青海省西宁市2023届高三一模文科数学试题（含答案）

青海省西宁市2023届高三一模文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，且，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知命题，，则p的否定为（    ）

A． B．

C． D．

3．1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票，如图，这枚邮票上印有4个复数，设其中的两个复数的积，则（    ）

A． B． C． D．

4．如图是甲、乙两人高考前次数学模拟成绩的折线图，则下列说法错误的是 （    ）

A．甲的数学成绩最后次逐渐升高

B．甲有次考试成绩比乙高

C．甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差

D．甲的数学成绩在分以上的次数多于乙的数学成绩在分以上的次数

5．在中，D是AB边上的中点，则=（    ）

A． B． C． D．

6．在直角三角形中，，，，以边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周，所得几何体的体积是（    ）

A． B． C． D．

7．2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

9．在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（    ）

①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；

②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则；

③若直线与平面内的无数条直线垂直，则；

④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．

A．0 B．1 C．2 D．3

10．已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知平行于x轴的一条直线与双曲线相交于P，Q两点，，（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．定义在R上的奇函数满足．当时，，则（    ）

A． B．0 C．4 D．14

二、填空题

13．已知一组数据，，，，的平均数是2，那么另一组数据，，，，的平均数是________．

14．函数在x＝1处的切线平行于直线x－y－1＝0，则切线在y轴上的截距为______．

15．在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为______．

16．1955年10月29日新疆克拉玛依1号油井出油，标致着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点在椭圆上，若点A的坐标为，点满足，，则的最小值是___________.

三、解答题

17．为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动．为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；

(2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到0.001）

参考公式及数据：，其中．

18．如图，在直三棱柱中，，为的中点，，.

(1)证明：；

(2)求三棱锥的体积.

19．在数列中，.

(1)求的通项公式；

(2)证明：.

20．已知椭圆C：的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左焦点为，过点的直线l与椭圆C交于两点，A关于x轴对称的点为M，证明：三点共线.

21．已知函数存在两个极值点.

(1)求的取值范围；

(2)求的最小值.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.

23．已知函数

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围

参考答案：

1．B

【分析】解出集合，利用交集含义即可得到答案.

【详解】由题意得，

又因为，，且.所以.

故选：B.

2．A

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.

【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，

得p的否定为.

故选：A.

3．D

【分析】根据复数的乘法运算可求得的值，即可得答案.

【详解】由，

故，则，

故选：D

4．B

【分析】根据折线统计图逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A，由折线图可知甲的最后三次数学成绩逐渐升高，A对；

对于B，甲有次考试成绩比乙高，B错；

对于C，由折线图可知，甲乙两人的数学成绩的最高成绩接近，

甲的最低成绩为分，乙的最低成绩为分，

因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，C对；

对于D， 甲的数学成绩在分以上的次数为次，乙的数学成绩在分以上的次数为次，D对.

故选：B.

5．C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

故选：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

6．C

【解析】根据圆锥的定义以及圆锥的体积公式即可求出．

【详解】根据题意以及圆锥的定义可知，将该直角三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，高为，所以其体积为.

故选：C．

【点睛】本题主要考查圆锥的定义以及圆锥的体积公式的应用，属于容易题．

7．D

【分析】将所有传球的结果列出，再利用古典概型求结果.

【详解】传球的结果可以分为：

分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；

若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；

再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种；

共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为

故选：D.

8．C

【分析】利用诱导公式和弦化切可得，再利用二倍角公式求其值.

【详解】由题设可得，而，

，

.

故选：C.

9．A

【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接判断．

【详解】解：对于①，当过平面外的两点在垂直于平面的直线上时，命题①不成立；

对于②，当不共线三点在平面，的两侧时，命题②不成立；

对于③，当直线与平面内的无数条平行线垂直时，命题③不成立；

对于④，当两条异面直线中有一条垂直于这个平面时，

它们在这平面内的射影就不再是两条直线，而是一条直线和一个点．故命题④不成立．

所以正确命题的个数为0个.

故选：A．

10．B

【分析】利用函数单调性的定义以及分段函数的单调性进行求解.

【详解】因为对任意，都有成立，

所以函数在定义域内单调递增，

因为，所以，

解得，故A，C，D错误.

故选：B.

11．B

【分析】根据对称和角度，找到之间的关系即可.

【详解】平行于x轴，且

所以

代入， 得：，

是等腰直角三角形，

,

故选：B

12．A

【分析】利用换元法与条件得到，再利用的奇偶性求得的周期为4，从而利用的周期性即可得解.

【详解】由，得，

因为是定义在上的奇函数，所以，

所以，则，

故的周期是4，

因为当时，，

所以.

故选：A.

13．

【分析】根据平均数计算方式计算即可.

【详解】

平均数

故答案为:

14．

【分析】由题意，求得，所以，则，进而求出函数在x＝1处的切线方程，从而得解.

【详解】，由题意，即，

所以，则，

故函数在x＝1处的切线方程为，即，

则切线在y轴上的截距为．

故答案为：．

15．

【分析】根据正弦定理得到关于的等式，根据锐角，求得角的范围，进而求得的取值范围即可.

【详解】解：在中，由正弦定理得，

所以，即，

因为锐角，所以，

即，解得，

所以，所以，

故，即.

故答案为：

16．

【分析】先根据得到点M的轨迹方程，利用和几何意义要想使最小，只需最小，设出，用两点间距离公式得到，根据求出，进而求出的最小值.

【详解】因为，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为，所以，要想使最小，只需最小，设，，则，其中，因为，所以当时，取得最小值，，此时.

故答案为：

17．(1)中位数为72

(2)表格见解析，有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．

【分析】（1）运用频率分布直方图中位数计算公式可求得结果.

（2）计算出优秀人数完成列联表，再运用独立性检验判断即可.

【详解】（1）因为，

所以竞赛成绩的中位数在内．

设竞赛成绩的中位数为m，则，解得，

所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72．

（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，

竞赛成绩为“优秀”的有：人，

由此可得完整的2×2列联表：

零假设：竞赛成绩是否优秀与性别无关.

因为，

所以有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；

（2）由（1）可知平面，可得出，结合体积公式可求得三棱锥的体积.

【详解】（1）证明：在直三棱柱中，

平面，平面，.

又，、平面，且，平面，

又平面，.

（2）解：由（1）知平面，

.

19．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得出的表达式，再验证的值是否满足的表达式，综合可得出数列的通项公式；

（2）计算得出，利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立.

【详解】（1）解：因为，①

则当时，，即，

当时，，②

①②得，所以，

也满足，故对任意的，.

（2）证明：，

所以

．

，

，即结论成立.

20．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意求得c，结合离心率求得，即得答案；

（2）判断直线l的斜率存在，设出直线方程，并和椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，表示出，的坐标，利用向量的共线证明三点共线，即得结论.

【详解】（1）∵椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点为,

∴,

又，∴,∴,

∴椭圆C的方程为.

（2）证明：由（1）知椭圆C的左焦点为，

当直线l的斜率不存在时，其方程为：，此时直线l与椭圆C没有交点，不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，

则.

联立，消去y得，

∴，解得,

∴，,

∵，，

又，，

∴

，

∵与共线，而与有公共点,即、、 三点共线.

【点睛】思路点睛：本题涉及到直线和椭圆的位置关系的问题，解答并不困难，要证明三点共线，一般结合向量的共线来证明，利用向量共线的坐标表示，计算即可.

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据极值点的定义可知，即有两个不等正根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得的取值范围；

（2）由（1）可知，由此化简为，令，利用导数可求得，即为所求的最小值.

【详解】（1）由题意知：定义域为，；

令，则有两个不等正根，

，解得：，实数的取值范围为.

（2）由（1）知：，是的两根，则；

；

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

，

即的最小值为.

22．(1)；

(2)

【分析】（1）曲线C的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l的直角坐标方程；

（2）由题可知点P过直线l，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算.

【详解】（1），得，

根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：.

（2）由（1）可知点过直线l，故直线l的参数方程可写为（t为参数），

代入曲线C的普通方程得，

由韦达定理可知：，，

所以.

23．(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论去绝对值求解；（2）根据求的最小值，运算求解.

【详解】（1）当时，由，即

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得，

综上所述：不等式的解集为

（2）∵，当且仅当时等号成立，则的最小值为

因为，所以

所以或

解得或

综上，即的取值范围为.