湖北省2023届高三下学期5月联考数学试题（含答案）

湖北省2023届高三下学期5月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数所对应的点在第四象限，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

3．随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（    ）（结果精确到0.01）

A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68

4．如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为8cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），若用直径为10cm的圆柱形容量器取液态原料（不考虑损耗），则圆柱中需要注入液态原料的高度约为（    ）（单位：cm）

A．2.26 B．10.45 C．4.12 D．4.61

5．云南某镇因地制宜，在政府的带领下，数字力量赋能乡村振兴，利用“农抬头”智慧农业平台，通过大数据精准分析柑橘等特色产业的生产数量､价格走势､市场供求等数据，帮助小农户找到大市场，开启“直播+电商”销售新模式，推进当地特色农产品“走出去”；通过“互联网+旅游”聚焦特色农产品､绿色食品､生态景区资源.下面是2022年7月到12月份该镇甲､乙两村销售收入统计数据（单位：百万）：

甲：5，6，6，7，8，16；

乙：4，6，8，9，10，17.

根据上述数据，则（    ）

A．甲村销售收入的第50百分位数为7百万

B．甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的的平均数

C．甲村销售收入的中位数大于乙村销售收入的中位数

D．甲村销售收入的方差大于乙村销售收入的方差

6．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

7．已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）

A． B． C． D．

8．若，则（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．若，则（    ）

A．

B．

C．

D．

10．已知函数满足，则（    ）

A．的图象关于直线对称

B．在区间上单调递增

C．的图象关于点对称

D．将的图象向左平移个单位长度得到

11．在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（    ）

A．点四点不共面

B．在底面内的射影面积为定值

C．直线与平面所成角的正弦的最大值为

D．当为中点时，四棱锥外接球的表面积为

12．若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（    ）

A．0 B． C． D．

三、填空题

13．已知向量，若，则__________.

14．请写出一个满足下列3个条件的函数的表达式__________.

①；②在上单调递减；③.

15．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则__________.

16．已知双曲线的左､右焦点分别为，过作斜率为的直线分别交两条渐近线于两点，若，则的离心率为__________.

四、解答题

17．已知在中，角的对边分别是，若.

(1)求证：为等腰三角形；

(2)若，且的面积为4，求的周长.

18．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若，求数列的前项和.

19．为激发学生学习研究问题的积极性，某数学老师在所教的甲､乙两个实验班开展问题求解比赛.比赛分轮次进行，每轮比赛甲､乙两个实验班各派5人组成一个小组代表本班参赛，比赛规定：在规定的时间内求解同一个问题，若甲､乙两个实验班小组一个小组求解正确，另一个小组求解不正确，则求解正确的小组所在的实验班得10分，求解不正确的小组所在的实验班得分；若甲､乙两个实验班小组都求解正确或都不正确，则甲､乙两个实验班均得0分.根据平时两个班成绩的差异性，甲､乙两实验班的小组求解问题的正确率分别为和，且两个班的小组求解是否正确互不影响，一轮比赛中甲实验班的得分记为X.

(1)求X的分布列与数学期望；

(2)若一共进行了5轮比赛，求甲实验班至少有4轮不输给乙实验班的概率.

20．已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，交于点.

(1)证明：平面；

(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

21．已知椭圆与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为上任意一点到其中一个焦点的距离的最小值为1.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线交于两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形在椭圆上，求的取值范围.

22．已知函数.

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．C

【分析】根据题意求出，再根据复数所对应的点所在象限，即可求解.

【详解】因为复数满足：，即，

故或，

因为复数所对应的点在第四象限，

故复数，所以.

故选:C.

2．D

【分析】先化简集合，再用补集的运算求，再化简集合，用交集运算即可求出.

【详解】或所以，

，则.

故选：D

3．A

【分析】先设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出.根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案.

【详解】如图，

设该抛物线的方程为，易知抛物线经过点，

所以，解得，故该抛物线的顶点到焦点的距离为，

故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为：米.

故选：A

4．B

【分析】根据圆台的体积公式可得蛋糕体积，然后由圆柱体积公式可得.

【详解】圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为，

圆柱的体积为，

故圆柱制作液态蛋糕原料高度约为.

故选：B.

5．B

【分析】对于A，求出这组数据的第50百分位数即可判断；对于B，分别求出，即可判断；对于C，分别求出甲村销售收入的中位数和乙村销售收入的中位数即可判断；对于D，分别求出甲村销售收入的方差和乙村销售收入的方差即可判断.

【详解】对于A，因为，所以这组数据的第50百分位数为，故A错误；

对于B，，

故甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的平均数，故B正确；

对于C，甲村销售收入的中位数为，乙村销售收入的中位数为，

则甲村销售收入的中位数小于乙村销售收入的中位数，故C错误；

对于D，甲村销售收入的方差

，

乙村销售收入的方差

，

所以甲村销售收入的方差小于乙村销售收入的方差，故D错误.

故选：B

6．A

【分析】将不等式转化为或，根据奇偶性和单调性可解.

【详解】已知是定义在上的偶函数，则，

又对任意，且，都有，

所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，又，所以，

根据函数的单调性可知：等价为或，

即或，解得或，

即不等式的解集为.

故选：.

7．D

【分析】由恒成立可知，始终在以为直径的圆内或圆上，求出点到直线的距离即为线段长度的最小值.

【详解】如图，

由题可知，圆心为点，半径为1，

若直线上存在两点，使得恒成立，

则始终在以为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为，

所以长度的最小值为.

故选：D

8．B

【分析】构造函数，利用导数研究函数单调性，由，可得，再由，再作商法，得，从而得解.

【详解】令，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

因为，所以，

又，，所以，所以，故，

因为，又因为，

故，从而有，综上所述：.

故选：B.

9．BD

【分析】令，二项式化为，然后利用二项式定理求得的项得其系数，判断A，赋值法令计算后可判断B，令和0计算后可判断C，令计算后可判断D．

【详解】，令，则，

对于，故A错误；

对于，令，得，故B正确；

对于，令，得，令，则，故C错误；

对于D，令，得，所以，故D正确.

故选：BD.

10．BC

【分析】根据可得，然后计算可判断AC；利用正弦函数的单调性可判断B；由函数图象的平移变换可判断D.

【详解】，，即

整理得，又，，即，

令，则，即，可得图象关于点对称，故A错误，C正确；

当时，，则函数在区间上单调递增，故B正确；

把将的图象向左平移个单位长度，可得，故D错误.

故选：BC.

11．BCD

【分析】对于A，当点与点重合时，即可判断四点共面；对于B，由在底面的射影为线段和即可判断在底面内的射影面积为定值；对于C，设直线与平面所成角为，则，当点在与点重合时，直线与平面所成角最大，此时可得到；对于D，当为中点时，可得外接球的半径为，从而求出四棱锥外接球的表面积.

【详解】如图，

当点与点重合时，四点共面，故A错误；

因为在底面的射影为线段，又因为，所以在底面内的射影面积为，故B正确；

设直线与平面所成角为，则，故只需点到平面的距离最大，

如图，

过做平面，垂足为，连接，

因为在直角中，，

所以当点与点重合时，点到平面的距离最大，为，

所以直线与平面所成角最大为，此时，故C正确；

如图，

当为中点时，连接，交于点，过做，垂足为，连接.

则在直角中，,所以,

又因为,所以到四棱锥各个顶点的距离相等，

所以正方形的中心即为外接球的球心，所以外接球的半径为，

从而四棱锥外接球的表面积为，故D正确.

故选：BCD

12．ABC

【分析】设该直线与相切于点，求出切线方程为，设该直线与相切于点，求出切线方程为，联立方程组，得到，令，讨论的单调性，从而得到最值，则可得到，解出的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.

【详解】设该直线与相切于点，因为，所以，

所以该切线方程为，即.

设该直线与相切于点，因为，所以，

所以该切线方程为，即，

所以，

所以，

令，

所以当时，0；当时，；

在和上单调递减；在和上单调递增；

又，所以，

所以，解得，所以的取值范围为，

所以A正确；

对于B，，所以，所以B正确；

对于C， 因为，所以C正确；

对于D， 因为，所以D不正确.

故选：ABC

13．

【分析】由得，根据向量数量积的坐标运算求得的值，进而求得.

【详解】根据题意，因为，所以，

所以，所以，

所以，

此时，则.

故答案为:.

14．（答案不唯一）

【分析】由①知为偶函数，由③知的周期为2，再结合的单调区间即可求解.

【详解】由得：，

又

，

的一个正周期为2.

故函数应该是最小正周期为2的偶函数为：（答案不唯一）.

故答案为:（答案不唯一）.

15．46

【分析】先证，由倒序相加法可得通项，然后可解.

【详解】因为函数的定义域为，

设是函数图象上的两点，其中，且，则有，

从而当时，有：，当时，，

，

相加得

所以，又，

所以对一切正整数，有；

故有.

故答案为：46.

16．

【分析】设直线的方程为，分别求得，，取的中点，从而，进而，得，从而有，即可求得双曲线的离心率.

【详解】依题可设直线的方程为，

由得，

同理可得，

所以的中点，又因为，

所以，所以，即，即，

所以，即，所以双曲线的离心率为.

故答案为：.

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)由，用同角的三角函数的关系与和差角公式化简得，即可得到，所以为等腰三角形；

(2)由(1)得，由的面积为得，再由余弦定理得，则可求出，然后求出的值，即为的周长.

【详解】（1）根据已知条件有：，

整理化简可得：，

，

，

或（舍去），

故为等腰三角形.

（2）由(1)得：，

，且的面积为，解得，

所以，

解得，

故的周长为.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过基本量计算可得，然后由等比数列前n项和公式可得，利用定义可证；

（2）由错位相减法可得.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

因为成等差数列，所以1，

所以，即，又正项等比数列，所以，解得，

因为，所以，得，

所以

所以，

，所以，

又，所以数列是首项为，公比为的等比数列；

（2）由（1）得，，所以，

所以①

②

①-②得，

整理得：.

19．(1)分布列见解析，1

(2)

【分析】(1)先找出X的所有可能取值，再分别求出X的可能取值对应的概率，即可得到的分布列，由分布列可算出数学期望；

(2) 先求在一轮比赛中甲实验班不输给乙实验班的概率，再求5轮比赛，甲实验班有4轮和5轮不输给乙实验班的概率，然后把概率相加即可.

【详解】（1）依题意，的所有可能取值为.

，

，

，

所以的分布列为：

所以.

（2）在一轮比赛中记甲实验班不输给乙实验班为事件，

则，

所以5轮比赛，甲实验班至少有4轮不输给乙实验班的概率为

.

20．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直判定定理将问题转化为线线垂直，结合已知可证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面的夹角的余弦值为可求得点P坐标，然后可解.

【详解】（1）四边形是菱形，

平面，

平面，

平面，

是的中点，，

平面，

平面.

（2）因为菱形的边长为，

由余弦定理有：

，

又

，

故有：，从而可求得：，

根据第（1）问可知：因为平面，

因为平面，所以，

又，所以两两垂直，

下面以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则有：

点，设，所以，，

设为平面的一个法向量，

由，可得，取，，

所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，

因为平面与平面的夹角的余弦值为，

所以

所以，所以，因为，

所以，所以，

故点，因为，

又因为平面的一个法向量，

记直线与平面所成角为

.

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据题意列出关于a、b、c的方程，结合可解；

（2）设，利用韦达定理结合四边形为平行四边形可的点P坐标，然后结合点P在椭圆上可解.

【详解】（1）由题可知

，

所以，即，

所以，

所以，因为，

所以2，所以.

所以椭圆的方程为：.

（2）联立，消去，化简整理得：，

需满足，

设，由韦达定理可

知：.

则以为邻边作平行四边形，

则，

由于点在椭圆上，所以，

即

化简得：，经检验满足

又

，

由于，

所以，

所以，故，

所以的取值范围为.

22．(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在处的导数值即为切线斜率，所以对函数求导可得切线斜率，进而得切线方程；

（2）根据题意属于不等式恒成立求参数取值范围问题，可以把不等式分离参数，然后构造新函数，转化为利用导数求新函数的最值问题；也可以利用切线不等式得到即，再对分和讨论即得的取值范围.

【详解】（1），，

，

的图像在处的切线方程为，即.

（2）解法一：由题意得，因为函数，

故有，等价转化为，

即在时恒成立，所以，

令，则，

令，则，所以函数在时单调递增，

，，

，使得，

当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，

故，

由，得

在中，，当时，，

函数在上单调递增，，即与，

，

，即实数的取值范围为.

解法二：因为函数，

故有，等价转化为：，

构造，

，所以可知在上单调递减，在上单调递增，

，即成立，令，

令， 在单调递增，

又，所以存在，使得，即，

可知，

当时，可知恒成立，即此时不等式成立；

当时，又因为，

所以，与不等式矛盾；

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．