作体2023届高三二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设，则（    ）

A． B． C． D．

3．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

4．已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（    ）

A．4 B． C． D．2

5．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数在处取得极大值4，则（    ）

A．8 B． C．2 D．

7．在三棱锥中，已知△ABC是边长为8的等边三角形，平面ABC，，则AB与平面PBC所成角的正弦值为（    ）

A． B．

C． D．

8．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（    ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

二、多选题

9．某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：

下列说法正确的是（    ）

A．产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍

B．产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍

C．产品升级后，产品C的营收减少

D．产品升级后，产品B､D营收的总和占总营收的比例不变

10．已知圆与圆，下列说法正确的是（    ）

A．与的公切线恰有4条

B．与相交弦的方程为

C．与相交弦的弦长为

D．若分别是圆上的动点，则

11．已知函数，且满足，则实数的取值可能为（    ）

A． B． C．1 D．2

12．如图，在棱长为1的正方体中，分别为和的中点，是截面上的一个动点（不包含边界），若，则下列结论正确的是（    ）

A．的最小值为

B．三棱锥的体积为定值

C．有且仅有一个点，使得平面

D．的最小值为

三、填空题

13．已知向量，，则__________.

14．如图，三个相同的正方形相接，则__________.

四、双空题

15．已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点（不重合），的垂直平分线过点，则中点的坐标为__________，双曲线的离心率为_________

五、填空题

16．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为________．

六、解答题

17．已知在等差数列中，.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求A；

(2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

19．如图，在四棱锥中，平面平面，已知底面为梯形，

(1)证明：；

(2)若平面，求二面角的正弦值．

20．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得=30.

(1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求其经验回归方程；

(2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y与投资金额x的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y与投资金额x的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.

附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

21．已知椭圆的右焦点为，且是椭圆上一点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过的直线（与轴不重合）与椭圆相交于两点，过的直线与轴交于点，与直线交于点（与不重合），记的面积分别为，若，求直线的方程.

22．已知函数.

(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求直线的方程；

(2)已知，证明：.

参考答案：

1．B

【分析】化简集合，根据交集的运算法则求解.

【详解】由已知，

所以.

故选：B.

2．A

【分析】根据复数的除尘法则计算．

【详解】由已知．

故选：A．

3．D

【分析】利用二倍角公式化简函数解析式，结合余弦函数的周期公式求其周期.

【详解】因为，

所以函数的最小正周期.

故选：D.

4．D

【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解.

【详解】由，

得，

则，

根据抛物线的定义知2，

解得，

代入，

得，

所以的面积为.

故选：D.

5．A

【分析】取中间值，根据指、对数运算估算范围，进而比较大小.

【详解】因为，即，

，

，且，即，

所以.

故选：A.

6．B

【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而算出的值.

【详解】因为，所以，

所以，解得，

经检验，符合题意，所以.

故选：B

7．A

【分析】根据等体积法求点A到平面PBC的距离，再根据线面夹角的定义分析运算.

【详解】因为平面ABC，且平面ABC，

所以，

由题意可得：，

在中，设边上的高为，则，

所以的面积

设点A到平面PBC的距离为d，

因为，即，

解得，

设AB与平面PBC所成角为，则.

故选：A.

8．C

【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.

【详解】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种，

②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种，

所以不同的安排方法有种.

故选：C

9．ABD

【分析】根据扇形统计图由产品升级前的营收为，升级后的营收为，结合图中数据即可结合选项逐一求解.

【详解】设产品升级前的营收为，升级后的营收为.

对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收是升级前的4倍，A正确.

对于产品 ，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收是升级前的2倍，B正确，

对于产品 ，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收增加，C错误.

产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变，D正确.

故选：ABD

10．BD

【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.

【详解】由已知得圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径，

，

故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；

做差可得与相交弦的方程为

到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；

若分别是圆上的动点，则，故D正确.

故选：BD

11．AD

【分析】令，则.讨论的奇偶性和单调性，由得，由的单调性得，解出实数的取值范围即可得到答案.

【详解】令，则，因为，

所以为奇函数.又因为，所以根据单调性的性质可得为增函数.

因为，所以，等价于，即，

所以，即，解得或，

所以实数的取值范围为.

故选：AD

12．BCD

【分析】根据线面垂直计算可以判断A选项，由线面平行可以判断B选项，根据线线平行得到线面平行应用反证法得出唯一性可以得到C选项，展开图可以得出最小值判断D选项.

【详解】若，则在平面上的投影在上，所以的轨迹为的最小值为到的距离，

，故的最小值为，故错误；

因为分别为和的中点，所以，的轨迹为,到平面的距离为定值

所以三棱锥的体积为定值，故B正确；

当且仅当为的中点时，

平面，若存在两个点M,平面,平面,

,平面,平面,平面平面,得出矛盾，故C正确；

将平面翻折到与平面重合，

，

所以，

所以，所以的最小值为，故D正确.

故选：:BCD.

13．

【分析】根据数量积的坐标公式即可求解.

【详解】解：.

故答案为：.

14．/

【分析】根据给定的几何图形，利用差角的正切求解作答.

【详解】依题意，，

所以.

故答案为：

15．     /    

【分析】第一空由垂直平分线与垂直且过点可得垂直平分线方程，联立直线与垂直平分线方程，解得交点即为的中点；第二问设的坐标，分别代入渐近线方程，作差化简即可得到，代入离心率公式即可得到答案.

【详解】如图，

由题可知的垂直平分线的方程为，

将与

联立可得即的中点坐标为.

设，

则

两式作差可得，

即，

因为，，

所以，则双曲线的离心率为.

故答案为：，

16．10

【分析】根据题意可证得是等比数列，再结合等比数列的求和公式运算求解.

【详解】因为，所以，

则，又，，

所以是首项为，公比的等比数列，则，

令，则，

又因为在定义域内单调递增，且，

所以，所以最大正整数n的值为10.

故答案为：10.

【点睛】方法定睛：判断和证明数列是等差(比)数列的方法

（1）定义法：对于n≥1的任意自然数，验证a＋1－a（或）为与正整数n无关的一常数．

（2）构造法：通过对含有a，a－1的式子的整体变形，如取倒数，两边加减常数等方法，构造出要证数列的第n项与第n－1项的关系，从而证明等差(比)数列 .

（2）中项公式法：

①若2a＝a－1＋a＋1(n∈N*，n≥2)，则{a}为等差数列；

②若＝a－1·a＋1(n∈N*，n≥2)，则{a}为等比数列．

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式列式求出和，再代入通项公式可得结果；

（2）利用，裂项求和可得结果.

【详解】（1）设的公差为.由，可得.

因为，所以，所以.因为，所以，

故.

（2）因为，所以，

所以

.

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换分析运算；

（2）利用面积公式、余弦定理运算求解.

【详解】（1）因为，由正弦定理得，

则，

又因为，则，得，

即，所以.

（2）因为△ABC的面积，即，可得，

由余弦定理可得：，

即，解得，

所以△ABC的周长为.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 由余弦定理求出，所以，满足勾股定理，所以，再由面面垂直的性质定理得到平面，从而得到.

(2)建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，用夹角公式求二面角的余弦值，再用平方关系得到二面角的正弦值．

【详解】（1）证明：因为，，

所以由余弦定理可得，所以，

所以，则．

因为平面平面，且相交于，平面，所以平面．

因为平面，所以．

（2）如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

易得平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

由,得，

取，得，所以，

所以，

所以二面角的正弦值为．

20．(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据已知数据，利用最小二乘法，求出回归系数，可得线性回归方程；

（2）利用概率公式求出随机向量X的概率，可得随机变量X的分布列，代入期望公式计算即可.

【详解】（1）根据获得的利润统计数据，

可得，，，

所以，

所以，

所以关于的经验回归方程为.

（2）由题意，，，，，，，

所以“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个.

随机变量的可能取值为，

，，，

，，

所以的分布列为

数学期望.

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的定义求出，再根据之间的关系求出，即可得解；

（2）设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，根据直线与轴平行，可得，再根据化简即可得解.

【详解】（1）由已知可得为的左焦点，

所以，即，

所以，

故椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，，

则由得，

显然，

于是，

由直线与轴平行，

可得，所以，

所以

，

解得，即，所以直线的方程为.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为、；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求导利用导数值求解斜率，结合垂直关系即可求解.

（2）构造函数，，求导确定单调性，结合零点存在性定理即可求解.

【详解】（1）解：，

因为切线与直线垂直，所以，即，

又，所以直线的方程为.

（2）证明：，

设，则，即在上是增函数，

因为，所以，

所以存在，使得，

当时，，则，即在上单调递减，

当时，，则，即在上单调递增，

故是函数的极小值点，也是最小值点，

则.

又因为，所以，

要证，只需证，

即证.

设，则在上单调递减，

因为，所以，则，

故.

故当时，.

【点睛】思路点睛：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.