2023年陕西省西安市铁一中中考数学模拟试卷(二)

这是一份2023年陕西省西安市铁一中中考数学模拟试卷(二)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
2022-2023年陕西省西安市铁一中中|考数学模拟试卷 (二 )
　
一、选择题
1． (3分 )的倒数为 (　　 )
A． B． C．2021 D．﹣2021
2． (3分 )如下图的几何体的左视图是 (　　 )

A． B． C． D．
3． (3分 )以下运算正确的选项是 (　　 )
A．6a2b﹣5a2b =l B．a2•a3 =a5 C． (﹣2ab2 )3 =﹣6a3b D． (a3 )2 =a5
4． (3分 )如图 ,直线l1∥l2 ,那么∠a的度数为 (　　 )

A．115° B．135° C．145° D．150°
5． (3分 )在一次 "爱心互助〞捐款活动中 ,某班50名同学捐款的金额 (单位：元 )如下表所示 ,这个班学生捐款的众数和中位数分别是 (　　 )
金额/元
5
10
15
20
人数/人
1
26
21
2
A．10 ,22 B．10 ,10 C．5 ,22 D．5 ,10
6． (3分 )不等式﹣≥1的正整数解是 (　　 )
A．0 B．1 C．0和1 D．0或1
7． (3分 )如图 ,等边△ABC的边长为2 ,AD是BC边上的中线 ,F是AD边上的动点 ,E是AC边上的中点 ,假设∠ECF =30°时 ,EF +CF的值为 (　　 )

A．1 B．2 C． D．1 +
8． (3分 )清明节前 ,某班分成甲、乙两组去距离学校4km的烈士陵园扫墓．甲组步行 ,乙组骑自行车 ,他们同时从学校出发 ,结果乙组比甲组早20min到达目的地．骑自行车的速度是步行速度的2倍 ,设步行的速度为x km/h ,那么x满足的方程为 (　　 )
A．﹣ =20 B．﹣ =20 C．﹣ = D．﹣ =
9． (3分 )如图 ,四边形ABCD是菱形 ,BD为对角线 ,且∠A =72° ,将△BCD分割成如下图的三个等腰三角形 ,那么∠1 +∠2 +∠3 = (　　 )

A．80° B．90° C．100° D．120°
10． (3分 )二次函数y =﹣x2﹣x +1 ,当自变量x取m时 ,对应的函数值大于0 ,设自变量分别取m﹣3 ,m +3时对应的函数值为y1 ,y2 ,那么以下判断正确的选项是 (　　 )
A．y1＜0 ,y2＜0 B．y1＜0 ,y2＞0 C．y1＞0 ,y2＜0 D．y1＞0 ,y2＞0
　
二、填空题 (共7小题 ,每题3分 ,总分值21分 )
11． (3分 )计算： (1 + )0﹣|﹣2| =　　．
12． (3分 )等腰三角形的顶角是70° ,那么其底角是　　．
13． (3分 )因式分解：x3﹣xy2 =　　．
14． (3分 )如图 ,Rt△ABC的斜边AB =18 ,Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′ ,那么Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为　　．

15． (3分 )用科学计算器计算：sin87°≈　　 (精确到0.01 )
16． (3分 )如图 ,点P是正比例函数y =x与反比例函数y = (k≠0 )在第|一象限内的交点 ,PA⊥OP交x轴于点A ,△POA的面积为6 ,那么k的值是　　．

17． (3分 )如图 ,把等边△ABC的外接圆对折 ,使点A的劣弧BC的中点M重合 ,折痕分别交AB、AC于D、E ,假设BC =6 ,那么线段DE的长为　　．

　
三、解答题．
18．化简：• (1﹣ )．
19．在正方形ABCD中 ,AC为对角线 ,E为AC上一点 ,连接EB、ED．求证：∠BEC =∠DEC．

20．为了了解 "青年人对未来是否幸福的态度〞 ,随机对75名大学生进行了问卷调查
对未来会幸福的态度调查

充满信心
比拟有信心
一般
没有信心
人数
30

8
12
(1 )请将图中表格和条形统计图补充完整；
(2 )A对应的圆心角∠1是　　度；
(3 )某高校有大学生6000名 ,请估计充满信心和比拟有信心的人数共约是多少人 ?

21．黄岩岛是我国南海上的一个岛屿 ,其平面图如图甲所示 ,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示 ,其中∠B =∠D =90° ,AB =BC =15千米 ,CD =千米 ,请据此解答如下问题：

(1 )求该岛的周长和面积； (结果保存整数 ,参考数据≈1.414 ,≈1.73 ,≈2.45 )
(2 )求∠ACD的余弦值．
22．某超市欲购进A、B两种品牌的书包共400个 ,这两种书包的进价和售价如下表所示．设购进A种书包x个 ,且所购进的两种书包能全部卖出 ,获得的总利润为w元．
价位
品牌
进价 (元/个 )
售价 (元/个 )
A
47
65
B
37
50
(1 )求w关于x的函数关系式；
(2 )如果购进两种书包的总费用不超过17800元 ,那么该商场如何进货才能获利最|大 ? (提示：利润 =售价﹣进价 )
23．有三张反面完全相同的卡片 ,它们的正面分别写上、、 ,把它们的反面朝上洗匀后 ,小丽先从中抽取一张 ,然后小明从余下 的卡片中再抽取一张．
(1 )直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
(2 )小刚为他们设计了一个游戏规那么：假设两人抽取卡片上的数字之积是有理数 ,那么小丽获胜；否那么小明获胜．你认为这个游戏规那么公平吗 ?假设不公平 ,那么对谁有利 ?请说明理由．
24．如图 ,P是⊙O外一点 ,PO交圆O于点C ,OC =CP =2 ,弦AB⊥OC ,劣弧AB的度数为120° ,连接PB．
(1 )求BC的长；
(2 )求证：PB是⊙O的切线．

25．如图 ,在平面直角坐标系xOy中 ,顶点为M的抛物线是由抛物线y =x2﹣3向右平移一个单位后得到的 ,它与y轴负半轴交于点A ,点B在该抛物线上 ,且横坐标为3．
(1 )求点M、A、B坐标；
(2 )连接AB、AM、BM ,求∠ABM的正切值；
(3 )点P是顶点为M的抛物线上一点 ,且位于对称轴的右侧 ,设PO与x正半轴的夹角为α ,当α =∠ABM时 ,求P点坐标．

26．概念理解
把一个或几个图形分割后 ,不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做 "剖分﹣重拼〞．如图① ,一个有一组对边平形的四边形可以剖分﹣重拼为一个三角形；如图② ,任意两个正方形可以剖分﹣重拼为一个正方形．
尝试操作
(1 )如图③ ,把图中的三角形剖分﹣重拼为一个矩形 (只要画出示意图 ,不需说明操作步骤 )；
阅读解释
(2 )如何把一个矩形ABCD (如图④ )剖分﹣重拼为一个正方形呢 ?操作如下：
Ⅰ．画辅助图．作射线OX ,在射线OX上截取OM =AB ,MN =BC．以ON为直径作半圆 ,过点M作MI⊥射线OX ,与半圆交于点I；
Ⅱ．图④中 ,在CD上取点F ,使AF =MI ,作BE⊥AF ,垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH的位置 ,把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置 ,得四边形EBHG．
请说明按照上述操作方法得到的四边形EBHG是正方形．

　

2022-2023年陕西省西安市铁一中中|考数学模拟试卷 (二 )
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1． (3分 ) (2021•富阳市模拟 )的倒数为 (　　 )
A． B． C．2021 D．﹣2021
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵﹣2021× ( ) =1 ,
∴﹣2021是的倒数 ,
应选：D．
【点评】此题考查的是倒数的定义 ,即如果两个数的乘积等于1 ,那么这两个数互为倒数．
　
2． (3分 ) (2021•巴彦淖尔 )如下图的几何体的左视图是 (　　 )

A． B． C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看 ,所得到的图形．
【解答】解：从左向右看 ,得到的几何体的左视图是中间无线条的矩形．
应选D．
【点评】此题考查了几何体的三种视图 ,掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
　
3． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )以下运算正确的选项是 (　　 )
A．6a2b﹣5a2b =l B．a2•a3 =a5 C． (﹣2ab2 )3 =﹣6a3b D． (a3 )2 =a5
【分析】利用幂的乘方与积的乘方 ,合并同类项及同底数幂的乘法法那么判定即可．
【解答】解：A、6a2b﹣5a2b =a2b ,应选项A错误；
B、a2•a3 =a5 ,应选项B正确；
C、 (﹣2ab2 )3 =﹣6a3b6 ,应选项C错误；
D、 (a3 )2 =a6 ,应选项D错误；
应选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方 ,合并同类项及同底数幂的乘法 ,解题的关键是熟记幂的乘方与积的乘方 ,合并同类项及同底数幂的乘法法那么．
　
4． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )如图 ,直线l1∥l2 ,那么∠a的度数为 (　　 )

A．115° B．135° C．145° D．150°
【分析】先根据平行线的性质求出∠1的度数 ,再由对顶角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵直线l1∥l2 ,
∴∠1 =180°﹣130° =50° ,
∴α =50° +65° =115°．
应选A．

【点评】此题考查的是平行线的性质 ,用到的知识点为：两直线平行 ,同旁内角互补．
　
5． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )在一次 "爱心互助〞捐款活动中 ,某班50名同学捐款的金额 (单位：元 )如下表所示 ,这个班学生捐款的众数和中位数分别是 (　　 )
金额/元
5
10
15
20
人数/人
1
26
21
2
A．10 ,22 B．10 ,10 C．5 ,22 D．5 ,10
【分析】根据众数和中位数的定义进行解答 ,众数是出现次数最|多的数 ,中位数是把50个数据从小到大排列 ,最|中间两个数的平均数 ,据此选择正确的答案．
【解答】解：根据题意可知捐款10元的人数有26人 ,即10是捐款的众数 ,
把50名同学捐款从小到大排列 ,最|中间的两个数是10 ,10 ,中位数是10．
应选B．
【点评】此题主要考查了众数与中位数的知识 ,解答此题要掌握中位数是将一组数据从小到大 (或从大到小 )重新排列后 ,最|中间的那个数 (最|中间两个数的平均数 ) ,叫做这组数据的中位数 ,众数是一组数据中出现次数最|多的数 ,如果中位数的概念掌握得不好 ,不把数据按要求重新排列 ,就会出错 ,此题难度不大．
　
6． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )不等式﹣≥1的正整数解是 (　　 )
A．0 B．1 C．0和1 D．0或1
【分析】首|先利用不等式的根本性质解不等式 ,再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【解答】解：去分母得： (x﹣1 )﹣3 (x﹣3 )≥6 ,
去括号得：x﹣1﹣3x +9≥6 ,
移项、合并同类项得：﹣2x≥﹣2 ,
系数化为1得：x≤1 ,
所以不等式﹣≥1的正整数解为1．
应选B．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解 ,正确解不等式 ,求出解集是解答此题的关键．解不等式应根据不等式的根本性质．
　
7． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )如图 ,等边△ABC的边长为2 ,AD是BC边上的中线 ,F是AD边上的动点 ,E是AC边上的中点 ,假设∠ECF =30°时 ,EF +CF的值为 (　　 )

A．1 B．2 C． D．1 +
【分析】先根据等边三角形的性质求出AD的长∠CAD的度数 ,再由E是AC边上的中点 ,∠ECF =30°得出CF是∠ACD的平分线 ,故EF⊥AC ,故EF =DF ,再根据∠EDF =∠CAD =30°得出AF =CF ,故AD =EF +CF ,由此可得出结论．
【解答】解：∵等边△ABC的边长为2 ,AD是BC边上的中线 ,
∴AD =AB•sin60° =2× = ,AD⊥BC ,∠CAD =30°．
∵E是AC边上的中点 ,∠ECF =30° ,
∴CF是∠ACD的平分线 ,
∴EF⊥AC ,
∴EF =DF．
∵∠EDF =∠CAD =30° ,
∴AF =CF ,
∴AD =EF +CF =．
应选C．
【点评】此题考查的是等边三角形的性质 ,熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
　
8． (3分 ) (2021•桐城市模拟 )清明节前 ,某班分成甲、乙两组去距离学校4km的烈士陵园扫墓．甲组步行 ,乙组骑自行车 ,他们同时从学校出发 ,结果乙组比甲组早20min到达目的地．骑自行车的速度是步行速度的2倍 ,设步行的速度为x km/h ,那么x满足的方程为 (　　 )
A．﹣ =20 B．﹣ =20 C．﹣ = D．﹣ =
【分析】首|先表示出骑自行车速度为2xkm/h ,再根据时间 =路程÷速度表示出去距离学校4km的烈士陵园扫墓步行所用的时间与骑自行车所用时间 ,根据时间相差20min可得方程．
【解答】解：20min =h ,
步行的速度为x km/h ,那么骑自行车速度为2xkm/h ,由题意得：
﹣ = ,
应选C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程 ,关键是弄懂题意 ,表示出步行所用时间与骑自行车所用时间．
　
9． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )如图 ,四边形ABCD是菱形 ,BD为对角线 ,且∠A =72° ,将△BCD分割成如下图的三个等腰三角形 ,那么∠1 +∠2 +∠3 = (　　 )

A．80° B．90° C．100° D．120°
【分析】根据菱形的性质 ,知：∠C =∠A =72°；由于∠1、∠2、∠3所在的三角形都是等腰三角形 ,可根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形 ,
∴∠A =∠C =72°；
∵∠6 =∠C =72° ,
∴∠3 =180﹣2×72° =36°；
∵∠6 =∠2 +∠5 =2∠2 =72° ,
∴∠2 =36°；
∵∠2 =∠1 +∠4 =2∠1 =36° ,
∴∠1 =18°；
∴∠1 +∠2 +∠3 =36° +36° +18° =90°．
应选：B．

【点评】此题主要考查菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质 ,得出各角的度数是解题关键．
　
10． (3分 ) (2021•济南校级|一模 )二次函数y =﹣x2﹣x +1 ,当自变量x取m时 ,对应的函数值大于0 ,设自变量分别取m﹣3 ,m +3时对应的函数值为y1 ,y2 ,那么以下判断正确的选项是 (　　 )
A．y1＜0 ,y2＜0 B．y1＜0 ,y2＞0 C．y1＞0 ,y2＜0 D．y1＞0 ,y2＞0
【分析】求出二次函数与x轴的交点坐标 ,从而确定出m的取值范围 ,再根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：令y =0 ,那么﹣x2﹣x +1 =0 ,
整理得 ,2x2 +3x﹣2 =0 ,
解得x1 =﹣2 ,x2 = ,
所以 ,二次函数与x轴的交点坐标为 (﹣2 ,0 ) , ( ,0 ) ,
所以 ,﹣2＜m＜ ,
∵m﹣3 ,m +3时对应的函数值为y1 ,y2 ,
∴y1＜0 ,y2＜0．
应选A．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征 ,抛物线与x轴的交点问题 ,求出函数图象与x轴的交点并确定出m的取值范围是解题的关键．
　
二、填空题 (共7小题 ,每题3分 ,总分值21分 )
11． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )计算： (1 + )0﹣|﹣2| =　﹣1　．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝|对值的性质化简求出即可．
【解答】解： (1 + )0﹣|﹣2|
=1﹣2
=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算以及零指数幂的性质 ,正确化简各数是解题关键．
　
12． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )等腰三角形的顶角是70° ,那么其底角是　55°　．
【分析】根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角是70° ,
∴底角 = (180°﹣70° ) =55°．
故答案为：55°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质 ,是根底题 ,主要利用了两底角相等的性质．
　
13． (3分 ) (2021•宁夏 )因式分解：x3﹣xy2 =　x (x﹣y ) (x +y )　．
【分析】先提取公因式x ,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣xy2
=x (x2﹣y2 )
=x (x﹣y ) (x +y )．
故答案为：x (x﹣y ) (x +y )．
【点评】此题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解 ,一个多项式有公因式首|先提取公因式 ,然后再用其他方法进行因式分解 ,同时因式分解要彻底 ,直到不能分解为止．
　
14． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )如图 ,Rt△ABC的斜边AB =18 ,Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′ ,那么Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为　9　．

【分析】由旋转可得A′B′ =AB ,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得C′D′．
【解答】解：由旋转的性质可知△ABC≌△A′B′C′ ,
∴A′B′ =AB =18 ,
∵C′D′为A′B′的中线 ,且△A′B′C′为直角三角形 ,
∴C′D′ =A′B′ =9 ,
故答案为：9．
【点评】此题主要考查直角三角形的性质 ,由旋转的性质得到A′B′ =AB是解题的关键．
　
15． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )用科学计算器计算：sin87°≈　3.31　 (精确到0.01 )
【分析】熟练应用计算器 ,对计算器给出的结果 ,根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
【解答】解：sin87° =3.316×0.9986 =3.3113≈3.31．
故答案为：3.31．
【点评】此题结合计算器的用法 ,旨在考查对根本概念的应用能力 ,需要同学们熟记近似数的精确度．
　
16． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )如图 ,点P是正比例函数y =x与反比例函数y = (k≠0 )在第|一象限内的交点 ,PA⊥OP交x轴于点A ,△POA的面积为6 ,那么k的值是　6　．

【分析】由P在y =x上可知△POA为等腰直角三角形 ,过P作PC⊥OA于点C ,那么可知S△POC =S△PCA =k ,可求得k的值．
【解答】解：
∵P点在y =x上 ,
∴∠POA =45° ,
∴△POA为等腰直角三角形 ,
过P作PC⊥OA于C ,
那么S△POC =S△PCA =k ,
∴S△POA =k =6 ,
故答案为：6．

【点评】此题主要考查反比例函数k的几何意义 ,由条件得出S△POC =S△PCA =k是解题的关键．
　
17． (3分 ) (2021•碑林区校级|模拟 )如图 ,把等边△ABC的外接圆对折 ,使点A的劣弧BC的中点M重合 ,折痕分别交AB、AC于D、E ,假设BC =6 ,那么线段DE的长为　4　．

【分析】连接AM、OB ,那么其交点O即为此圆的圆心 ,根据正三角形的性质可知 ,∠OBC =∠OAD =30° ,再根据直角三角形的性质及勾股定理可求出OB的长；在Rt△AOD中 ,进而可依据特殊角的三角函数值即可求出OD的长 ,由垂径定理得出DE的长即可．
【解答】解：连接AM、OB ,
那么其交点O即为此圆的圆心；
∵△ABC是正三角形 ,
∴∠OBC =∠OAD =30° ,DE∥BC ,
在Rt△OBF中 ,BF =BC =×6 =3 ,
∴OB = =2 ,
∴OA =OB =2；
在Rt△AOD中 ,∠DAO =30° ,
∴OD =OA•tan30° =2× =2 ,
DE =2DO =4．
故答案为：4．

【点评】此题考查了等边三角形的性质 ,垂径定理 ,解直角三角形的性质 ,综合性比拟强 ,难度适中．
　
三、解答题．
18． (2021•碑林区校级|模拟 )化简：• (1﹣ )．
【分析】先正确化简 ,再约分求解即可．
【解答】解：• (1﹣ )
=•
=a +2．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算 ,解题的关键是正确化简并约分．
　
19． (2021•碑林区校级|模拟 )在正方形ABCD中 ,AC为对角线 ,E为AC上一点 ,连接EB、ED．求证：∠BEC =∠DEC．

【分析】根据正方形的性质得出CD =CB ,∠DCA =∠BCA ,根据SAS即可证出△BEC≌△DEC ,再根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形 ,
∴CD =CB ,∠DCA =∠BCA ,
在△BEC与△DEC中 ,
,
∴△BEC≌△DEC (SAS )．
∴∠BEC =∠DEC．
【点评】此题主要考查对正方形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握 ,能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．
　
20． (2021•福鼎市模拟 )为了了解 "青年人对未来是否幸福的态度〞 ,随机对75名大学生进行了问卷调查
对未来会幸福的态度调查

充满信心
比拟有信心
一般
没有信心
人数
30

8
12
(1 )请将图中表格和条形统计图补充完整；
(2 )A对应的圆心角∠1是　120　度；
(3 )某高校有大学生6000名 ,请估计充满信心和比拟有信心的人数共约是多少人 ?

【分析】 (1 )由充满信心的人数除以所占的百分比得到总人数 ,求出比拟有信心的人数 ,补全表格及统计图即可；
(2 )求出比拟有信心所占的百分比 ,乘以360度即可得到结果；
(3 )求出充满信心与比拟有信心所占的百分比 ,乘以6000即可得到结果．
【解答】解： (1 ) "比拟有信心〞的有75﹣ (30 +8 +12 ) =25 (人 ) ,
补全表格与统计图 ,如下图：
对未来会幸福的态度调查

充满信心
比拟有信心
一般
没有信心
人数
30
25
8
12

(2 )根据题意得：×360° =120° ,
那么A对应的圆心角∠1是120度；
故答案为：120；
(3 )根据题意得：6000× =4400 (人 ) ,
那么充满信心和比拟有信心的人数共约是4400人．
【点评】此题考查了条形统计图 ,扇形统计图 ,弄清题意是解此题的关键．
　
21． (2021•张家界 )黄岩岛是我国南海上的一个岛屿 ,其平面图如图甲所示 ,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示 ,其中∠B =∠D =90° ,AB =BC =15千米 ,CD =千米 ,请据此解答如下问题：

(1 )求该岛的周长和面积； (结果保存整数 ,参考数据≈1.414 ,≈1.73 ,≈2.45 )
(2 )求∠ACD的余弦值．
【分析】 (1 )连接AC ,根据AB =BC =15千米 ,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =15 ,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积；
(2 )直接利用余弦的定义求解即可．
【解答】解： (1 )连接AC
∵AB =BC =15千米 ,∠B =90°
∴∠BAC =∠ACB =45° AC =15
又∵∠D =90°
∴AD = = =12 (千米 )
∴周长 =AB +BC +CD +DA =30 +3 +12 =30 +4.242 +20.784≈55 (千米 )
面积 =S△ABC +S△ADC =112.5 +18≈157 (平方千米 )

(2 )cos∠ACD = = =… (8分 )

【点评】此题考查了解直角三角形的应用 ,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣 ,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
　
22． (2021•碑林区校级|模拟 )某超市欲购进A、B两种品牌的书包共400个 ,这两种书包的进价和售价如下表所示．设购进A种书包x个 ,且所购进的两种书包能全部卖出 ,获得的总利润为w元．
价位
品牌
进价 (元/个 )
售价 (元/个 )
A
47
65
B
37
50
(1 )求w关于x的函数关系式；
(2 )如果购进两种书包的总费用不超过17800元 ,那么该商场如何进货才能获利最|大 ? (提示：利润 =售价﹣进价 )
【分析】 (1 )由总利润 =A种书包的利润 +B种书包的利润就可以求出w关于x的函数关系式；
(2 )根据两种书包的总费用不超过17800元建立不等式求出x的取值范围 ,由一次函数性质就可以求出结论；
【解答】解： (1 )设购进A种书包x个 ,那么购进B种书包 (400﹣x )个 ,由题意 ,得
w = (65﹣47 )x + (50﹣37 ) (400﹣x ) ,
w =18x +5200﹣13x ,
w =5x +5200．
答：w关于x的函数关系式为w =5x +5200；
(2 )∵两种书包的总费用不超过17800元 ,
∴47x +37 (400﹣x )≤17800 ,
∴x≤300．
∵w =5x +5200．
∴k =5＞0
∴x =300时 ,w最|大 =6700．
∴购进B种书包400﹣300 =100个．
∴购进A种书包300个 ,B种书包100个可获得最|大利润 ,最|大利润为6700元．
【点评】此题考查了利润 =售价﹣进价的运用 ,总利润 =A种书包的利润 +B种书包的利润的运用 ,列一次函数的解析式解实际问题的运用 ,解答时求出函数的解析式是关键．
　
23． (2021•峨眉山市二模 )有三张反面完全相同的卡片 ,它们的正面分别写上、、 ,把它们的反面朝上洗匀后 ,小丽先从中抽取一张 ,然后小明从余下 的卡片中再抽取一张．
(1 )直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
(2 )小刚为他们设计了一个游戏规那么：假设两人抽取卡片上的数字之积是有理数 ,那么小丽获胜；否那么小明获胜．你认为这个游戏规那么公平吗 ?假设不公平 ,那么对谁有利 ?请说明理由．
【分析】 (1 )根据概率公式直接求解即可求得答案；
(2 )依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果 ,然后根据概率公式求出该事件的概率 ,游戏是否公平 ,求出游戏双方获胜的概率 ,比拟是否相等即可 ,假设不相等 ,那么不公平 ,概率大的那么有利．
【解答】解： (1 )∵有三张反面完全相同的卡片 ,小丽取出的卡片恰好是的有1种情况 ,
∴小丽取出的卡片恰好是的概率为：；

(2 )∵ =3 ,
画树状图得：

∴一共有6种等可能的结果 ,
两人抽取卡片上的数字之积是有理数的有2种 ,
∴P (小丽胜 ) = ,P (小明胜 ) = ,
这个游戏规那么不公平 ,对小明有利．
【点评】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果 ,适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同 ,游戏就公平 ,否那么游戏不公平．用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比．
　
24． (2021•湖州 )如图 ,P是⊙O外一点 ,PO交圆O于点C ,OC =CP =2 ,弦AB⊥OC ,劣弧AB的度数为120° ,连接PB．
(1 )求BC的长；
(2 )求证：PB是⊙O的切线．

【分析】 (1 )首|先连接OB ,由弦AB⊥OC ,劣弧AB的度数为120° ,易证得△OBC是等边三角形 ,那么可求得BC的长；
(2 )由OC =CP =2 ,△OBC是等边三角形 ,可求得BC =CP ,即可得∠P =∠CBP ,又由等边三角形的性质 ,∠OBC =60° ,∠CBP =30° ,那么可证得OB⊥BP ,继而证得PB是⊙O的切线．
【解答】 (1 )解：连接OB ,
∵弦AB⊥OC ,劣弧AB的度数为120° ,
∴弧BC与弧AC的度数为：60° ,
∴∠BOC =60° ,
∵OB =OC ,
∴△OBC是等边三角形 ,
∴BC =OC =2；

(2 )证明：∵OC =CP ,BC =OC ,
∴BC =CP ,
∴∠CBP =∠CPB ,
∵△OBC是等边三角形 ,
∴∠OBC =∠OCB =60° ,
∴∠CBP =30° ,
∴∠OBP =∠CBP +∠OBC =90° ,
∴OB⊥BP ,
∵点B在⊙O上 ,
∴PB是⊙O的切线．
补：
证明：∵OC =CP =2 ,
∴OP =4 ,
由 (1 )可知：BC =OC =2 ,
∴BC =OP ,∠BOC =60° ,
∴△OBP是直角三角形 ,
∴∠OBP =90° ,
∴OB⊥BP ,
∴PB是⊙O的切线．

【点评】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中 ,注意掌握辅助线的作法 ,注意数形结合思想的应用．
　
25． (2021•白银 )如图 ,在平面直角坐标系xOy中 ,顶点为M的抛物线是由抛物线y =x2﹣3向右平移一个单位后得到的 ,它与y轴负半轴交于点A ,点B在该抛物线上 ,且横坐标为3．
(1 )求点M、A、B坐标；
(2 )连接AB、AM、BM ,求∠ABM的正切值；
(3 )点P是顶点为M的抛物线上一点 ,且位于对称轴的右侧 ,设PO与x正半轴的夹角为α ,当α =∠ABM时 ,求P点坐标．

【分析】 (1 )根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式 ,然后写出顶点M的坐标 ,令x =0求出A点的坐标 ,把x =3代入函数解析式求出点B的坐标；
(2 )过点B作BE⊥AO于E ,过点M作MF⊥AO于M ,然后求出∠EAB =∠EBA =45° ,同理求出∠FAM =∠FMA =45° ,然后求出△ABE和△AMF相似 ,根据相似三角形对应边成比例列式求出 ,再求出∠BAM =90° ,然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解；
(3 )过点P作PH⊥x轴于H ,分点P在x轴的上方和下方两种情况利用α的正切值列出方程求解即可．
【解答】解： (1 )抛物线y =x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y = (x﹣1 )2﹣3 ,
顶点M (1 ,﹣3 ) ,
令x =0 ,那么y = (0﹣1 )2﹣3 =﹣2 ,
点A (0 ,﹣2 ) ,
x =3时 ,y = (3﹣1 )2﹣3 =4﹣3 =1 ,
点B (3 ,1 )；

(2 )过点B作BE⊥AO于E ,过点M作MF⊥AO于M ,
∵EB =EA =3 ,
∴∠EAB =∠EBA =45° ,
同理可求∠FAM =∠FMA =45° ,
∴△ABE∽△AMF ,
∴ = = ,
又∵∠BAM =180°﹣45°×2 =90° ,
∴tan∠ABM = =；

(3 )过点P作PH⊥x轴于H ,
∵y = (x﹣1 )2﹣3 =x2﹣2x﹣2 ,
∴设点P (x ,x2﹣2x﹣2 ) ,
①点P在x轴的上方时 , = ,
整理得 ,3x2﹣7x﹣6 =0 ,
解得x1 =﹣ (舍去 ) ,x2 =3 ,
∴点P的坐标为 (3 ,1 )；
②点P在x轴下方时 , = ,
整理得 ,3x2﹣5x﹣6 =0 ,
解得x1 = (舍去 ) ,x2 = ,
x =时 ,x2﹣2x﹣2 =﹣× =﹣ ,
∴点P的坐标为 ( ,﹣ ) ,
综上所述 ,点P的坐标为 (3 ,1 )或 ( ,﹣ )．

【点评】此题是二次函数的综合题型 ,主要利用了二次函数图象与几何变换 ,抛物线与坐标轴的交点的求法 ,相似三角形的判定与性质 ,锐角三角形函数 ,难点在于作辅助线并分情况讨论．
　
26． (2021•碑林区校级|模拟 )概念理解
把一个或几个图形分割后 ,不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做 "剖分﹣重拼〞．如图① ,一个有一组对边平形的四边形可以剖分﹣重拼为一个三角形；如图② ,任意两个正方形可以剖分﹣重拼为一个正方形．
尝试操作
(1 )如图③ ,把图中的三角形剖分﹣重拼为一个矩形 (只要画出示意图 ,不需说明操作步骤 )；
阅读解释
(2 )如何把一个矩形ABCD (如图④ )剖分﹣重拼为一个正方形呢 ?操作如下：
Ⅰ．画辅助图．作射线OX ,在射线OX上截取OM =AB ,MN =BC．以ON为直径作半圆 ,过点M作MI⊥射线OX ,与半圆交于点I；
Ⅱ．图④中 ,在CD上取点F ,使AF =MI ,作BE⊥AF ,垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH的位置 ,把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置 ,得四边形EBHG．
请说明按照上述操作方法得到的四边形EBHG是正方形．

【分析】尝试操作：先作三角形的一条中位线 ,把三角形分成一个三角形与梯形 ,然后作出分成的三角形的高线 ,分别平移即可；或者先作一条中位线 ,然后过一个顶点作第三边的高线 ,把两个三角形平移即可；
阅读解释：连接OI、NI ,先利用相似三角形对应边成比例证明IM2 =OM•NM ,根据操作方法可得AF2 =AB•AD ,然后证明△DFA和△EAB相似 ,根据相似三角形对应边成比例列式整理可得AF•BE =AB•AD ,从而得到AF =BE ,再根据四边形EBHG是平行四边形且有一个角是直角即可证明四边形EBHG是正方形．
【解答】解：尝试操作 ,
答案不唯一 ,如：

阅读解释
在辅助图中 ,连接OI、NI．
∵ON是所作半圆的直径 ,
∴∠OIN =90°．
∵MI⊥ON ,
∴∠OMI =∠IMN =90°且∠OIM =∠INM．
∴△OIM∽△INM．
∴ =．
即IM2 =OM•NM．
在图④中 ,根据操作方法可知 ,AF2 =AB•AD．
∵四边形ABCD是矩形 ,BE⊥AF ,
∴DC∥AB ,∠ADF =∠BEA =90°．
∴∠DFA =∠EAB．
∴△DFA∽△EAB．
∴ =．
即AF•BE =AB•AD．
∴AF =BE．
即BH =BE．
由操作方法知BE∥GH ,BE =GH．
∴四边形EBHG是平行四边形．
∵∠GEB =90° ,
∴四边形EBHG是正方形．


【点评】此题考查了利用轴对称作图 ,圆周角定理 ,相似三角形的判定与性质 ,读懂题目提供的信息并掌握利用是解题的关键．
　

参与本试卷答题和审题的老师有：wkd；zhangCF；ZJX；733599；HJJ；sd2021；星期八；HLing；Ldt；2300680618；zjx111；sks；sjzx；hdq123；zcx；zhjh (排名不分先后 )

2021年11月24日