北京市清华大学附属中学九年级下学期3月考+数学试题

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初三数学练习
一、选择题（共16分，每题2分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 下列图形中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称和轴对称图形的定义逐个判断，从而得出选项．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故答案是：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的判定和中心对称图形的判定，掌握图形对称的基本概念，是求解的关键．
2. 被誉为“中国天眼”的望远镜首次发现的脉冲星自转周期为秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一，将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 不一定相等的一组是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．
【详解】解：A. =，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
4. 一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
【答案】B
【解析】
【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：设多边形的边数为n．
根据题意得：（n−2）×180°＝360°，
解得：n＝4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．
5. 若将铅笔，直尺和圆规在桌面上随机排成一行，则圆规在中间的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，使用列举法，可得随机排成一行，有6种情况，而圆规在中间的有2种，根据概率公式可得答案．
【详解】解：如果把铅笔（Q），直尺（Z）和圆规（Y），随机排成一行，
有Q、Z、Y；Y、Z、Q；Q、Y、Z；Z、Y、Q；Z、Q、Y；Y、Q、Z；共6种情况；
其中有2种Y在中间，
故圆规在中间的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，注意使用列举法解题时，按一定的顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
6. 在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，则点P在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的增减性可得，从而可得反比例函数的图象在第一、三象限，再根据点的横坐标大于0即可得出答案．
【详解】解：反比例函数图象在每一个象限内，随的增大而减小，
，
这个反比例函数的图象位于第一、三象限，
又反比例函数图象经过点，且，
点在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
7. 如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】连接 根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
【详解】解：如图，连接

∵ P1是 P 关于直线 l的对称点，
∴ 直线 l 是 PP1的垂直平分线，
∴ ，
∵ P2是 P 关于直线 m 的对称点，
∴ 直线 m 是 PP2的垂直平分线，
∴ ，
当 P1，O，P2不在同一条直线上时，
即 ，
当 P1，O，P2在同一条直线上时， ，
∴，之间的距离可能是5，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键．
8. 一件工作，已知每人每天完成的工作量相同，一个人完成需24天，若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解．
【详解】解：依题意可得：，即：，
∴，，且为整数．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围___．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．
10. 分解因式：_________．
【答案】2（a+1）2
【解析】
【分析】
【详解】2（a+1）2.
故答案为2（a+1）2
考点：因式分解

11. 如图，是的直径，C是上一点，，，则扇形（阴影部分）的面积为___．

【答案】
【解析】
【分析】直接由圆周角定理得出的度数，再利用扇形面积求法得出答案．
【详解】∵，
∴，
∴扇形（阴影部分）的面积为： ，
故答案：．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，扇形面积求法，正确记忆扇形面积公式是解题关键．
12. 用一个a的值说明命题“若，则”是假命题，则这个值可以是___．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据与是倒数的关系，判断即可．
【详解】解：当时，则，而，
∴命题“若，则”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13. 将抛物线向下平移b个单位长度后，所得新抛物线经过点，则b的值为___．
【答案】3
【解析】
【分析】首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点代入即可求得．
【详解】解：将抛物线向下平移b个单位长度后，所得新抛物线为，
∵新抛物线经过点，
∴,
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的平移知识内容等，解题的关键是得出平移后的表达式．
14. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的值为___．

【答案】##
【解析】
【分析】利用基本作图得到平分，作，利用角平分线的性质得，然后根据勾股定理求得即可求得的值．
详解】解：由作法可知，平分，
作，

∵，，平分，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，勾股定理及求一个角的余弦值，掌握尺规作图作角平分线的方法是解决问题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P为直线上一动点，则线段的最小值为___．
【答案】
【解析】
【分析】可先设P点坐标为，再根据两点间距离公式可求得答案．
【详解】解：∵点P为直线上一动点，则设P点坐标为，
∴

，
∵，
∴当时，有最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，先设P点坐标为是解题的关键，注意两点间距离公式的应用．
16. 某工厂生产I号、II号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A款，B款，C款，且三款包装的重量及所含I号、II号产品的重量如下表：
包装款式
包装的重量（吨）
含I号新产品的重量（吨）
含II号产品的重量（吨）
A款
6
3
3
B款
5
3
2
C款
5
2
3
现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．
（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B款、C款个数依次为______；
（2）若装运的I号产品不超过13吨．同时装运的II号产品最多，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为___．（写出一种即可）
【答案】 ①. 3，1，1 ②. 1，1，3
【解析】
【分析】（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，根据题意可得方程组，求解即可；
（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，则，解得，然后由装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，可得不等式组，进一步分析即得结果．
【详解】解：（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则，解得，
由于x、y、z为整数，且每种款式至少有1个，
所以，
故答案为：3，1，1；
（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则，解得，
∵装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，
∴，
当时，，
符合题目要求；
故答案为：1，1，3．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和不等式组的应用，正确理解题意、列出相应的方程组和不等式组是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17－21题每小题5分，第22－24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每小题7分，解答应写出文字说明、演算步骤成证明过程）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】首先根据零指数幂运算、特殊角的三角函数值、利用二次根式的性质化简、化简绝对值，进行运算，再进行实数的混合运算，即可求得结果．
【详解】解：


【点睛】本题考查了零指数幂运算、特殊角的三角函数值、利用二次根式的性质化简、化简绝对值、实数的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】首先解每一个不等式，再求不等式组的解集即可．
【详解】解：
由①解得：，
由②解得：
所以，原不等式组解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是掌握不等式的解法，注意求解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19. 已知．求代数式的值．
【答案】2
【解析】
【分析】首先由移项，得到，再根据完全平方公式，多项式乘以多项式法则进行乘法运算，再合并同类项，再把代入化简结果计算即可．
【详解】解：，
，





【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是关键．
20. 如图在中，，于D，E为中点，过点A作．交的延长线于F．连接．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用证明，可得，易证四边形是平行四边形，由进而可证得四边形为矩形；
（2）由矩形性质可知，，，，由，可得，由勾股定理求出，即可求得结果．
【小问1详解】
证明： ，
，
点E为的中点，
，
又，
，
，
又，
，
四边形平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，即：，
∴，
由勾股定理可得：，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，已知正切求边长，掌握以上知识是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m是负数，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）先求出一元二次方程的两个根为，再由m是负数，且该方程的两个实数根的差为2，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：
∴，
解得：，
∵m是负数，即：
∴，
∵该方程的两个实数根的差为2，
∴，解得：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象过点，．
（1）求该函数的解析式；
（2）当，对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值，请直接写出实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过待定系数法将点，代入解析式求出的值，进而可得函数的解析式；
（2）根据题意得出，求出得取值范围，结合即可得出的取值范围．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
【小问2详解】
根据题意，由（1）可得：，
解得：，
∵当，对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象在第一象限交于点．

（1）求点A的坐标和该反比例函数的表达式；
（2）点M在这个反比例函数图象上，过M作平行于x轴的直线，交y轴于点C．交直线于点D．连接，，．若，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出当函数的自变量时，的值即可得点的坐标，再根据直线的解析式求出点的坐标，然后利用待定系数法即可得反比例函数的解析式；
（2）先利用反比例函数的性质求出，再分两种情况：①点在第一象限，②点在第三象限，求出，根据建立方程，解方程即可得．
【小问1详解】
解：对于函数，
当时，，
，
将点代入函数得：，
，
将点代入得：，
则该反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
解：设直线与轴的交点为点，点的坐标为，则，
，
，
对于函数，
当时，，解得，
，
①如图，当点在第一象限时，则，

，
，
，
解得，符合题意，
则，
则此时点的坐标为；
②如图，当点在第三象限时，则，

，
，
，
解得，不符合题意，舍去，
综上，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题关键．
24. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E，连接．

（1）求证：与相切；
（2）延长交的延长线于点F．若，，求的半径长．
【答案】（1）见详解 （2）3
【解析】
【分析】（1），垂径定理得，得到，，为的切线，即与相切；
（2）由（1）得，为的切线，即得，因为，所以，，然后列出等式即可．
【小问1详解】
证明：∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
在和中
∵
∴，
∴，
与相切；
【小问2详解】
解：由（1）得，，
∵，
∴，，
∵，
∴在，设，则， ，，
∵，，，
∴在，，，
∵为的切线，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴
∵在中， ，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理和相似三角形性质等内容．
25. 已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点为原点O，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，我们研究发现他在第一次跳跃时，空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图像与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，轴于点C．相关数据如下：米，米，．

（1）直接写出第一次跳跃的落地点B的坐标：___；
（2）请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式___；
（3）若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足．记他第二次跳跃时起跳点与落地点的水平距高为d米，则d 30（填“”、“”或“”）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正切的定义求出的长，由此即可得；
（2）设该二次函数的解析式为，根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（3）求出当函数的函数值为时，的值，由此即可得．
【小问1详解】
解：米，米，
米，
轴，，
，即，
解得（米），
由图像可知，点位于第四象限，
，
故答案为：．
【小问2详解】
解：由题意，设该二次函数的解析式为，
米，
，
将点代入得：，
解得，
则该二次函数的解析式为，
故答案为：．
【小问3详解】
解：对于二次函数，
当时，，
解得或（不符合题意，舍去），
则，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
26. 已知抛物，点，，在该抛物线上．
（1）若，，求的取值范围；
（2）若存在．使得，求a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）将点，，代入抛物线解析式，再根据得出，，求解不等式即可；
（2）根据可得，进而求得，由直线对称轴为，展开讨论，①当时，即，此时，对称轴，当时，随增大而增大，若要存在，则需要，②当时，即：，此时，对称轴，且，比较函数 与的大小，发现不存在，进而可得的取值范围．
【小问1详解】
解：∵当时，，
∴抛物线与轴交点的坐标为，
∵点，，在该抛物线上，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即：，
∴或，
∴的取值范围为：或；
【小问2详解】
∵点，在该抛物线上，
∴，，
∵，
∴，可得，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
①当时，即，此时，对称轴，
则当时，随增大而增大，
当时，，当时，，
则
∴，即，
若要存在，则需要，即，
亦即：；
②当时，即：，此时，对称轴，且，，即
即当时，不存在，
综上，．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，熟悉二次函数的性质是解决问题的关键．
27. 如图，点D为等边外一点，且点A，D位于直线BC的两侧，，过点A作于E，记

（1）求（用含的式子表示）
（2）证明：；
（3）直接写出，与的数量关系．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得，根据直角三角形的性质可得，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）延长到点F，使，首先根据等边三角形的性质，可证得，根据，可证得，即可证得，再根据全等三角形的性质及解直角三角形，即可证得结论；
（3）根据解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
解：是等边三角形，
，
，

，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图：延长到点F，使，

是等边三角形，
，
，
，
，
在与中，

，
，，
在中，，
；
【小问3详解】
解：如上图：
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，对于图形W和点P，若图形W上存在点Q，使得，其中点为点P关于直线的对称点，点为点关于y轴的对称点，则称点P为图形W的“近对点”．已知点，．

（1）当时，
①在点，，中，是点A的“近对点”的是___；
②若是线段的“近对点”，求的取值范围；
（2）若线段上存在线段的“近对点”，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①，；②；
（2）．
【解析】
【分析】（1）①根据对称作图，找到对应点，结合定义判断即可；
②利用对称作图，表示出与线段上的点之间的距离，根据定义求解即可；
（2）作线段与关于直线的对称，求出，的坐标，作线段与线段关于轴对称，找到满足的点的区域，在结合，的坐标，分类进行找临界点，求出临界值即可（具体分析见解析）．
【小问1详解】
解：当时，在坐标系中画出直线，
作出线段关于轴对称的线段，则，，点在线段上，
①在坐标系中描出点，，，并作出它们关于直线对称的点，则，，，

根据坐标可得，，，，
∴点，是点的“近对点”，
故答案为：，；
②设直线与轴交于，当时，，即：，
又∵，，
∴，，故为等腰直角三角形，
∴，，则
则为点关于直线的对称点应在直线上，
当在下方时，在轴左侧，此时在线段显然不存在点能使；
当在上方时，∵，则，
则，
若在左侧，则，
由于，
则与线段上的点最短的长度为
与线段的垂线段的长度：，
当，存在能使；此时是线段的“近对点”，
即：，

若在右侧，则，此时为钝角，
则到线段最短的长度为，当，存在（即点）能使；此时是线段的“近对点”，
即：，
综上：当是线段的“近对点”时，的取值范围为；
【小问2详解】
作线段与线段关于轴对称，可知，
将线段绕点逆时针旋转得，则，
则直线解析式为，且与垂直，
作线段与关于直线的对称，

作轴，交于点，连接，结合（1）可知，与的夹角为，则与的夹角为，故，且，
当时，，得，即：，
∴点的纵坐标为：，即：，
同理可得：，
设的解析式为，代入，可得：，
解得：，即线段是直线上的一部分，
∴，则，
点在线段上，则，当存在在以和为圆心，半径为1的圆，和距离直线距离为1的直线之间时，（即如下图，点在矩形和以和为圆心的两个半圆围成的封闭区域内，且）
∴，且与重合，则线段，
若要使得线段上存在线段的“近对点”，则只需要满足线段有点在封闭区域内即可，找到临界点即可，
当时，此时在的左侧，
∴当在半圆上时为临界点，即：，解得：或，
结合图形，当时，不为临界位置，故舍去；

当时，此时在的右侧，
∴当在线段上为临界点，
由，可知与轴夹角的余弦值为，正弦值为，
由互余可知，与轴的夹角也为，故，
即：，
可得的解析式为：，
∵在上，
∴，解得：，

综上，线段上存在线段的“近对点”，则的取值范围．
【点睛】本题考查了轴对称相关知识，一次函数的性质，锐角三角函数，图形的“近对点”，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．