高考数学二轮复习微点3 阿波罗尼斯圆与向量（2份打包，原卷版+解析版）

专题1  阿波罗尼斯圆及其应用  微点3 阿波罗尼斯圆与向量

专题1  阿波罗尼斯圆及其应用

微点3  阿波罗尼斯圆与向量

【微点综述】

涉及线段定比的有些平面向量题，或是涉及数量积的等式，可以转化成三点共线问题，构造阿波罗尼斯圆，建立平面直角坐标系，利用阿波罗尼斯圆解决问题．

【典例刨析】

例1

1．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为__________.

例2

2．已知，，点D满足，设，若恒成立，则的最大值为______________．

例3（2022浙江省宁波市鄞州中学高三其他）

3．已知向量满足，则的取值范围是_______.

例4

4．已知等边的边长为2，点在线段上，若满足的点恰有两个，则实数的取值范围是__________．

例5

5．已知是平面上两个定点，平面上的动点满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______．

例6

6．已知点，，，点D是直线AC上的动点，若恒成立，则最小正整数__________.

【针对训练】

（2022·广东广州·高二期末）

7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，，点满足，则点P的轨迹方程为__________.（答案写成标准方程），的最小值为___________.

（2022·江苏·高邮一中高二期末）

8．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点P到两定点A，B的距离之比满足(且，t为常数)，则点的轨迹为圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则P点的轨迹为圆，该圆方程为_________；过点的直线交圆于两点，且，则_________．

9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为4，动点满足，则动点的轨迹所围成的图形的面积为___________；最大值是___________.

10．在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____．

11．在中，，，点满足，则的最小值为______.

12．已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为.

①求的方程，并说明是什么图形；

②试探究：在直线上是否存在定点(异于原点)，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.