2022-2023学年天津实验中学滨海学校八年级(下)期中数学试卷(含解析)
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2022-2023学年天津实验中学滨海学校八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,共36.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是( )
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
4. 如图,数轴上点对应的数是,点对应的数是,,垂足为,且,以为圆心,为半径画弧,交数轴于点,则点表示的数为( )
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是( )
A. 对角线互相垂直平分的四边形的正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
6. 如图,已知点,的坐标分别为,,连接,取的中点,连接则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图,在平行四边形中,对角线、相交于点,为的中点,,则的长为( )
A. B. C. D.
8. 菱形的周长为,两个相邻的内角的度数之比为:,则较短的对角线长度是( )
A. B. C. D.
9. 如图,圆柱的高为,底面半径为,一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食,要爬行的最短路程是( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知,如图长方形中,,,将此长方形折叠,使点与点重合,折痕为,则的面积为( )
A. B. C. D.
11. 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形、、、的边长分别是、、、,则最大正方形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图,四边形中,,,且,顺次连接四边形各边中点,得到四边形,再顺次连接四边形各边中点,得到四边形,,如此进行下去,得到四边形下列结论正确的有( )
四边形是矩形;
四边形是菱形;
四边形的周长是;
四边形的面积是.
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
13. 式子在实数范围内有意义,则的取值范围是______ .
14. 如图,在平行四边形中,添加一个条件______,使平行四边形是矩形.
15. 若,则以,为边长的直角三角形的周长为______ .
16. 如图,从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆,则地面钢缆到电线杆底部的距离是______ .
17. 如图,已知菱形,,面积等于,则菱形的周长等于______ .
18. 如图,在▱中,、分别平分、,在上,,则▱的周长为______,面积为______.
三、计算题(本大题共2小题,共14.0分)
19. 已知,求的值.
20. 如图,已知一块四边形的草地,其中,,,,,求这块草地的面积.
四、解答题(本大题共5小题,共52.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
21. 本小题分
计算:
;
;
;
.
22. 本小题分
如图,在正方形网格中,小正方形的边长为,,,为格点.
判断的形状,并说明理由;
求边上的高.
23. 本小题分
已知:如图,▱中,,是,上两点,且求证:.
24. 本小题分
如图,矩形的对角线相交于点,,.
求证:四边形是菱形;
若,,求四边形的面积.
25. 本小题分
已知:在中,,,点为直线上一动点点不与、重合以为边作正方形,连接.
如图,当点在线段上时,
求证:≌;
的大小 ______ 度;
若,,则的长 ______ ;
如图,当点在线段的延长线上时,其它条件不变,则、、三条线段之间的关系是: ______ ;
如图,当点在线段的反向延长线上时,且点、分别在直线的两侧,其它条件不变:
、、三条线段之间的关系是: ______ ;
若连接正方形的对角线、,交点为,连接,探究的形状,并说明理由.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:、是最简二次根式;
B、,不是最简二次根式;
C、,不是最简二次根式;
D、,不是最简二次根式;
故选:.
结合最简二次根式的概念:被开方数不含分母;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.进行解答即可.
本题考查了最简二次根式,解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念:被开方数不含分母;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的加减、二次根式的化简、二次根式的乘除等知识,掌握运算法则是解答本题的关键.
分别根据二次根式的加减法则、二次根式的化简方法、二次根式的乘法法则求解,然后选择正确选项.
【解答】
解:、和不是同类二次根式,不能合并,故错误;
B、,原式计算正确,故正确;
C、,原式计算错误,故错误;
D、,原式计算错误,故错误.
故选B.
3.【答案】
【解析】解:、,,
,
不能构成直角三角形,
故A不符合题意;
B、,
不能构成三角形,
故B不符合题意;
C、,,
,
能构成直角三角形,
故C符合题意;
D、,,
,
不能构成直角三角形,
故D不符合题意;
故选:.
利用勾股定理的逆定理进行计算,逐一判断即可解答.
本题考查了勾股定理的逆定理,熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
4.【答案】
【解析】解:,,,
,
点表示的数为:.
故选:.
直接利用勾股定理求出的长,进而得出点表示的数.
此题主要考查了勾股定理,正确应用勾股定理是解题关键.
5.【答案】
【解析】解:对角线互相垂直平分的四边形的菱形,故A错误.
对角线相等且互相平分的四边形是矩形,故B错误.
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,故C错误.
故选:.
根据特殊的平行四边形的性质即可求出答案.
本题考查平行四边形,解题的关键是正确理解特殊平行四边形的性质,本题属于基础题型.
6.【答案】
【解析】解:点,的坐标分别为,,
,,
,
是的中点,
.
故选:.
由点的坐标可得,,根据勾股定理可得,再根据直角三角形的性质可得的长度.
本题考查了点的坐标以及直角三角形的性质,得出是解答本题的关键.
7.【答案】
【解析】解:四边形是平行四边形,
.
又点是的中点,
是的中位线,
根据三角形的中位线定理可得:.
则.
故选:.
因为四边形是平行四边形,所以;再根据点是的中点,得出是的中位线,即可解决问题.
此题考查了平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分.还考查了三角形中位线的性质:三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半.
8.【答案】
【解析】解:如图,四边形是菱形,周长为,
,,
,
::,
,,
为等边三角形,
,
即较短的对角线长为,
故选:.
由菱形的性质得,,再求出,,然后证为等边三角形,得即可.
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识,熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键.
9.【答案】
【解析】解:底面圆周长为,底面半圆弧长为,即半圆弧长为:,展开得:
,,
根据勾股定理得:.
故选:.
此题最直接的解法就是将圆柱展开,然后利用两点之间线段最短解答.
此题考查的是平面展开最短路径问题,解题的关键是根据题意画出展开图,表示出各线段的长度,再利用勾股定理求解.
10.【答案】
【解析】解:将此长方形折叠,使点与点重合,.
.
,
根据勾股定理可知.
解得.
的面积为故选C.
根据折叠的条件可得:,在直角中,利用勾股定理就可以求解.
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
11.【答案】
【解析】解:由勾股定理得,正方形的面积正方形的面积正方形的面积,
同理,正方形的面积正方形的面积正方形的面积,
正方形的面积正方形的面积正方形的面积,
故选:.
根据勾股定理分别求出、的面积,再根据勾股定理计算即可.
本题考查的是勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是,,斜边长为,那么.
12.【答案】
【解析】解:连接,.
在四边形中,顺次连接四边形 各边中点,得到四边形,
,,,;
,,
四边形是平行四边形;
,四边形是矩形,
矩形的两条对角线相等;
中位线定理,
四边形是菱形;
故本选项错误;
由知,四边形是菱形;
根据中位线定理知,四边形是菱形;
故本选项正确;
根据中位线的性质易知,,,
四边形的周长是,
故本选项正确;
四边形中,,,且,
;
由三角形的中位线的性质可以推知,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,
四边形的面积是,
故本选项正确.
综上所述,正确.
故选:.
首先根据题意,找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律,然后对以下选项作出分析与判断:
根据矩形的判定与性质作出判断;
根据菱形的判定与性质作出判断;
由四边形的周长公式:周长边长之和,来计算四边形的周长;
根据四边形的面积与四边形的面积间的数量关系来求其面积.
本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半解答此题时,需理清菱形、矩形与平行四边形的关系是最关键的.
13.【答案】
【解析】解:由题意得:,
解得:,
故答案为:.
根据二次根式有意义的条件可得,再解即可.
此题主要考查了二次根式有意义的条件,关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.
14.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查矩形的判定,属于基础题.
根据矩形的判定方法即可解决问题.
【解答】
解:若使平行四边形变为矩形,可添加的条件是:
对角线相等的平行四边形是矩形.
故答案为答案不唯一.
15.【答案】或
【解析】解:,
,,
解得:,,
则当,是直角边时,斜边长为:,
此时直角三角形的周长为:,
当为斜边长,则另一直角边长为:,
故此时直角三角形的周长为:,
故以,为边长的直角三角形的周长为:或.
故答案为:或.
直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出,的值,进而利用分类讨论分析得出答案.
此题主要考查了勾股定理以及偶次方的性质以及绝对值的性质,正确分类讨论是解题关键.
16.【答案】
【解析】解:由题意知,,,
在中,由勾股定理得,
,
即地面钢缆到电线杆底部的距离是,
故答案为:
根据勾股定理可直接求解.
本题考查了勾股定理的应用,正确理解题意是解题的关键.
17.【答案】
【解析】解:如图,设与交于点,
四边形是菱形,,
,,,,
菱形的面积是,
,
,
,
在中,由勾股定理得:,
菱形的周长,
故答案为:.
设与交于点,由菱形的性质得,,,,再由菱形的面积得,则,然后由勾股定理求解即可.
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识;熟练掌握菱形的性质,求出的长是解题的关键.
18.【答案】;
【解析】解:、分别平分、,
,,
,,
,,,
,,,
,,,
在直角三角形中,根据勾股定理得:,
根据平行四边形的对边相等,得到:,,
平行四边形的周长等于:.
作于根据直角三角形的面积公式得:,
所以平行四边形的面积.
故答案为:,.
根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形和等腰三角形和直角三角形根据直角三角形的勾股定理得到根据等腰三角形的性质得到,从而求得该平行四边形的周长;根据直角三角形的面积可以求得平行四边形边上的高.
本题主要考查了平行四边形的性质,在平行四边形中,当出现角平分线时,一般可构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质解题.
19.【答案】解:,
,
,
.
【解析】把两边平方得到,然后根据变形得到,最后利用平方根的定义计算即可.
本题考查了完全平方公式:也考查了代数式的变形能力以及平方根的定义.
20.【答案】解:如图,连接,如图所示.
,,,
.
,,,
,
是直角三角形,且,
,,
.
【解析】仔细分析题目,需要求得四边形的面积才能求得结果.连接,由、、的长度关系可得为一直角三角形,为斜边;由此看,四边形由和构成,则容易求解.
此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理,得出是直角三角形是解题关键.
21.【答案】解:
;
;
;
.
【解析】先化简,然后合并同类二次根式即可;
先算乘除法,再开方,然后计算减法即可;
先化简,然后合并同类二次根式即可;
根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开,然后去括号,再合并同类项和同类二次根式即可.
本题考查二次根式的混合运算,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
22.【答案】解:是直角三角形,
理由:由勾股定理得:
,,,
,
是直角三角形;
设的边上的高为,
在中,,,,
的面积,
,
,
边上的高是.
【解析】根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答;
设的边上的高为,然后利用等面积法进行计算即可解答.
本题考查了勾股定理的逆定理,勾股定理,熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
23.【答案】证明:在平行四边形中,
,,
,
,.
四边形是平行四边形.
.
【解析】要证,只需证四边形是平行四边形,而很快证出,,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出.
本题考查了平行四边形的判定.平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
24.【答案】证明:四边形是矩形,
,,,
,
,,
四边形是平行四边形,
又,
四边形是菱形;
,,
是等边三角形,
,
,
,
,
,
四边形是菱形,
.
【解析】根据矩形的性质得出,,,求出,再根据菱形的判定定理得出即可;
由勾股定理可求的长,由三角形的面积公式可求解.
本题考查了矩形的性质,菱形的判定和性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
25.【答案】
【解析】证明:四边形是正方形,
,,
,
,
在和中,
,
≌,
≌,
,
,,
,
,
故答案为:.
≌,
,
,
故答案为:.
,
由同理可证≌得:
,
故答案为:,
由同理可证≌得:
,
故答案为:,
为等腰三角形,理由如下:
,,
,
四边形是正方形,
,,
,
同理可证≌,
,
,
为直角三角形,
正方形中,为的中点,
,,,
,
是等腰三角形.
通过证明≌,则有,,即可解决问题;
由同理可证≌得:;
由同理可证≌得:,则,有为,中点即可解题.
本题主要考查了正方形和等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等知识,始终有≌是解题的关键.
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