冲刺卷04——备考2023中职高考数学冲刺模拟卷（上海适用）

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2023年上海市普通高等学校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试数学模拟试卷四（满分100分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．设集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用一元二次不等式化简集合A，再利用交集运算求解.【详解】因为，，所以，故选：D.2．函数的单调递减区间为　　A． B． C． D．【答案】A【分析】根据所给的二次函数的二次项系数大于零，得到二次函数的图象是一个开口向上的抛物线，根据对称轴，考查二次函数的变化区间，得到结果．【详解】解：函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是 故选A．【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题．3．设f(x)＝x2(2－x)，则f(x)的单调增区间是（    ）A． B．C．(－∞，0) D．【答案】A【解析】先求出函数的导函数，令导函数大于0，解不等式求出即可．【详解】f（x）＝x2（2﹣x），∴f′（x）＝x（4﹣3x），令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，故选：A．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，是一道基础题．4．复数z＝i（1－i）的模| z |＝（    ）A． B．2 C．1 D．3【答案】A【分析】直接计算模即可【详解】，故选：A5．用列表法将函数表示为（见表格）则下列判断正确的是（    ）-2-10-101 A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数【答案】C【分析】由题意得，，，再根据奇偶性的定义判断即可得出结论．【详解】解：由表格得，，，则，，，则，则为奇函数，则为偶函数不成立；若为奇函数，即，则有函数的图象关于点对称，由题设推不出，不成立；若为偶函数，即，则有函数的图象关于直线对称，由题设推不出，不成立；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，运用定义法是解题的关键，属于基础题．6．六一儿童节，某幼儿园的每名小朋友制作了一件礼物．该幼儿园将小朋友们进行分组，每4位小朋友为一组，小组内小朋友随机拿一件本组小朋友制作的礼物，则小朋友A没有拿到自己制作的礼物的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出基本事件总数（24）和所求事件包含的基本事件个数（18），进而可得结果.【详解】根据题意，每个小朋友随机拿一件礼物，共有种结果，其中小朋友A没有拿到自己的礼物含有种结果，所以概率为．故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．不等式的解集为___________．【答案】【详解】不等式的解集为.【考点定位】二次不等式的解法8．复数，则__________.【答案】3【分析】根据复数的乘法运算和复数相等，即可求解.【详解】，则，解得：.故答案为：3.9．不等式的解集是______________．【答案】【详解】或.即答案为.10．若，则______．【答案】【分析】根据给定条件利用诱导公式求解即得.【详解】因，则，即，所以.故答案为：11．已知是等差数列的前项和，若，则_______【答案】21【分析】根据题中条件，由等差数列的性质求出；再由等差数列的求和公式，即可得出结果.【详解】因为是等差数列的前项和，若，由等差数列的性质可得，则，即；所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查等差数列前项和基本量的运算，考查等差数列性质的简单应用，属于基础题型.12．已知矩阵，，，且，则的值为__.【答案】6.【分析】由矩阵加法运算可得，求出，即可得出结论.【详解】由题意，，∴，，∴.故答案为：6.【点睛】本题考查矩阵的加法运算，属于基础题．13．在中，，的面积，则=______【答案】12【分析】利用三角形面积公式即可得到结果.【详解】∵，的面积，∴∴=12故答案为：12【点睛】本题考查解三角形问题，考查三角形面积公式，属于基础题.14．函数的最小正周期等于_____.【答案】【分析】利用降幂公式整理化简，再由三角函数的最小正周期求得答案.【详解】因为函数故最小正周期等于.故答案为：【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期，属于基础题.15．若，，则______.（结果用、表示）.【答案】【分析】根据对数公式化简求解.【详解】故答案为：16．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分别为4，5，则输出的值为______.  【答案】1055【分析】模拟执行程序框图中的程序，即可求得结果.【详解】模拟执行程序如下：，满足，，满足，，满足，，满足，，不满足，输出.故答案为：1055.【点睛】本题考查程序框图的模拟执行，属基础题.17．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有_________种．【答案】【分析】先进行分类，然后计算出不同的方法总数.【详解】依题意，个人的分组方法有或两种情况.当分组方法为时，甲单独，其他人分成两组，再安排到个社区，方法数为种.当分组方法为时，甲单独，其他人分成两组，再安排到个社区，方法数为种，故总的方法数有种.故答案为：18．已知圆锥侧面展开图的周长为，面积为，则该圆锥的体积为______．【答案】或【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径、母线长，进而求出高即可计算作答.【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长，则圆锥侧面展开图扇形弧长为，依题意，，即，解得或，当时，圆锥的高，体积为，当时，圆锥的高，体积为，所以该圆锥的体积为或.故答案为：或三、解答题（本大题共6题，满分46分）解答下列各题，需写出必要的步骤．19．（本题满分6分）每小题满分各为3分．（1）已知(是虚数单位)是方程()的一个复根,求实数,的值;（2）在复数范围内解方程:.【答案】（1）,（2）,【分析】（1）将代入方程,再根据复数相等列方程求解即可;（2）利用配方法求解即可.【详解】（1）根据题意得:,所以,则,解得:,.（2）因为,所以,得,即，.20．（本题满分6分）每小题满分各为3分．如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:(1)BC1⊥AB1.(2)BC1∥平面CA1D．【答案】见解析【详解】如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2),所以·=0-4+4=0,因此⊥,故BC1⊥AB1.(2)取A1C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),所以=(0,1,1).又=(0,-2,-2),所以=-.又ED和BC1不共线,所以ED∥BC1.又DE⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,故BC1∥平面CA1D.21．（本题满分8分）第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为5分．设数列满足，.（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等差数列，为前项和，且，，求.【答案】（1）;（2）【分析】（1）判断数列为等比数列，直接利用等比数列公式得到答案.（2）先计算等差数列的首项和公差，再利用公式计算得到答案.【详解】（1）∵数列满足，∴∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列∴的通项公式，前项和；（2）由（1）可得，∴公差∴.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的公式，意在考查学生的计算能力.22．（本题满分8分）第（1）小题满分为5分，第（2）小题满分为3分．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.(1)求圆的方程；(2)已知直线与圆相交于两点，求所得弦长的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长.【详解】（1）由题意可得，圆心为，半径为2，则圆的方程为；（2）由（1）可知：圆的半径，设圆心到的距离为，则，所以.23．（本题满分9分）第（1）小题满分为5分，第（2）小题满分为4分．函数的定义域为，且存在唯一常数，使得对于任意的x总有，成立．(1)若，求；(2)求证：函数符合题设条件．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法令与，结合分别求出与，即可得解；（2）假设存在常数满足，所以，设，判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可证明；【详解】（1）解：因为，所以，又，所以，又，所以，所以（2）解：因为的定义域为，假设存在常数满足，即，所以，设，显然在上单调递增，又，，所以存在唯一的常数使得，即存在唯一的常数使得函数符合题设条件；24．（本题满分9分）第（1）小题满分为4分，第（2）小题满分为5分某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x万件，需另投入成本为．当年产量不足60万件时，（万元）；当年产量不小于60万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润=销售收入-总成本）(1)写出年利润L（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；(2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．【答案】(1)(2)生产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1100万元 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本，结合已知分段可得；（2）分别根据二次函数的性质和基本不等式可得各段函数的最大值，然后比较可得.【详解】（1）当，时，．当时，．∴．（2）当时，∴当时，取得最大值100（万元），当时，,当且仅当，即时等号成立．即时，取得最大值1100万元．∵，∴生产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1100万元．