2023年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的计算结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  与最接近的整数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点若点的纵坐标为，则函数的大致图象是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

8.  成人血管首尾相连的总长度大约是米，将用科学记数法表示为______ ．

9.  计算的结果是______ ．

10.  方程的两个根为，若，则 ______ ．

11.  若正比例函数与函数的图象没有交点，则的值可以是______ 写出一个即可．

12.  若一组数据，，，，的方差是，另一组数据，，，，的方差是，则 ______ 填“”“”或“”．

13.  将一副直角三角板按如图所示的位置摆放若，则 ______

14.  如图，在中，为上的点，若，则 ______ ．

15.  如图，在正方形中，是边上一点，将沿翻折至，延长交于点若，，则的长是______ ．

16.  如图，在中，，，，，分别是射线，射线上的点，，的垂直平分线交于点，当点落在上时，长的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简：．

18.  本小题分
解不等式组，并写出它的整数解．

19.  本小题分
如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与，分别相交于点，，连接，．
求证：四边形为菱形；
若，，则四边形的面积是______ ．

20.  本小题分
某学校开设四门社团课程：美术创作、音乐欣赏、跨学科实践、劳动教育为了解学生喜欢的课程，学校随机抽取部分学生进行调查，每名学生只能选择一门课程，并将调查结果整理数据，绘制成如下不完整的统计图．

补全条形统计图；
“音乐欣赏”课程所对应扇形圆心角的度数为______ ；
已知该校有名学生，请估计该校学生选择“跨学科实践”课程的人数．

21.  本小题分
某公司开展种户外拓展活动，分别记为，，，现甲、乙两人各自从种活动中随机选择项．
求甲选择“，”的概率；
甲、乙各自选择项活动，结果完全相同的概率是______ ．

22.  本小题分
，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？

23.  本小题分
如图，为了测量某山坡上电线杆的高度，小明在处测得杆顶的仰角为，向前走到达处，测得杆顶和杆底的仰角分别是和，求电线杆的高度参考数据：，

24.  本小题分
A、两地相距，甲车从地驶往地，乙车从地以的速度匀速驶往地，乙车比甲车晚出发设甲车行驶的时间为，甲、乙两车离地的距离分别为、，图中线段表示与的函数关系．
甲车的速度为______ ；
若两车同时到达目的地，在图中画出与的函数图象，并求甲车行驶几小时后与乙车相遇；
若甲、乙两车在距地至之间的某处相遇，直接写出的范围．

25.  本小题分
如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点．
求证；
连接，若为直径，，，求的半径．

26.  本小题分
已知函数与为常数，且．
若，求证：与的函数图象总有两个公共点；
若，当时，比较与的大小，并说明理由；
当时，，直接写出的取值范围．

27.  本小题分
【初识模型】
如图，在中，是上一点，，，连接．
求证：Ⅰ；
Ⅱ．
【再研模型】
如图，在中，是上一点，求证：．
【应用模型】
如图，直线与交于点，，一辆快车和一辆慢车分别从，两处沿，方向同时匀速行驶，快车速度是慢车速度的倍，在行驶过程中两车与某一定点所组成的三角形的形状始终不变当两车距离为时，慢车到定点的距离为______

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．
考查了积的乘方，注意：因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
即与最接近的整数是，
故选：．
运用算术平方根的知识进行估算求解．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
不妨取，
则，，，
，
故选：．
取，求出和的值，再比较即可．
本题考查了有理数的大小比较，能选择适当的方法进行比较是解此题的关键，采用取特殊值法．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接、，
，
，
，，
，，
，
，
的长为：，
故选：．
连接、，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意设，，，
一次函数的图象与一次函数的图象相交于点，
，，
，，
，，
，
函数是二次函数，
，
函数图象开口向下，顶点为，
故选：．
根据题意设，，，由一次函数的图象与一次函数的图象相交于点，求得，，即，，得到，然后根据二次函数的性质判断即可．
本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，根据题意得到是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
．
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

9.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
根据二次根式的混合运算的法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程的两个根为，．
，，
又，
，
，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，，结合，可得出，解之即可得出的值，进而可得出．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：正比例函数与函数的图象没有交点，
，
的值可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据正比例函数与反比例函数图象与系数的关系解答即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握它们的图象与性质是解题的关键．
正比例函数，
时，正比例函数图象过第一、三象限；时，正比例函数图象过第二、四象限．
反比例函数，
时，反比例函数图象在第一、三象限；时，反比例函数图象在第二、四象限．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故答案为：．
先计算两组数据的平均数，再计算两组数据的方差比较即可．
本题考查方差的计算，能熟练的计算一组数据的方差是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理即可得出结论．
本题主要考查对平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在优弧上取一点，连接，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
在优弧上取一点，连接，，，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

四边形为正方形，，
，，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：．
连接，由折叠可得，，，易通过证明≌，得到，因此设，则，，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可得到结果．
本题主要考查正方形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，利用定理证明≌，得到是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，的垂直平分线交于点，
，
点是外接圆的圆心，
以为圆心，长为半径作外接圆，连接，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当长最小时长最小，
当时，长最小，
，，
，
，
长的最小值是．
故答案为：．
以为圆心，长为半径作外接圆，连接，，，由圆周角定理推出是等腰直角三角形，得到，当时，长最小，由锐角的正弦求出长即可解决问题．
本题考查线段垂直平分线的性质，圆周角定理，三角函数定义，关键是由作出辅助圆，应用圆周角定理得到．
 

17.【答案】解：原式


． 

【解析】首先计算括号内的式子，然后对第二个分式的分子分母分解因式，转化成乘法运算，最后进行约分解求解．
本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
 

18.【答案】解：解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
所以不等式组的解集为：，
所以的整数解为：、、、、． 

【解析】先解不等式组，再找出整数解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的解法是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】证明：四边形是矩形，
，，
，
是中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；

四边形是菱形，
，
设，
，
，
在中，，
即，
，
．
，
四边形的周长为：．
故答案为：．
首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；
由垂直平分，得到，由，在直角三角形中，设，表示出，再由的长，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长．则的长也可求出，进而可求出四边形的周长．
此题考查了矩形的性质、菱形的判定及性质、全等三角形的判断和性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识点的综合运用，熟练掌握勾股定理及菱形的判定及性质定理是解本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：由题意得，样本容量为：，
故C的人数为：，
补全条形统计图如下：

“音乐欣赏”课程所对应扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
人，
答：估计该校选择“跨学科实践”课程的人数大约为人．
根据课程的人数和所占的百分比求出样本容量，用总人数减去、、的人数，求出的人数，从而补全统计图；
用“音乐欣赏”所占的百分比乘即可；
用乘样本中“跨学科实践”课程的人数所占比例即可．
本题考查了条形图和扇形图及用样本估计总体等知识，正确记忆计算公式是解题关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：所有可能出现的结果有：、、、、、共种，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，满足“甲选择、”记为事件的结果有种，
所以
设六种结果分别为，，，，，，
列表如下：
共有种等可能的结果数，其中甲、乙各自选择项活动，结果完全相同的结果数有种，
所以甲、乙各自选择项活动，结果完全相同的概率是．
故答案为：．
列出所有可能出现的结果，利用概率公式求出概率即可；
设六种结果分别为，，，，，，用列表法展示所有种等可能的结果数，再找出甲、乙各自选择项活动，结果完全相同的结果数，然后根据概率公式计算即可．
本题考查了列表法与树状图法：先用列表法或树状图法列出所有可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．
 

22.【答案】解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料．
依题意可得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
则．
答：型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料． 

【解析】设未知数根据数量关系直接列方程求解即可．
此题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据数量关系列方程，易错点是得到方程的解需要检验．
 

23.【答案】解：延长，交的延长线于点，

由题意得：，，
设为，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
答：电线杆的高度约为 

【解析】延长，交的延长线于点，根据题意可得：，，设为，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，列出关于的方程，进行计算可求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：由图可得，甲车的速度为，
故答案为：；
乙车从地以的速度匀速驶往地，两车同时到达目的地，
乙车行驶时间为，
，
乙车比甲车晚出发，
画出与的函数图象如下：

图象即为与的函数图象，
由题意得，
设的函数表达式为，将代入，得，
，
由，解得，
甲车出发后与乙车相遇，
答：甲车出发后与乙车相遇；
根据题意得，，
由得：，
当时，，
甲、乙两车在距地至之间的某处相遇，
，
解得，
的范围是．
甲车的速度为；
求出乙车比甲车晚出发，即可画出图象，再求出，，联立解析式解方程组即可得到答案；
求得，，联立解方程组可得，根据甲、乙两车在距地至之间的某处相遇，可列，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，解题的关键是数形结合数形的应用．
 

25.【答案】证明：连接并延长交于点，连接，
是的切线，
，
，
，即，
，
是的垂直平分线，
；
解：，，
，
设，在和中，由勾股定理得：
，，
即，，
，
解得舍去．
的半径为． 

【解析】连接并延长交于点，连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，即，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
根据等腰三角形的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

26.【答案】证明：令，得，
，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
即与的函数图象总有两个公共点；
解：设，
函数的图象的对称轴为直线，
函数的图象在时，随的增大而增大或随的增大而减小，
当时，，
，
，即时，，
，
当时，，
，
综上所述，当时，；
解：由知的图象的对称轴为直线，
当时，，
当时，的最大值为负数，
当时，
，
在时取最大值，
，
，
解得，
；
当时，在顶点处，即时取最大值，
，
解得，
，
综上所述，的范围是或． 

【解析】令，得，证明，即可得与的函数图象总有两个公共点；
设，可得图象的对称轴为直线，故随的增大而增大或随的增大而减小，而当时，，当时，，即可知；
由知的图象的对称轴为直线，根据当时，，可知当时，的最大值为负数，分两种情况：当时，在时取最大值，有，当时，在顶点处，即时取最大值，有，解不等式可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及不等式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．
 

27.【答案】 

【解析】证明：Ⅰ，，
∽，
；
Ⅱ∽，
．
，即，
，
，
∽，
；
证明：，，
∽，
，
，即，
又，
∽，
，
，
又，
∽，
；
解：作的外接圆，在圆上取点，且使，连接，，

若快车行驶到，慢车行驶到，，连接，，，
由可知∽，∽，
，
过点作，交的延长线于点，
由题意可知，，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
负值舍去，
，
故答案为：．
Ⅰ证明∽，由相似三角形的性质得出结论；
Ⅱ证明∽，由相似三角形的性质得出结论；
证明∽，得出，，证明∽，则可得出结论；
作的外接圆，在圆上取点，且使，连接，，由知∽，∽，过点作，交的延长线于点，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题是相似形综合题，主要考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．