压轴题秘籍04 圆的综合-备战2023年中考数学抢分秘籍（全国通用）

圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高．多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.右图为圆的综合问题中各题型的考查热度.

题型1：切线的判定

解题模板：         

1.（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．求证：CD是⊙O的切线；

【变式1-1】（2022•鄂尔多斯）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．求证：DE是⊙O的切线；

【变式1-2】（2022•荆门）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

题型2：圆中求线段长度

解题模板：        

2.（2022•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．

（1）求证：四边形EMFC是矩形；

（2）若AE＝，⊙O的半径为2，求FM的长．

【变式2-1】（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．

（1）求证：BG与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．

【变式2-2】（2022•聊城）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．

（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；

（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．

题型3：圆中的最值问题

解题模板：        

技巧精讲：

1、辅助圆模型

3.（碑林区校级模拟）问题提出：

（1）如图①，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是　　．

问题探究：

（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．

问题解决：

（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

【变式3-1】（2022秋•南关区校级期末）【问题情境】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A、B、C、D四点共圆．

小吉同学的作法如下：连结AC，取AC的中点O，连结OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程；

【问题解决】如图②，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连结AE，AF，作EP⊥AF于点P．

（1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为　　；

（2）如图③，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，则MN的最小值为　　．

【变式3-2】（2020秋•盱眙县期末）如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．

（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：

∵AC＝BC＝EC，

∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上．

∴∠AEB＝　　∠ACB＝　　°．

（2）若BE＝2，求CF的长．

（3）线段AE最大值为　　；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为　　．

4.如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为a（0°＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．

（1）求证：BD1＝CE1；

（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，则旋转角为a＝　　（直接写结果）

（3）连接PA，△PAB面积的最大值为　　（直接写结果）

【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为BC边上的动点，将△FCE沿直线EF翻折，点C落在点P处，求点P到边AB距离的最小值．

【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为（3，0），点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作ME⊥CP于点E，交BP于点N，连结AN．

（1）求⊙M的半径长；

（2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；

（3）当点P运动时，求线段AN的最小值．

5.问题发现（1）如图1，在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，试猜想△ABC面积的最大值为　　；

问题探究（2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝BC，∠C＝120°，连接BD，求cos∠ADB的值；

问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，DC＝2AD，AB＝10，C为AB为直径的半圆上一点，O为圆心，请问四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求这个最大值；若不存在，试说明理由．

【变式5-1】问题提出：

如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是　　．

问题探究：

如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．

问题解决：

如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．