2023年山西省太原实验中学中考数学一模试卷-普通用卷

这是一份2023年山西省太原实验中学中考数学一模试卷-普通用卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山西省太原实验中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  在有理数，，，中，比小的数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图，一个简单几何体的三视图的主视图与左视图都为正三角形，其俯视图为正方形，则这个几何体是(    )
A. 四棱锥 B. 正方体 C. 四棱柱 D. 三棱锥3.  为了响应市政府“建书香校园树文化新人”图书捐赠活动，我校九年级二班的名学生积极向薄弱学校捐书本数处分别：，，，，，已知他们平均每人捐本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，4.  受“乡村旅游第一市”的品牌效应和年国际乡村旅游大会的宣传效应的影响，年湖州市在春节黄金周期间共接待游客约人次，同比增长约，将用科学记数法表示应是(    )A.  B.  C.  D. 5.  下列计算中，正确的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数是(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前有一段坡度为：的斜坡，小明同学站在山坡上的点处，用测角仪测得建筑物屋顶的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底处，这是测到建筑物屋顶的仰角为，、、、、、在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的高度约为米．精确到米，参考数据：，，(    )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米8.  从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽尺，竖着比门框高尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长尺，则根据题意，可列方程(    )A.
B.
C.
D. 9.  甲、乙两同学骑自行车从地沿同一条路到地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离和骑行时间之间的函数关系如图所示，根据图象信息，以上说法正确的是(    )A. 甲和乙两人同时到达目的地
B. 甲在途中停留了
C. 相遇后，甲的速度小于乙的速度
D. 他们都骑了10.  如图，已知、、在上，，则(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.  二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，，在轴的正半轴上，点，，，，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，，都为等边三角形，则的边长为______．
 12.  如图，写出平面直角坐标系中各个点的坐标，并指出它们到轴、轴的距离．______
13.  人数相同的七年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差分别为，，，则学生成绩较为稳定的班级是______班．14.  将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______．15.  如图，在中，，，的面积是的垂直平分线分别交，边于、两点，若点为边的中点，在线段上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则周长的最小值为______．
 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
计算：．17.  本小题分
如图所示，菱形中，点、分别是边、上的点，，，连接、，延长交线段延长线于点；
求证：≌；
若菱形边长为，则线段的长是        ．
 
 
 18.  本小题分
按要求在下列直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的图象，并回答后面的问题．
画图要求：
用两点法直接描出一次函数与两坐标轴的交点，根据一次函数图象特征画出图象；
用描点法画出反比例函数的图象，完成表格后直接描点连线． ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 直接写出不等式的解集．
19.  本小题分
为拓宽学生的知识面，某校开展了读书活动，学校对本校八年级学生月份的读书数量进行了随机抽样调查，对所有随机抽取的学生的读书数量单位：本进行了统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请补全条形统计图；
本次所抽取学生月份读书数量的众数为______本，中位数为______本；
根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级名学生中，月份读书数量不少于本的学生人数．20.  本小题分
一个汽车零件制造车间可以生产甲，乙两种零件，生产个甲种零件和个乙种零件共获利元；生产个甲种零件和个乙种零件共获利元．
求生产个甲种零件，个乙种零件分别获利多少元？
若该汽车零件制造车间共有工人名，每名工人每天可生产甲种零件个或乙种零件个，每名工人每天只能生产同一种零件，要使该车间每天生产的两种零件所获总利润超过 元，至少要派多少名工人去生产乙种零件？21.  本小题分
在中，弦和弦交于点，且，连接．
如图，求证：平分；
如图，点在弧上，连接和，若，，求；
在的条件下，如图，连接，延长交于，若，，求的长．
 22.  本小题分
已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接．

如图，若，求证四边形为正方形；
如图，若，求的面积；
当为何值时，的面积最小．23.  本小题分
如图所示，将抛物线沿轴向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新的抛物线．
直接写出新抛物线的解析式为______；
设新抛物线交轴于、两点，交轴于，顶点为，作交抛物线于，如图所示，探究如下问题：
求点的坐标；
若一次函数的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点，连接，猜测直线与对称轴的夹角和一次函数的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，，，
，
在有理数，，，中，比小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 2.【答案】 【解析】解：由题意，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是正三角形，俯视图轮廓为正方形，
即此几何体是一个四棱锥，
故选：．
由图可以得出此几何体的几何特征，是一个四棱锥．
本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征．
 3.【答案】 【解析】解：他们平均每人捐本，他们分别捐了：，，，，，本，
，
．
众数是本，中位数是本，
方差是．
故选：．
根据平均数，可得的值，根据众数、中位数和方差的定义可得答案．
此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
 4.【答案】 【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 5.【答案】 【解析】解：，该选项不正确，不符合题意；
B.和不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
C.，该选项正确，符合题意；
D.，该选项错误，不符合题意．
故选：．
分别计算各选项即可．
本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，考核学生的计算能力，牢记这些法则是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：在图中标上各字母，如图所示．

，
，
．
由折叠的性质得：，
．
故选：．
由，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，再利用折叠的性质及邻补角互补，可求出的度数．
本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：设米．延长交于，作于，于，如图所示：
在中，米，：：，
米，米，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，米，
在中，，
米，
米，米，
在中，，
，
，
米，
米，
故选：．
设米．延长交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性质得出，，，米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 8.【答案】 【解析】解：竹竿的长为尺，横着比门框宽尺，竖着比门框高尺．
门框的长为尺，宽为尺，
可列方程为，
故选：．
根据题意，门框的长、宽以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方宽的平方门的对角线长的平方，把相关数值代入即可求解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到门框的长，宽，竹竿长是直角三角形的三个边长是解决问题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：由函数图象可得，
甲比乙先到达目的地，故选项A错误；
甲在中途没有停留，乙在中途停留，故选项B错误；
相遇后，甲的速度大于乙的速度，故选项C错误；
他们都骑了，故选项D正确；
故选：．
根据函数图象和图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 10.【答案】 【解析】解：，
．
故选B．
根据圆周角定理求解即可．
本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 11.【答案】 【解析】解：分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，
设，，，则，，，
在正中，，
代入中，得，解得，即，
在正中，，
代入中，得，解得，即，
在正中，，
代入中，得，解得，即，

依此类推由此可得的边长，
故答案为：．
分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，设，，，则，，，再根据所求正三角形的边长，分别表示，，的纵坐标，逐步代入抛物线中，求、、的值，得出规律．
本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
 12.【答案】点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为． 【解析】解：点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为．
故答案为：点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为；
点坐标为，到轴的距离为，到轴的距离为．
根据平面直角坐标系求出各点坐标，进一步可得到轴和到轴的距离．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．
 13.【答案】乙 【解析】解：，，
成绩较为稳定的班级是乙班．
故答案为乙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 14.【答案】 【解析】解：将向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为．
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
 15.【答案】 【解析】解：是线段的垂直平分线，
与关于对称，
连接，交于点，
，
周长，
当、、三点共线时，周长最小，
为边的中点，，
，
，
，
，
周长，
周长的最小值为，
故答案为：．
由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，交于点，则当、、三点共线时，周长最小为的长．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．
 16.【答案】解：原式

． 【解析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质计算即可．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
 17.【答案】证明：在菱形中，，，
，，
，
在和中，
，
≌；
． 【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质可得，，进一步可得，根据可证≌；
根据菱形的性质可得，进一步可证∽，根据相似三角形的性质可得：：，即可求出的长．
【解答】
见答案；
解：在菱形中，，
，，
∽，
：：，
，
：：，
菱形边长为，
，
，
故答案为：．  18.【答案】               【解析】解：令，则，令，则，
直线经过点和．
过点和画直线，则得一次函数的图象，如图：

利用反比例函数的解析式填表如下：故答案为：；；；；；；；．
以上表中，的值为横纵坐标，在直角坐标系描出各点，用平滑的曲线连接各点即得反比例函数的图象，如图：

观察图象，满足不等式的的范围为：，
不等式的解集为：．
分别令，为，依据解析式求得对应的，值，则直线与坐标轴的交点坐标可得，用两点法直接画出图象即可；
依据反比例函数的解析式填表，描点，用平滑的曲线连接即可；
观察图象写出不等式的解集即可．
本题主要考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图形和性质，一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，函数图象的画法，利用数形结合法解答是解题的关键．
 19.【答案】   【解析】解：抽样调查的学生总数为：人，
“读书量”本的人数所占的百分比是，
“读书量”本的人数有：人，
补全条形统计图如下，

根据统计图可知众数为本，
把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第、个数的平均数，
则本次所抽取学生月份“读书量”的中位数为本，
故答案为：，；
根据题意得：
人，
答：估计月份读书数量不少于本的学生有人．
由本人数及其所占百分比可得总人数，再根据百分比之和为求出读书本的人数所占百分比，最后乘以总人数得到其人数即可补全图形；
根据众数和中位数的定义即可得出答案；
总人数乘以样本中“读书量”不少于本的学生人数所占百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 20.【答案】解：设生产个甲种零件获利元，生产个乙种零件获利元，
根据题意得：
解得：．
答：生产个甲种零件获利元，生产个乙种零件获利元．
设要派名工人去生产乙种零件，则名工人去生产甲种零件，
根据题意得：，
解得：．
为正整数，
的最小值为．
答：至少要派名工人去生产乙种零件． 【解析】设生产个甲种零件获利元，生产个乙种零件获利元，根据“生产个甲种零件和个乙种零件共获利元；生产个甲种零件和个乙种零件共获利元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设要派名工人去生产乙种零件，则名工人去生产甲种零件，根据总利润每件利润生产件数结合每天生产的两种零件所获总利润超过 元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其内的最小正整数即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
 21.【答案】解：如图，连接、、、．

，
，

，
，
．
在和中：

≌，
，
平分．
如图，连接、，作于，延长交于．

由可知，平分，
，，
，
．
，
，
，
，
，
设，，
则，，，
，
，
，
，
，
．
如图，延长交于，连接、，则，
作，连接，
作于，于，于，于，

则，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，所以，
，
，
由相交弦定理有：，
． 【解析】连接、、、，证明≌即可．
连接、，作于，延长交于，设，，证明，然后导出与，作比即可．
、为相交弦，已知，因此只需求出和的长即可，而，，也就只需求出的值即可．将绕点顺时针旋转缩小至，即，然后可进一步得出作于，于，则与之比为与的相似比，、均用表示出来，根据与之比可得与之比，从而用表示出，作于，于，求出，从而得出，由勾股定理算出的长，也就得出的值，问题得解．
本题为圆的综合题，主要考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、相交弦定理等重要知识点．第问较复杂，难度较大．通过“旋转缩小”的方式构出、是解答此问的巧妙之处也是关键所在．
 22.【答案】解：四边形为矩形，四边形为菱形，
，，又，
≌，
，
，
，
，
四边形为正方形；

过作，交延长线于，连接，
，
，
，
，
，
在和中，，，
≌，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值，
因此；

设，则由第小题得，，在中，，
，
，
，
的最小值为，此时，
当时，的面积最小为 【解析】由于四边形为矩形，四边形为菱形，那么，，而，易证≌，从而有，等量代换可得，易证四边形为正方形；
过作，交延长线于，连接，由于，可得，同理有，利用等式性质有，再结合，，可证≌，从而有即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值，进而可求三角形面积；
先设，由第小题得，，在中，，利用勾股定理可得，在中，再利用勾股定理可得，进而可求，从而可得当时，的面积最小．
本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 23.【答案】；
，
令，则，则点坐标为，顶点的坐标为，
把点、的坐标代入一次函数表达式：，
解得：，，则：解析式为：；
，
的解析式为：，
联立并解得：已舍去不合题意的值，
；
将一次函数表达式与二次函数表达式联立得：，
，解得：，则一次函数的表达式为：，
当时，，即：点坐标为：；
将直线向上平移两个单位过点，此时一次函数为：，
而关于对称轴的点的坐标为：，
当时，，故：点在一次函数上，
是等腰三角形，所以两角相等． 【解析】解：抛物线沿轴向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
抛物线表达式为：，
故：答案是：；
见答案；
见答案．
【分析】
抛物线沿轴向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，抛物线表达式为：；
求出解析式、的解析式即可求解；
由，，求出一次函数的表达式为：，得点坐标，将直线向上平移两个单位过点，此时一次函数为：，而关于对称轴的点的坐标为：在新的一次函数上即可求解．
本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、图形平移等知识点，难度不大．