2022-2023学年重庆市云阳一中教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市云阳一中教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市云阳一中教育集团九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 3的相反数是(    )
A. −3 B. −13 C. 3 D. 13
2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是(    )
A. B. C. D.
3. a2⋅a3的运算结果正确的是(    )
A. a2+a3 B. a6 C. a5 D. 6a
4. 下列图象是函数图象的是(    )
A. B. C. D.
5. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积之比是(    )
A. 1：2
B. 1：4
C. 1：3
D. 1：9
6. 下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有3个顶点，第②个图形共有6个顶点，第③个图形共有10个顶点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形顶点的个数为(    )

A. 66个 B. 55个 C. 45个 D. 36个
7. 按如图所示的运算程序，能使输出结果为23的是(    )

A. x=4，y=9 B. x=3，y=−5 C. x=5，y=4 D. x=−3，y=7
8. 如果m=3 2−1，那么m的取值范围正确的是(    )
A. 1 9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD.若AD=BD，⊙O的半径为3，则CD的长度为(    )
A. 94
B. 3 32
C. 3
D. 2 3
10. 对任意非负数x，若记f(x)=x−1x+1，给出下列说法，其中正确的个数为(    )
①f(0)=1；
，则x=3+2 2；
；
④对任意大于3的正整数n，有．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算：sin30°−(1+π)0= ______ ．
12. 如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB/​/CD，∠1=130°，则∠C的度数为______ ．

13. 已知反比例函数y=kx的图象经过点(2,6)，则k= ______ ．
14. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“1”、“2”、“3”、“6”四个数字，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率是______ ．
15. 如图，正方形ABCD中，扇形ABC与扇形BCD的弧交于点E，BC=1cm，则图中阴影部分的面积为______ cm2.(结果保留π)


16. 若关于y的不等式组y−1≥2y−13−12(y−a)>0无解，且关于x的分式方程ax+1+1=x+ax−1的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是______ ．
17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为______ ．


18. 一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”.将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”m′，并规定若已知数m为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)y(4x−3y)+(x−2y)2；
(2)(a+1a−1+1)+2aa2−1．
20. (本小题10.0分)
如图，已知矩形ABCD，AB>AD，E为BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．
(1)尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图形中，连接BF，若AF=AB，求证：BF平分为证明BF平分∠GBE，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决.(请根据小明的思路补全下面的证明过程)
证明：四边形ABCD是矩形，∴ ______ ，∴∠ABF=∠BFC．
∵AB=AF，∴ ______ ，．
∵ ______ ，∴∠BGF=90°．
∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∴ ______ ．
又∵ ______ ，∴△GBF≌△CBF(AAS)，∴ ______ ，∴BF平分∠GBE．

21. (本小题10.0分)
国家利益高于一切，国家安全人人有责，2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(100分制)进行整理、描述和分析(成绩用x表示，共分成四组：不合格0≤x<60，合格60≤x<80，良好80≤x<100，优秀，下面给出了部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80，84，85，90，95，98
八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量：
年级
平均数
众数
中位数
满分率
七年级
82
100
a
25%
八年级
82
b
88
35%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出a，b的值；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国安知识”掌握较好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校七、八年级各有800人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

22. (本小题10.0分)
周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体.若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地(整个过程不休息).据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
23. (本小题10.0分)
在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D、E均在点C的正北方向且CE=600米，点B在点C的正西方向，且BC=200 3米，点B在点A的南偏东60°方向且AB=400米，点D在点A的东北方向.(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 6≈2.449)
(1)求道路AD的长度(精确到个位)；
(2)若甲从A点出发沿A—D—E的路径去点E，与此同时乙从点B出发，沿的路径去点E，其速度为40米/分钟.若两人同时到达点E，请比较谁的速度更快？快多少？(精确到十分位)

24. (本小题10.0分)
如图1，△ABC是等腰三角形，AB=AC=5，BC=6.点D为BC的中点，连接AD，动点P从点B出发，沿着B→A→C运动、到达点C停止运动，过P作PQ⊥BC于点Q.设点P运动的路程为x(0 (1)直接写出y1与x的函数关系式以及对应的x的取值范围；
(2)在图2的平面直角坐标系中画出y1的图象，并写出函数y1的一条性质；
(3)如图3，以PQ为边向右作面积为8的矩形PQFE，令PE的长度为y2，关于x的图象如图2所示，请根据图象直接估计y1=y2时x的值.(近似值保留一位小数，误差不超过0.2)

25. (本小题10.0分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A、B(点B在点A左侧)，与y轴相交于点C(0,3).已知点A坐标为(1,0)，△ABC面积为6．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为点E，过点P作PF/​/y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y′，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26. (本小题10.0分)
如图，在△ABC内部，以AC为斜边作Rt△ACD，AD=CD，连接BD，∠CBD=45°．

(1)如图1，过点D作DE⊥BD交BC于点E，若AB=2 3，BD=1，求BC的长；
(2)如图2，点F为AC上一点，连接DF，过点A作AH⊥DF分别交DF于点G，交DC于点H，若，，求证：BD=GD；
(3)如图3，若AC=10，，点K为直线BC上一点，连接DK，将△BDK沿直线DK翻折至△B′DK，连接B′A，B′C，当△AB′C面积最大时，请直接写出△CDK的面积．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：根据概念，3的相反数在3的前面加−，则3的相反数是−3。
故选：A．
根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可。
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0。

2.【答案】D 
【解析】解：A.该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；
B.该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意；
C.该正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；
D.该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据常见简单几何体的三视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．

3.【答案】C 
【解析】解：a2⋅a3=a5．
故选：C．
根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题关键．

4.【答案】B 
【解析】解：A、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故A不符合题意；
B、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故B符合题意；
C、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故C不符合题意；
D、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故D不符合题意；
故选：B．
根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．

5.【答案】B 
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比是1：4，
故选：B．
根据两三角形位似，面积比等于相似比的平方即可求解．
本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：第①个图形共有1+2=3个顶点；
第②个图形共有1+2+3=6个顶点；
第③个图形共有1+2+3+4=10个顶点；
…，
按此规律排列下去，
第⑦个图形顶点的个数为1+2+3+4+5+6+7+8=36个顶点，
故选：D．
观察图形并找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律，难度不大．

7.【答案】B 
【解析】解：A、若x=4，y=9，∵x B、若x=3，y=−5，∵x>y，，
C、若x=5，y=4，∵x>y，，
D、若x=−3，y=7，∵x 故选：B．
根据所给数据，利用数值转换机计算即可．
本题考查了实数的计算能力，判断数值转换机的运算是解题关键．

8.【答案】C 
【解析】解：，
，
，
∴3 故选：C．
先确定3 2的取值范围，再确定3 2−1的取值范围即可．
本题主要考查估算无理数的大小，掌握逼近法估算无理数的大小是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：连接OD，则OD=OA，
∴∠BAD=∠ODA，
∵⊙O与边BC相切于点D，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD/​/AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∴∠BAD=∠CAD=∠B，
∵∠BAD+∠CAD+∠B=3∠B=∠CAB+∠B=90°，
∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°，
∴∠BOD=90°−∠B=60°，
∵OD=3，
∴AD=BD=OD⋅tan60°=3× 3=3 3，
∴CD=12AD=12×3 3=3 32，
故选：B．
连接OD，可证明OD/​/AC，进而证明∠BAD=∠CAD=∠B=30°，则∠BOD=60°，所以AD=BD=OD⋅tan60°=3 3，CD=12AD=3 32，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵f(x)=x−1x+1，
，
因此①不正确；
∵f(x)=x−1x+1，f(x)= 22，
，
解得x=3+2 2，
经检验x=3+2 2是原方程的解，
因此②正确；
，；，；……
；
因此③正确；
由于

=2n(n+1)
，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有②③④，共3个，
故选：D．
根据新定义的函数f(x)=x−1x+1的定义，代入计算即可．
本题考查函数值，理解新定义函数f(x)=x−1x+1的意义以及函数值的计算方法是解决问题的关键．

11.【答案】−12 
【解析】解：．
故答案为：−12．
根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，进行运算即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，零指数幂运算，掌握特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则是关键．

12.【答案】50° 
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠1+∠C=180°，
∴∠C=180°−∠1=180°−130°=50°．
故答案为：50°．
根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案．
本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．

13.【答案】12 
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(2,6)，
∴6×2=k，
∴k=12．
故答案为：12．
由反比例函数的图象经过点(2,6)，可得出6×2=k，解之即可得出k值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，牢记双曲线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx是解题的关键．

14.【答案】13 
【解析】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的有4种，
∴从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率为412=13，
故答案为：13．
画树状图，共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法或画树状图法和概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．

15.【答案】112π 
【解析】解：∵扇形ABC与扇形BCD的弧交于点E，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠EBC=60°，
∵四边形ABCD为正方形，BC=1cm，
，，
．

故答案为：112π．
根据阴影部分面积=扇形扇形EBC，根据圆的性质，证明△EBC为等边三角形，即可得出∠EBC的度数，即可解答．
本题考查了正方形的性质，扇形面积的求法，仔细观察图形，利用图形是解题的关键．

16.【答案】3 
【解析】解：y−1≥2y−13−12(y−a)>0，
整理得：y≥2y ∵不等式组无解，
∴a≤2，
由ax+1+1=x+ax−1得：
x=−2a−1，
∵方程得解为负数，
∴−2a−1<0，
∴a>−12，
当a=0时，x=−1，分式方程无解，
∴a>−12且a≠0，
∴−12 ∴a的整数解为：1，2，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：1+2=3．
故答案为：3．
分别解不等式组和分式方程，从而得到a的范围，进而取得a的整数，即可解答．
本题考查了分式方程的解，注意分式方程取增根的情况和明确不等式组解集的取法是解题的关键．

17.【答案】 
【解析】解：如图，过点D作AB的垂线段，交AB于点G，
∵∠C=90°，AC=BC=5，DG⊥AB，
∴△ADG为等腰直角三角形，AB=5 2，
∵AD=2，
，

设DE=x，则根据翻折EB=x，
，
在Rt△DGE中，DG2+GE2=DE2，
可得方程，
解得：，
∵将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，
，∠EOB=90°，
，
，．
故答案为：．
过点D作AB的垂线段，交AB于点G，根据题意，可得△AGD为等腰直角三角形，再根据翻折可得DE=BE，，∠EOB=90°，求出BO，再设DE=x，根据勾股定理求出DE的长，即可得到EO的长．
本题考查了等腰直角三角形的性质，根据勾股定理列方程求解问题，翻折问题，正确的作出辅助线，一步一步推论是解题的关键．

18.【答案】 
【解析】解：设m=abba−，则，
，
，
．
是一个完全平方数，
是一个完全平方数，
∵1≤a≤9，1≤b≤9，
，
∴a−b=6，即，
当b=1时，a有最小值7，
此时m的最小值为．
故答案为：．
设m=abba−，则，由题意得，由是一个完全平方数，结合a，b的取值范围，可得a−b=6，从而得到m的最小值．
本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方的概念，新定义的实数运算，充分理解题意是解题的关键．

19.【答案】解：(1)原式
；
(2)原式



． 
【解析】(1)根据单项式乘多项式法则，完全平方和公式计算，即可解答；
(2)根据分式的计算法则计算，即可解答．
本题考查了分式的加减法，熟练运用计算法则是解题的关键．

20.【答案】AB/​/CD  ∠ABF=∠AFB  BG⊥AF    BF=BF  ∠FBG=∠FBC 
【解析】(1)解：作图见解析部分；
(2)证明：四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，
∴∠ABF=∠BFC．
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
．
∵BG⊥AF，
∴∠BGF=90°．
∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，
．
又∵BF=BF，
∴△GBF≌△CBF(AAS)，
∴∠FBG=∠FBC，
∴BF平分∠GBE．
故答案为：AB/​/CD，∠ABF=∠AFB，BG⊥AF，，BF=BF，∠FBG=∠FBC．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)证明△GBF≌△CBF(AAS)，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

21.【答案】解：(1)七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为(80+84)÷2=82(分)，
因此中位数是82分，即a=82，
八年级学生竞赛成绩的中位数是88，因此在88分以上的应有10人，可得100分的有10−3=7(人)，
因此竞赛成绩的众数为100，即b=100；
∴a=82，b=100；
(2)八年级学生对“国安知识”掌握的比较好，理由如下：
虽然七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但是八年级学生的中位数和满分率都高于七年级；
(3)七年级抽取的学生成绩优秀的人数为人)，
八年级抽取的学生成绩优秀的人数为人)，
则优秀人数为人)，
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是480人． 
【解析】(1)找出七年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出a的值，找出八年级成绩出现次数最多的数即为八年级成绩的众数b；
(2)根据中位数和满分率进行判断即可；
(3)分别求出七、八年级学生竞赛成绩的优秀人数即可求解．
本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数的计算方法是正确求解的前提．

22.【答案】解：(1)设小红的跑步速度为每分钟x m，则小明的跑步速度为每分，
可得：，
解得x=400，
经检验x=400是原方程的解，
∴原方程的解为x=400，

答：小明的跑步速度为每分480m，小红的跑步速度为每分钟400m；
(2)∵小明的跑步速度为每分480m，
∴小明从A地到B地所用时间为分)，
设小明从B地到C地用时y分钟，则：，
解得y=45或舍去)，分)
答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟． 
【解析】(1)设小红的跑步速度为每分钟x m，则小明的跑步速度为每分，根据小红的跑步时间−小明的跑步时间=5列分式方程求解即可；
(2)设小明从B地到C地用时y分钟，根据前30分钟消耗的热量+30分钟后的热量=2300列方程解答即可．
本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键．

23.【答案】解：(1)过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，

由题意得：
AF=CG，AG=CF，
在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=400米，
米)，
米)，
米，
米，
米)，
米，
在Rt△ADG中，，
米)，
∴道路AD的长度约为980米；
米，米，
米)，
在Rt△AGE中，米，
米)，
在Rt△ADG中，∠DAG=45°，
米)，
∴甲的路程米，
乙的路程米)，
∵乙的速度为40米/分钟，
∴乙所用的时间分钟)，
∴甲所用的时间也是30分钟，
∴甲的速度米/分钟)，
米/分钟)，
∴若两人同时到达点E，甲的速度更快，快2.4米/分钟． 
【解析】(1)过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据题意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用锐角三角函数的定义求出AF，BF的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答；
(2)利用(1)的结论可求出EG的长，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的长，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

24.【答案】解：(1)当P在AB上，即0
∵AB=AC=5，BC=6.点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=3，
∴AD= AB2−BD2=4，
∵PQ⊥BC，
，即，
；
当P在AC上，即5
同理可得，
，
，
；
(2)画出y1的图象如下：

由图可知，y1的最大值为4；
(3)观察两个函数图象的交点，横坐标约为3.6和6.4，
∴y1=y2时，估计x的值约为3.6或6.4． 
【解析】分两种情况：(1)当P在AB上，即0 (2)结合(1)画出图象，观察图象可得y1的性质；
(3)观察两个函数图象，估计交点的横坐标的大小，即可得到答案．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是利用分类讨论思想，求出y1与x的函数关系式和数形结合思想的应用．

25.【答案】解：(1)∵A(1,0)，C(0,3)，
∴OA=1，OC=3，
，
∴AB=4，
，
∴B(−3,0)，
设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−1)，
把C(0,3)代入得，a=−1，
∴y=−(x+3)(x−1)=−x2−2x+3，
(2)∵OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵PF//y轴，
，
∴∠PEF=90°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
，
，
∴当PF取最大值时，△EPF的周长取最大值，
设直线BC的解析式为y=k1x+b1，
把B(−3,0)，C(0,3)代入得，
，
解得，k1=1b1=3，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
设P(m,−m2−2m+3)，F(m,m+3)，
，
当m=−32时，PF有最大值，为94，此时，，
∴当时，△PEF的周长有最大值，为；
的图象向左平移2个单位，
，
联立方程得，，
解得，x=−2，
∴y=5，
∴D(−2,5)，
又，
设M(n,n+3)，
∵以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，
∴△BDM为等腰三角形，
，，，
①当BM=DM时，，即：，
，，
；
②当BD=BM时，，
即：，
，
，
当n=−3+ 13时，；当时，，
或，
③当DM=BD时，，
∴n=3或−3(舍去)，
∴n+3=6，
，
综上，点M的坐标为：(3.6)或或或． 
【解析】(1)根据题意求出点B坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
(2)先判断△PEF为等腰直角三角形，得，确定当..取最大值时，△EPF的周长取最大值，求得直线BC的解析式为y=x+3，设P(m,−m2−2m+3)，F(m,m+3)，计算得出，根据二次函数的性质可得结论；
(3)先求出平移后抛物线的表达式及及点D的坐标，分3种情况讨论△BDM为等腰三角形，求出点M的坐标．
此题重点考查二次函数的图象和性质与一次函数、四边形、相似三角形的综合应用，解题的关键是结合图形画出适当的辅助线，找到相等关系列出相应的表达式或方程，求结果．

26.【答案】解：(1)连接AE，

∵DE⊥BD
，则，
∴∠BDC=∠EDA
又∵∠CBD=45°，
∴∠DEB=45°，则BD=ED，
∵AD=CD，
∴△BDC≌△EDA(SAS)，
，BC=AE，
，
∵在Rt△BDE中，∠BDE=90°，DE=BD=1，
，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=2 3，BE= 2，
，
∴BC= 10．
(2)证明：如图2，取AG中点N，连接DN，过点D作DM⊥BD于点D，交BC于点M，则，

∵∠ADC=90°，AD=CD，
，
∵DM⊥BD，∠CBD=45°
，则BD=DM，
，
，
，∠ACB=∠2+∠3，且∠AHD=∠ACB，
∴∠1=∠2，
，，
∴∠4=∠5，
∴△ADN≌△DCM(SAS)，
，

又∵AH⊥DF，则△DNG为等腰直角三角形，
∴DG=NG，
又，
∴DG=BD．
(3)由翻折可知，，BD=B′D，则点B′在以D为圆心，BD为半径的圆上，
作DT⊥BC，B′P⊥AC，，
，则当B′P取最大值时，最大，而
∴当B′P经过圆心D时，最大，
由题意可知，△ADC为等腰直角三角形，则，
∵当B′P经过圆心D，则DP平分∠ADC，
∴∠CDP=45°，则，
为等腰直角三角形，则，
，
，
，则，
∵∠CBD=45°，则△BDT为等腰直角三角形，
，，，
则，，
由翻折可知，，
，
∴K，B′，Q三点在同一直线上，
，
． 
【解析】(1)连接AE，可证△BDC≌△EDA(SAS)，进而证得∠AEB=90°，由勾股定理求得BE= 2，；
(2)取AG中点N，连接DN，过点D作DM⊥BD于点D，交BC于点M，则，进而可得，由，∠ACB=∠2+∠3，且∠AHD=∠ACB，可得∠1=∠2，由，，可得∠4=∠5，可证△ADN≌△DCM(SAS)，易得，可知△DNG为等腰直角三角形，可得DG=NG，即可证得DG=BD；
(3)由翻折可知，，BD=B′D，则点B′在以D为圆心，BD为半径的圆上，作DT⊥BC，B′P⊥AC，，由，则可知当B′P取最大值时，最大，而，进而可知当B′P经过圆心D时，最大，由题意可知，可求得，∠CDP=45°，，可知，由，可得，，则tan∠BCD=13，由∠CBD=45°，得，，，则，，由翻折可知，，可知K，B′，Q三点在同一直线上，可得，根据即可求得面积．
本题考查等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形，构造直角三角形是解决问题的关键．