压轴题秘籍01 反比例函数的综合-备战2023年中考数学抢分秘籍（全国通用）

题型解读：

反比例函数的综合问题在中考中常常以解答题和填空题的形式出现，解答题考查居多.此类题型多是反比例函数与一次函数及几何图形的综合考查，一般要用到解不等式、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题：①求反比例函数的解析式；②求交点坐标、图形面积；③利用函数图象比较一次函数与反比例函数值的大小；④反比例函数与几何图形综合.下图为反比例函数综合问题中各题型的考查热度.

题型1：反比例函数与一次函数交点问题

解题模板：

技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集：

1.（2022秋•西安期末）如图，已知反比例函数y＝﹣与直线y＝﹣2x+2交于A（﹣1，4），B两点．

（1）求点B的坐标；

（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+2＜﹣的解集．

【变式1-1】（2022•贵阳）一次函数y＝﹣x﹣3的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣4，m），B（n，﹣4）两点．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围．

【变式1-2】（2022秋•绥宁县期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝﹣，的图象都经过点A（3，m）、B（n，﹣3）．

（1）求一次函数的表达式；

（2）不等式kx+b≥﹣的解集是？

题型2：反比例函数与一次函数图像面积问题

解题模板：

2.（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．

（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；

（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．

【变式2-1】（2022•菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．

【变式2-2】（2022•鄂尔多斯）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．

（1）根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集；

（2）求反比例函数与一次函数的解析式；

（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．

题型3：反比例函数与几何图形结合

解题模板：

3.（遂宁）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．

【变式3-1】（成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．

【变式3-2】（菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为　（，0）　．