2022年福建中考数学真题及答案

数学试题

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．-11的相反数是（    ）

A．-11   B．    C．   D．11

2．如右图所示的圆柱，其俯视图是（    ）

A．  B．  C．  D．

3．5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13 976 000用科学记数法表示为（    ）

A．   B．   C．   D．

4．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（    ）

A．  B．  C．  D．

5．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（    ）

A．   B．    C．   D．π

6．不等式组的解集是（    ）

A．   B．   C．   D．

7．化简的结果是（    ）

A．   B．   C．   D．

8．2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．

综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（    ）

A．   B．   C．   D．

9．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（    ）

（参考数据：，，）

A．9.90cm   B．11.22cm   C．19.58cm   D．22.44cm

10．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（    ）

A．96   B．   C．192   D．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．四边形的外角和度数是______．

12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______．

13．一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______．

14．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）

15．推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：

设任意一个实数为x，令，

等式两边都乘以x，得．        ①

等式两边都减，得．      ②

等式两边分别分解因式，得．   ③

等式两边都除以，得．       ④

等式两边都减m，得x＝0．          ⑤

所以任意一个实数都等于0．

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．

16．已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n>0．若AD＝2BC，则n的值为______．

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（8分）

计算：．

18．（8分）

如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．

求证：∠A＝∠D．

19．（8分）

先化简，再求值：，其中．

20．（8分）

学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图，其中A组为，B组为，C组为，D组为，E组为，F组为．

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；

（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．

21．（8分）

如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．

（1）求证：AC＝AF；

（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．

22．（10分）

在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．

（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？

（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．

23．（10分）

如图，BD是矩形ABCD的对角线．

（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．

24．（12分）

已知，AB＝AC，AB>BC．

（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；

（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．

25．（14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；

（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

数学试题参考答案

一、选择题：本题考查基础知识与基本技能．每小题4分，满分40分．

1．D  2．A   3．C   4．A   5．B

6．C  7．C   8．D   9．B   10．B

二、填空题：本题考查基础知识与基本技能．每小题4分，满分24分．

11．360°       12．6   13．

14．答案不唯一，负数即可  15．④   16．8

三、解答题：本题共9小题，共86分．

17．本小题考查二次根式、绝对值、零指数幂等基础知识．满分8分．

解：原式．

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．

18．本小题考查全等三角形的判定与性质等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．满分8分．

证明：∵BF＝EC，∴，即BC＝EF．

在△ABC和△DEF中，，

∴，∴∠A＝∠D．

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．

19．本小题考查平方差公式、分式基本性质等基础知识，考查因式分解、分式运算、二次根式化简等基本技能．满分8分．

解：原式

．

当时，原式．

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．

20．本小题考查统计图、中位数、样本估计总体等基础知识，考查阅读理解能力、应用意识和数据分析观念．满分8分．

解：（1）活动前调查数据的中位数落在C组；

活动后调查数据的中位数落在D组．

（2）一周的课外劳动时间不小于3h的比例为，．

答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400．

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．

21．本小题考查等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的性质和弧长公式等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理能力、空间观念与几何直观等数学素养．满分8分．

证明：（1）∵，，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴∠B＝∠D．

又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，

∴AC＝AF．

（2）连接AO，CO．

由（1）得∠AFC＝∠ACF，

又∵∠CAF＝30°，∴，

∴．

∴的长．

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．

22．本小题考查一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数的性质等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算能力、模型思想、应用意识等数学素养．满分10分．

解：（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆．

根据题意，得，解得，

因为38>2×8，所以答案符合题意．

答：可购买绿萝38盆，吊兰8盆．

（2）设购买绿萝m盆，吊兰盆，购买两种绿植的总费用为W元．

，

根据题意，得，解得，

因为W是m的一次函数，W随m的增大而增大，

又m为整数，所以m取最小值31时，W的值最小．

当m＝31时，（元）．

答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．

23．本小题考查直角三角形的性质、特殊平行四边形的判定与性质、圆的概念与性质、锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力、运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养，渗透数学文化．满分10分．

解：（1）

如图所示，⊙A即为所求作．

（2）设，⊙A的半径为r．

∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，

∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°．

∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形．

又，∴四边形AEFG是正方形．

∴．

在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，

∴．

在Rt△ABE中，，∴．

∵四边形ABCD是矩形，∴，AB＝CD，

∴，又，

∴，∴，∴．

在Rt△ADE中，，即，

∴，即．

∵，∴．即tan∠ADB的值为．

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．

24．本小题考查平行线的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等基础知识，考查特殊与一般、函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力、空间观念与几何直观等数学素养．满分12分．

解：（1）∵，∴AC＝DC．

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC．

∵CB平分∠ACD，∴，∴，

∴，∴四边形ABDC是平行四边形．

又AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形．

（2）结论：．

∵，∴．

∵AB＝AC，∴，∴．

∵，∴．

∵，∴，

∴．

（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM．

∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，

∴，

∵，∴．

设，，则．

∵CA＝CD，∴，

∴，∴，

∴．

∵，∴，

∴，即∠ADB＝30°．

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．

25．本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程、函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养．满分14分．

解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，

得，解得．所以抛物线的解析式为．

（2）设直线AB的解析式为，

将A（4，0），B（1，4）代入，

得，解得．

所以直线AB的解析式为．

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．

过点B作BE⊥PM，垂足为E．

所以．

因为A（4，0），B（1，4），所以．

因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，

所以，．

设，则．

所以，

即，

解得，．

所以点P的坐标为或（3，4）．