2023年陕西省榆林市第十中学中考二模数学试卷（含解析）

2023年陕西省榆林市第十中学中考二模数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1． 的值为（　　）

A． B． C． D．

2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是(   )

A． B． C． D．

3．计算：（　　）

A．  B．  C．  D．

4．如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的周长为（  ）

A．8 B． C．6 D．4

5．如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（　　）

A．5 B．3 C．4 D．6

6．已知一次函数的图象与y轴交于负半轴，且不经过第一象限，则该函数图象的图象的交点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．如图，点A，B，C在上，，，则的度数（　　）

A． B． C． D．

8．将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值为（　　）

A．， B．， C．， D．，

二、填空题

9．因式分解： _____．

10．若扇形的圆心角为，半径为4，则它的弧长为 _____．（结果保留π）

11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就《九章算术》中有这样个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走路慢白人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是_____．

12．如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，在第一象限，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，若，则的_____．

13．如图，已知的面积为32，点F在边上，且，连接，点G在线段上，为邻边向上作▱CEGF，连接，则图中阴影部分的面积为_____．

三、解答题

14．计算： ．

15．解不等式组：．

16．计算：．

17．如图，已知矩形，请用尺规作图法在矩形内部找一点使得要求：作出符题意的一点即可，保留作图痕迹，不写作法．

18．如图，在菱形中，E、F分别为边和上的点，且，连接、交于点O，求证：．

19．已知关于x的一元二次方程有实数根．

(1)求实数k的取值范围；

(2)当时，求原方程的解．

20．年月日，“天宫课堂”第三课开课，开设课程是问天实验舱介绍，毛细效应实验，水球变“懒”实验，太空趣味饮水，会调头的扳手等项目，某学校打算在名学生小明、小刚、小芳、小丽、小鹏中，通过抽签的方式确定名学生对观看“天宫课堂”观后感进行分享诵读抽签规则：将名学生的名字分别写在张完全相同的卡片正面，把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的四张卡片中随机抽取第二张，记下名字．

(1)第一次抽取卡片小明被抽中的概率是多少？

(2)请用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能结果，并求出小丽被抽中的概率．

21．圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．

(1)求∠BAD的度数．

(2)求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）

22．陕西省南北狭长，地域、气候类型多样，土地资源肥沃，物产丰富，有很多土特产，临潼石榴集中国石榴之优，历来是封建皇帝的贡品，享誉九州．白居易曾写诗赞美：“日照血球将滴地，风翻火焰欲烧人”．已知每箱石榴的成本价为元，经市场调研发现，该石榴的月销售量箱与销售单价元之间的函数图象如图所示．

(1)求与之间的函数关系式；

(2)当石榴的月销售量为箱时，求该月的销售总利润．

23．为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了围棋社团、书法社团、合唱社团、剪纸社团活动．该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：

(1)你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是______，条形统计图中的值为______；

(2)求扇形统计图中的度数；

(3)根据调查结果，可估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？

24．如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：；

(2)若，求的半径．

25．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求点A、B，C的坐标；

(2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

26．（1）问题提出：如图1，在中，，，，则的长为______；

（2）问题探究：如图2，在矩形中，，，点P是矩形内部或边上一点，若以P、B、C为顶点的三角形是以为底边的等腰三角形，求P、D两点之间的最短距离；

（3）问题解决：如图3，西安昆明池也称“七夕公园”，源于汉武帝元狩三年，为训练水师，在长安斗门镇一带，开凿了昆明池，池中刻置石琼，两岸刻制牛郎、织女，以象征天河．设计师规划一块等腰直角三角形区域种植玫瑰花和四分之一圆区域种植郁金香，其中，米，以B为圆心以长为半径画弧交延长线于点D，点P是上的一动点（不与点C、D重合），连接，过点C作交于点Q．为方便游人休息，设计师想在Q处建立一个亭子，从点D到点Q处修一条小路（亭子大小和路的宽度忽略不计），且满足点D到点Q的距离最小，这样的点Q是否存在，若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】根据有理数的乘法可进行求解．

【详解】解：．

故选：B．

【点睛】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法可进行求解．

2．B

【分析】根据几何体的三视图可进行求解．

【详解】解：由题意可知该几何体的主视图为 ；

故选B．

【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．

3．C

【分析】根据完全平方公式展开即可得出结果．

【详解】解：，

故选：．

【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．

4．A

【分析】根据菱形的性质得到，，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案．

【详解】解：∵四边形是菱形，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得：，

∴，

∴，

∴菱形的周长为，

故选A．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．

5．A

【分析】首先利用中线的性质可以求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．

【详解】解：∵为的中线，

∴，

∵的面积为5，

∴，

∵为的高线，，

∴，

∴．

故选：A．

【点睛】题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性．

6．D

【分析】根据一次函数图象的象限，判断出，即可解答．

【详解】解：∵一次函数的图象与y轴交于负半轴，且不经过第一象限，

，

，

则的图象经过第一、三、四象限，

∴两函数图象交点在第四象限，

故选：D．

【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限判断参数的值，熟知一次函数图象的特征是解题的关键．

7．C

【分析】根据平行线的性质，可得，进而根据同弧所对圆周角与圆心角的关系即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是掌握与圆有关的概念和性质．

8．D

【分析】先将关系式化为顶点式，再根据平移规律解答即可．

【详解】解：二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，

∴平移后解析式为：，

则，．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．

9．

【分析】根据平方差公式，即可解答．

【详解】解：原式，

故答案为：．

【点睛】本题考查了用平方差公司进行因式分解，熟练运用平方差公式是解题的关键．

10．

【分析】根据弧长公式可进行求解．

【详解】解：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握公式是解题的关键．

11．

【分析】根据两人行走的路程相等列方程即可．

【详解】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走步，

依题意，得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据走路快的人所走的路程表示出行走时间．

12．

【分析】由题知，反比例函数的图象经过点，设点坐标为，作于，过点作于，得出，代入即可求解．

【详解】解：由题知，反比例函数的图象经过点，设点坐标为，

作于，过点作于，

四边形是平行四边形，，

，，四边形是矩形，

，

即，

的图象经过点，

，

，

解得：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，矩形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

13．4

【分析】根据题意，证明，即可解答．

【详解】解：如图，连接，

∵四边形是平行四边形，

，则．

，

，

的面积为32，

．

，

．

．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的应用，熟练进行面积的转化是解题的关键．

14．

【分析】先根据乘方运算、绝对值、负整式指数幂、0指数幂等知识进行化简，再根据二次根式加减运算即可求解．

【详解】解：原式．

【点睛】本题考查乘方运算、绝对值、负整式指数幂、零指数幂、二次根式加减等知识，综合性较强，熟知相关知识并能正确化简是解题关键．

15．不等式组无解

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：由得：，

由得：，

则不等式组无解．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16．

【分析】先将分子分母进行因式分解，再算括号内的，然后算除法，即可求解．

【详解】解：

．

【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，注意运算顺序，若分子分母能因式分解要先因式分解．

17．见解析

【分析】根据直径所对的圆周角是直角，作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径作，接着再矩形内部的圆上任意取点，

则点为所作．

【详解】作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径作，接着再矩形内部的圆上任意取点，

则点为所作．

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，作垂直平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．

18．见解析

【分析】根据菱形的性质和已知条件，证明即可求解．

【详解】四边形是菱形，

，

，

，

即，

在与中，

，

，

．

【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是根据菱形的性质：四条边都相等，证明三角形全等．

19．(1)k的取值范围为

(2)

【分析】（1）将原方程化为一般形式，用根的判别式进行判断，当一元二次方程有实数根时，，代入计算即可；

（2）代入，用分解因式法求解一元二次方程．

【详解】（1）方程化为一般式为，

根据题意得，

解得，

故答案为：；

（2）当时，原方程化为，

，

解得：；

故答案为：．

【点睛】本题考查解一元二次方程，根据根的判别式判断根的情况是解题的关键，解一元二次方程的方法：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法等．

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；

（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小丽被抽中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．

【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，

∴第一次抽取卡片小明被抽中的概率是；

（2）解：画树状图如下：

由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小丽被抽中的结果有：，，，，，，，，共种，

小丽被抽中的概率为．

【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图是解题的关键．

21．(1)47°

(2)3.3米

【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；

（2）分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可．

【详解】（1）解：，，

，

答：的度数是．

（2）解：在Rt△ABC中，，

∴．

同理，在Rt△ADC中，有．

∵，

∴．

∴，

∴（米）．

答：表AC的长是3.3米．

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决．

22．(1)与之间的函数关系式为

(2)当石榴的月销售量为箱时，该月的销售总利润为元

【分析】（1）设函数解析式为，根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据题意，将代入（1）的结论求得，进而即可求解．

【详解】（1）设函数解析式为，

由题意得：，

解得：

，

当时，，

，

与之间的函数关系式为；

（2）当时，，

解得，

销售利润为元，

当石榴的月销售量为箱时，该月的销售总利润为元．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．

23．(1)(书法社团)；

(2)扇形统计图中的度数

(3)估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有人

【分析】（1）根据众数的定义，结合统计图即可求解；根据(或书法社团)的人数的占比求得样本的容量，进而求得的值；

（2）根据合唱社团的人数除以样本的容量，乘以度，即可求解；

（3）样乘以，即可求解．

【详解】（1）解：你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是B(或书法社团)；

样本容量为：，

故．

故答案为：书法社团；；

（2）解：由题意得，；

（3）解：名)，

答：估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有人．

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

24．(1)见解析

(2)的半径为5

【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定性质，即可解答；

（2）连接，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，即可解答．

【详解】（1）证明：连接，如图，

是的切线，

．

，

，

．

，

，

，

；

（2）解：连接，如图，

，

，

，

．

是直径，

，

．

，

，

，

．

．

．

，

即的直径为5．

【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系，连接经过切点的半径是解决此题常用的辅助线．

25．(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为

(2)存在，点E的坐标为，

【分析】（1）令，，解方程即可；

（2）根据二次函数解析式得到点D的坐标为，求得是以为斜边的等腰直角三角形，得到，如图，设交l于点G，根据轴对称的性质得到，根据相似三角形的性质即可得出结论．

【详解】（1）解：在中，令，，

解得，，

∴点A的坐标为，点B的坐标为，

在中，令，，

∴点C的坐标为；

（2）解；存在，由知抛物线的对称轴l为直线，

∴点D的坐标为；

∵，，

∴，

∴是以为斜边的等腰直角三角形，

∴，

如图，设交l于点G，

∵点E，F关于直线l对称，

∴，

∵，

则，，

∴．

分两种情况讨论：

当点E在x轴上方时，设E1的横坐标为n，

则，，，

将其代入中，得，

解得，（舍去），

∴，

当点E在x轴下方时，设的横坐标为n，则，，

∴，

将其代入中，得，

解得，（舍去），

∴，

综上所述，在抛物线上存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，

∴点E的坐标为，．

【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．

26．（1）；（2）P、D两点之间的最短距离为；（3）符合条件的点Q存在，的最小值为米．

【分析】（1）利用勾股定理解答即可；

（2） 连接，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，交于点P，则上的点为符合条件的点，在的C上任取一点，连接，，利用线段最短可得当点与点重合时，P、D两点之间的距离最短，利用勾股定理解答即可;

（3）作的外接圆，连接，交于点，连接，，此时点的位置为所求的点，使得线段最小．利用正方形的判定与性质得到四边形为正方形，勾股定理解答求得线段的长，利用同圆的半径相等得到，则，即可得结论．

【详解】（1）解：∵，，，

∴，

故答案为：；

（2）连接，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，交于点P，则上的点为符合条件的点P，在上任取一点，连接，，如图，

∵线段最短，

∴，

∴当点P与点重合时，P、D两点之间的距离最短，

即P、D两点之间的最短距离为线段的长．

∵，，

∴．

∴P、D两点之间的最短距离为；

（3）符合条件的点Q存在，理由：

作的外接圆，连接，交于点Q，连接，，如图，

此时点Q的位置为所求的点，使得线段最小．理由：

在劣弧上任取一点，连接，，

由于线段最短，则，

∴当点Q与点重合时，的长最短．

连接，

∵，，

∴．

由题意：点A，C，P，D在以B为圆心，为半径的圆上，

∴．

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴四边形为正方形，

∴（米），

∴（米），

∴（米），

∴（米），

∵米，

∴米，

∴的最小值为米．

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，线段最短，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，熟练掌握线段最短的性质是解题的性质．