2023年安徽省合肥市新站区中考数学二模试卷（含解析）

2023年安徽省合肥市新站区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式运算结果是负数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年春节假日期间，合肥市共接待游客万人，全市旅游综合收入亿元，其中数据万用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  一个不等式的解集如图所示，则这个不等式可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，直线，在等腰中，，，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与在一次制取的实验中，与的原子个数比为：，与的原子个数比为：，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在菱形中，点在的延长线上，，，，求的长(    )

A.
B.
C.
D.

9.  甲、乙两车从城出发前往城，其中甲先出发，如图是甲、乙行驶路程，与时间变化的图象，下列说法不正确的是(    )

A. 乙车开始行驶时，甲车在乙车前处
B. 乙车的平均速度是
C. 在距离城处，乙车追上甲车
D. 乙车比甲车早到城

10.  矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点，若于点，连接、，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  若有意义，则的取值范围是______ ．

12.  中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，“一切皆有定数”，是古人对自然、社会的一种观察和思考古籍孙子算经中也记录了很多古人发现的数字规律现在请你根据所学知识观察：
；
；

根据规律写出第个等式：______ ．

13.  如图，在半径为的上顺次取点，，，，，连接，，，，，，若，，则扇形与扇形的面积之和为______ 结果保留．

14.  已知函数为常数的图形经过点．
______ ．
当时，的最大值与最小值之和为，则的值______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
化简：

16.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
请画出关于轴对称的，点、、分别对应、、；
将以为旋转中心，顺时针旋转，点、、分别对应、、，请画出旋转后的图形；
直接画出与关于直线对称的对称轴．

17.  本小题分
科技是国家强盛之基，创新是引领发展的第一动力，某公司响应国家号召，在年加大科技创新，革新技术实现产值三连增第一季度产值总额为万元，其中二月份产值为万元，求一月至三月的月平均增长率．

18.  本小题分
反比例函数与一次函数的图象交于、两点，坐标为．
求出点坐标；
若是反比例函数图象上的点，是一次函数图象上的点，当点在点下方时，判断自变量的取值范围．

19.  本小题分
某滑雪场建造了全省最长的一条滑雪道，其对外宣传说，此雪道的长度超过米，春节期间，某校“综合与实践”活动小组的同学利用无人机，根据自己的所学知识，设计了如下测量方案：无人机在距地面高度为米的点处测得滑雪道起点处的俯角为，测得滑雪道的终点处的俯角为即，沿水平方向由点飞行米到达点处，此时测得起点处的俯角为，其中、、、均在同一竖直平面内，根据以上数据，该滑雪场的宣传是否属实，请说明理由．
参考数据，，，

20.  本小题分
如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
判断的形状，并证明你的结论；
若，，求的长．

21.  本小题分
学校开展“校园读书月”活动，收到了良好的效果随机调查部分同学，将读本书、本书、本书、本书、本书的人数用条形统计图和扇形统计图统计如下：

本次调查的样本容量是______ ，中位数是______ ；
补全条形统计图，并完成扇形统计图的填空： ______ ， ______ ；
按照上面调查结果，试估计在开展“校园读书月”活动期间，该校位学生共阅读了多少本书？

22.  本小题分
问题背景：如图，在等腰中，，，垂足为点，在中，，，连接，是中点，连接和，在绕点旋转过程中，线段和之间存在怎样的数量关系？

观察发现：
为了探究线段和之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将绕点旋转，使与重合，如图，易知和之间的数量关系为______ ；
操作证明：
继续将绕点旋转，使与重合时，如图，中线段和之间的数量关系仍然成立，请加以证明．
问题解决：
根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？请说明你的理由．

23.  本小题分
如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台宽为，前方有六个台阶各拐点均为，每个台阶的高为，宽为，楼梯平台到轴距离，从轴上的点处向右上方弹射出一个小球小球视为点，飞行路线为抛物线，当点落到台阶后立即弹起，其飞行路线是与形状相同的抛物线．
通过计算判断小球第一次会落在哪个台阶上；
若小球第二次的落点在台阶中点上，求小球第二次飞行路线的解析式；
若小球再次从点处弹起后落入轴上一圆柱形小球接收装置小球落在圆柱形边沿也为接收，接收装置最大截面为矩形，点横坐标为，，，求出小球第三次飞行路线的顶点到轴距离最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是负数，符合题意；
B、，是正数，不符合题意；
C、，是正数，不符合题意；
D、，是正数，不符合题意．
故选：．
根据负整数指数幂的运算，绝对值的性质，零指数幂的运算法则，算术平方根的意义计算选择即可．
本题考查的是实数，熟知负整数指数幂的运算，绝对值的性质，零指数幂的运算法则，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，不符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则分别计算即可．
此题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：数据万用科学记数法可表示为．
故选：．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，主视图为．
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形判定则可．
本题考查了三视图的知识，根据主视图是从物体的正面看得到的视图得出是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：．
分别解出各个不等式的解集即可判断出答案．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
直线，
，
，即，
．
故选：．
利用等边对等角求得，利用平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质列式计算即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：反应的化学方程式为：，
与的原子个数比为：，与的原子个数比为：，
反应后生成的中来自于反应物，而来自于反应物，
共有种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为，
反应生成的概率为，
故选：．
根据反应的化学方程式，画树状图展示所有种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，，
，，
，
，
∽，
，即，
，
的长为．
故选：．
利用菱形的性质、平行线的性质得到，推出，证明∽，利用相似三角形的性质求得，据此即可求解．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，证明∽是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设甲的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故甲的解析式为，
甲车的速度为，
甲先出发，
乙车开始行驶时，甲车在乙车前处，
故A正确，不符合题意；
当时，，
故乙车的速度为，
故B正确，不符合题意；
根据图象，得到乙车出发小时追上甲车，
故在距离城处，乙车追上甲车正确，
故C正确，不符合题意；
根据图象，乙车到达目的地，
故乙车比甲车早到城
故D错误，符合题意；
故选：．
先分别确定函数解析式，利用解析式，结合函数图象判断即可．
本题考查了函数图象，一次函数解析式，正确确定解析式，获取函数图象信息是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：作，，

是的平分线，
，
，
、、、四点共圆，
，
≌，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，最小值是的长，
的最小值是，
故选：．
作，，证明≌，推出，当、、三点共线时，有最小值，最小值是的长，利用勾股定理即可求解．
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，证明≌是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：若有意义，
则，
解得，
故答案为．
根据二次根式有意义，则被开方数不小于，于是令，解得的取值范围．
本题主要考查二次根式有意义的条件，代数式的意义一般从三个方面考虑：当代数式是整式时，字母可取全体实数；当代数式是分式时，分式的分母不能为；当代数式是二次根式时，被开方数为非负数，此题比较简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：第个等式；
第个等式；
第个等式；
第个等式：；
故答案为：．
观察已知的三个等式可得第个等式．
本题考查规律型：数字的变化类，观察所给的等式得到规律是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
扇形与扇形的面积之和为，
故答案为：．
先利用圆周角定理求得，再根据扇形面积公式即可求解．
本题考查了扇形面积公式，掌握圆心角为的扇形面积公式是解题的关键．
 

14.【答案】  或 

【解析】解：函数为常数的图形经过点，
，
解得，
故答案为：；
由得，
函数的解析式为，
，
故抛物线的对称轴为直线，二次函数的最小值为，
的对称点为，
当时，的最大值与最小值之和为，
当时，最大值为，时，取得最小值，且为，
根据题意，得，
解得，舍去，
故；
当时，最大值为，时，取得最小值，且为，
根据题意，得，不符合题意；
当时，时，取得最小值，且为，时，取得最大值，且为，
根据题意，得，
解得舍去，
故；
故答案为或．
把已知坐标代入解析式计算即可．
根据抛物线额性质，分类计算．
本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】解：

． 

【解析】先去括号，然后合并同类项即可．
本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号，合并同类项法则，准确计算．
 

16.【答案】解：，，关于轴对称的对称点坐标，，，画图如下：

，，旋转后的坐标，，，重合画图如下：


，
与关于直线对称的对称轴是等腰三角形底边上的高线所在的直线，
故连接过点作，
则即为所求．
 

【解析】根据，，确定关于轴对称的对称点坐标，，，描点画图即可．
根据，，确定旋转后的坐标，，，描点画图即可．
根据等腰三角形的性质作出底边的垂线即可．
本题考查了旋转变换，轴对称变换，熟练掌握变换的特点是解题的关键．
 

17.【答案】解：设一月至三月的月平均增长率为，根据题意，得，
整理，得，
解得，
解得舍去，
经检验：是分式方程的解，
故一月至三月的月平均增长率． 

【解析】设一月至三月的月平均增长率为，根据题意，得，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，正确列方程并熟练解答是解题的关键．
 

18.【答案】解：反比例函数与一次函数的图象交于、两点，坐标为，
，
解得，，
，
，
解得，，
故B；
结合函数图象，得当点在点下方时，． 

【解析】先确定函数的解析式，联立解方程组求解即可；
结合函数图象解答即可．
本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握解题方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：滑雪场的宣传属实，理由如下，
如图，过点作地面的垂线，垂足为，交直线于点，过点作地面的垂线，垂足为，则四边形为矩形，

，
是等腰直角三角形，
设，则，
在中，，
，即，
解得，
米，
在中，，米，
，即，
解得米，
米，
，
滑雪场的宣传属实． 

【解析】过点作地面的垂线，垂足为，交直线于点，过点作地面的垂线，垂足为，则四边形为矩形，设，则，在中，利用正切函数求得，米，在中，利用正切函数求得米，据此求解即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：为等腰直角三角形，理由如下：
平分，平分，
，．
，，
，
，
为直径，
．
为等腰直角三角形；
如图：连接，，，交于点．

，
．
，
垂直平分．
是等腰直角三角形，，
．
，
．
设，则．
在和中，，
解得，
，
． 

【解析】由角平分线的定义、结合等量代换可得，即；然后再根据直径所对的圆周角为即可解答；
如图：连接，，，交于点先说明垂直平分进而求得、、的长，设，则然后根据勾股定理列出关于的方程求解即可．
本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
 

21.【答案】       

【解析】解：本次调查的样本容量为：人，
读本书的人数人，读本书的人数人，
中位数是第、的位置，都是读本书，则中位数是，
故答案为：，；
由知：读本书的人数有人，读本书的人数有人，
补全的条形统计图如图所示，

，，
，，
故答案为：，；
本，
估计在开展“校园读书月”活动期间，该校位学生共阅读了本书．
根据读本书的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后计算得出读本书、本书的人数，即可求解；
根据扇形统计图中的数据，即可计算出、的值；根据中的结果，从而可以将条形统计图补充完整；
部人数乘以样本中平均读书量即可得．
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、样本容量，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：，
，
为的中点，
，
，
，
为的中点，
，
．
故答案为：．
证明：延长交于点，如图所示：

，，
，，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
即，
为的中点，为的中点，
，
同理得：，
．
成立；理由如下：
延长到点，使，连接，，，如图所示：

，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
即，
，，
≌，
，
为的中点，为的中点，
，
根据解析可知，为的中点，
，
．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明即可；
延长交于点，根据等腰三角形的性质得出，，证明≌，得出，，证明，根据中位线性质得出，，即可证明结论；
延长到点，使，连接，，，证明≌，得出，，证明≌，得出，根据中位线性质得出，，即可证明结论．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
 

23.【答案】解：楼梯平台宽为，每个台阶的高为，宽为，，
第二个台阶的左端点坐标为，右端点坐标为，
当时，；
当时，；
故与抛物线交点在，之间，
当时，，
解得，舍去，
小球落在第二个台阶上，此时点．
根据得到的起点坐标为，再次着地左端点横坐标为，纵坐标为，结合台阶宽为，得到点的落地点坐标为，
设解析式，
得，
解得．
故解析式为．
根据得到的起点坐标为，近地点坐标为，
设解析式，
得，
解得．
故解析式为，
此时，函数的最小值为．
根据得到的起点坐标为，远地点坐标为，
设解析式，
得，
解得．
故解析式为，
此时，函数的最小值为．
，
小球第三次飞行路线的顶点到轴距离最小值是． 

【解析】根据题意，第二个台阶的左端点坐标为，右端点坐标为，计算，时的值，运用夹逼法确定交点位置．
根据得到的起点坐标为，再次着地左端点横坐标为，纵坐标为，结合台阶宽为，得到点的落地点坐标为，设解析式求解即可．
根据得到的起点坐标为，再次着地近地点坐标为，远地点坐标为，设解析式求解即可．
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数的最值，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值是解题的关键．