2023年山东省济南市章丘区、莱芜区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省济南市章丘区、莱芜区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是(    )

A. 正方体 B. 圆柱
C. 圆锥 D. 球

3.  同步卫星在赤道上空大约米处．将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下面四幅图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，若点所表示的数为，则点所表示的数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  某射击运动员在训练中射击了次，成绩如图所示：

下列结论不正确的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

7.  计算的结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

9.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于，连接，再分别以、为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交与点，连接，则下列说法中错误的是(    )

A.
B. ∽
C.
D.

10.  对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数为常数有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共23.0分）

11.  分解因式：______．

12.  在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：

根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是          结果保留小数点后一位

13.  在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是______ ．

14.  若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ．

15.  我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形古人称直角三角形为勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，，则该矩形的面积为______．
 

16.  如图所示，四边形是正方形，为边的中点，连接并延长，与延长线交于点，连接，为的中点，连接，与相交于点，与相交于点，连接，与相交于点，有下列结论：
；
；
；
．
其中正确的结论有______ 只填写结论序号．

三、解答题（本大题共10小题，共87.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组，并写出此不等式组的整数解．

19.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，，是对角线的三等分点，连接，证明：．
 

20.  本小题分
某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
求本次调查共抽取了        名学生的征文，并把条形统计图补充完整；
求扇形统计图中“爱国”所对应扇形的圆心角度数；
本次抽取的份以“诚信”为主题的征文分别是甲、乙、丙的，若从中随机选取份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求甲和乙征文同时被选中的概率．

21.  本小题分
如图，是的直径，与交于点，弦平分，，垂足为．
试判断直线与的位置关系，并说明理由；
若的半径为，，求线段的长．
 

22.  本小题分
如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．
求观察哨所与走私船所在的位置的距离；
若观察哨所发现走私船从处以海里小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在处成功拦截．结果保留根号
参考数据：，，，
 

23.  本小题分
端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用元购进、两种粽子个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的倍．
求、两种粽子的单价各是多少？
若计划用不超过元的资金再次购进、两种粽子共个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？

24.  本小题分
矩形中，，，分别以、为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上一个动点不与、重合，过点的反比例函数的图象与边交于点．

当点运动到边的中点时，求点的坐标；
连接，试探究：随着点的运动，的正切值是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由；
如图，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，求此时点的坐标．

25.  本小题分
如图，已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．
证明与推断：
求证：四边形是正方形；
推断：的值为______：
探究与证明：
将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
拓展与运用：
正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，如图所示，延长交于点若，，则______．
 

26.  本小题分
如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为．

求该二次函数的解析式；
在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点，当矩形为正方形时，求的值；
在的条件下，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度匀速运动，过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当点、重合时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒，问：以、、、四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形，若能，请求出的值；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数，属于基础题．
根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．
【解答】
解：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B.俯视图与主视图都是长方形，故选项B不合题意；
C.俯视图是圆，主视图是三角形；故选项C符合题意；
D.俯视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：．
从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
此题考查了对科学记数法的理解和运用．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和数轴可以用含的式子表示出点表示的数，本题得以解决．
【解答】
解：为原点，，，点所表示的数为，
点表示的数为，
点表示的数为：，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】
解：由题图知，数据出现次，次数最多，所以众数为，故A选项正确；
次成绩排序后为：，，，，，，，，，，
所以中位数是，故B选项正确；
平均数为，故C选项正确；
方差为，故D选项错误．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查分式的乘法．根据分式的乘法法则解决此题．
【解答】
解：

．  

8.【答案】 

【解析】解：由图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，
当时，，
即不等式的解集为．
故选：．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
由题意可得，为的垂直平分线，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
在和中，，，
∽，
，
．
故A，，选项的说法正确，
，，
，
，
故D选项说法错误．
故选：．
由题意可得，为的垂直平分线，得出，根据相似三角形的判定可知∽，由等腰直角三角形的性质可得出，，则可得出结论．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解答的关键是对相似三角形的判定条件与性质的掌握与灵活运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知二次函数有两个相异的不动点、是方程的两个不相等实数根，且、都小于，
整理，得：，
由有两个不相等的实数根知：，即，
令，画出该二次函数的草图如下：

而、设在的右侧都小于，即当时，，
联立并解得：；
故选：．
由函数的不动点概念得出、是方程的两个实数根，由知且时，即可求解．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于的不等式．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
和都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】
解：
故答案为：  

12.【答案】 

【解析】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在附近，
故摸到黑球的频率估计值为；
故答案为：．
大量重复试验下，摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：点，
点到直线的距离为，
点关于直线的对称点到直线的距离为，
点的横坐标为，
对称点的坐标为．
故答案为：．
先求出点到直线的距离，再根据对称性求出对称点到直线的距离，从而得到点的横坐标，即可得解．
本题考查了坐标与图形变化对称，根据轴对称性求出对称点到直线的距离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
利用判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的运用和代数式的运用，得到关于的方程是解题的关键，属于中档题．
欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为，在中，利用勾股定理可建立关于的方程，利用整体代入的方法即可求出该矩形的面积．
【解答】
解：设小正方形的边长为，

，，
，
在中，，
即，
整理得，，
，
该矩形的面积．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
为边的中点，
．
在和中，
，
≌，
，
，
是的垂直平分线，
．
的结论正确；
四边形是正方形，
，
∽，
，
，
．
，
．
，
，
．
的结论不正确；
在中，，
为的中点，
，
，
．
在中，
为边的中点，，
，
，
．
，
，
，
∽，
，
．
的结论正确；
为的中点，
，
，
，
．
的结论正确．
综上，正确的结论有：．
故答案为：．
利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的判定与性质可判定的结论正确；利用正方形的性质，相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理可判定的结论不正确；利用相似三角形的判定与性质即可判断的结论正确；利用等底同高的三角形的面积相等和等式的性质即可判断的结论正确．
本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为，，． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，是对角线的三等分点，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据证明≌解答．
根据平行四边形的性质得出，，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
 

20.【答案】 

【解析】解：本次调查共抽取的学生有名．
选择“友善”的人数有名，
条形统计图和扇形统计图如图所示，

故答案为：；
“爱国”占，；
树状图如图所示：

共有种等可能的结果，小义和小玉同学的征文同时被选中的有种情形，
甲和乙同学的征文同时被选中的概率．
用“诚信”的人数除以所占的百分比求出总人数；
用“爱国”的人数除以总人数，再乘即可；
根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可．
本题考查列表法与树状图法以及利用统计图获取信息的能力、求随机事件的概率；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，作出正确的判断是解题的关键．
 

21.【答案】解：直线与相切，理由如下：
连结，

平分，
，
，
，
，
，
，即，
，即，
是的切线；
过作于，

，
，，
，
，
，
由知，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，，
，
． 

【解析】本题考查切线的判定，垂径定理，勾股定理，以及菱形的判定与性质．
连结，根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义推出，进而可得出结论；
过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，，推出四边形是菱形，得到，，进而可得出答案．
 

22.【答案】解：在中，．
在中，，
海里．
答：观察哨所与走私船所在的位置的距离为海里；
过点作于点，由题意易知，、、在一条直线上．

在中，海里，
海里．
在中，，
海里，
海里，
海里．
设缉私艇的速度为海里小时，则有，
解得．
经检验，是原方程的解．
答：当缉私艇的速度为海里小时时，恰好在处成功拦截． 

【解析】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
先根据三角形内角和定理求出，再解，利用正弦定义得出即可；
过点作于点，易知，、、在一条直线上．解，求出、解中，求出、，得出设缉私艇的速度为海里小时，根据走私船行驶所用的时间等于缉私艇行驶所用的时间列出方程，解方程即可．
 

23.【答案】解：设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，两种粽子各自的总价为元
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种粽子单价为元个，种粽子单价为元个．
设购进种粽子个，则购进种粽子个，
依题意，得：，
解得：．
答：种粽子最多能购进个． 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，根据数量总价单价结合用元购进、两种粽子个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进种粽子个，则购进种粽子个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 

24.【答案】解：，，
点、、的坐标分别为：、、，
点运动到边的中点时，点，
将点的坐标代入并解得：，
故反比例函数的表达式为：，
当时，，故E，
故答案为：；
点的横坐标为，点在反比例函数上，
，
，
的纵坐标为，
，
，
在中，；
如图，由知，，，，
过点作于，

，，
，
由折叠知，，，，
，
，
，
∽，
，
，

，
，
折叠，
，
由勾股定理得，
，
 

【解析】求出点的坐标，进而求出反比例函数的表达式，即可求解；
由，，求出、，即可求解；
证明∽，即可求解．
本题考查的反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
 

25.【答案】四边形是正方形，
，，
、，
，
四边形是矩形，，
，
四边形是正方形；
  ；
连接，

由旋转性质知，
在和中，
、，
，
∽，
，
线段与之间的数量关系为；

 

【解析】解：见答案；
由知四边形是正方形，
，，
，，
，
故答案为：；

见答案；

，点、、三点共线，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
设，则，
则由得，
，
则，，
得，
解得：，即，
故答案为：．
由、结合可得四边形是矩形，再由即可得证；由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；
连接，只需证∽即可得；
证∽得，设，知，由得、、，由可得的值．
本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
 

26.【答案】解：由题意得，，
将点的坐标代入得：，
解得：，
则二次函数的表达式为：；

设点的坐标为：，则点，
矩形为正方形，则，
即，
解得：不合题意的值已舍去，
当时，；

以、、、四点为顶点构成的四边形能是平行四边形，理由：
当时，点的坐标为：、点，
由点、得，直线的表达式为：，
联立并解得：，
即当时，、停止运动．
以、、、四点为顶点构成的四边形，则，
由点的坐标知，，
当时，，，
设点，则点，
则，
当时，
，则，
解得：舍去或；
当时，
则，
则，
解得：舍去或；
综上，或． 

【解析】由待定系数法即可求解；
设点的坐标为：，则点，由矩形为正方形，则，得到，即可求解；
以、、、四点为顶点构成的四边形，则，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、动点问题等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．