高考数学二轮复习微点5 阿波罗尼斯球（2份打包，原卷版+解析版）

专题1  阿波罗尼斯圆及其应用  微点5 阿波罗尼斯球

专题1  阿波罗尼斯圆及其应用

微点5  阿波罗尼斯球

【微点综述】

对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题．对于这类问题也可以利用空间坐标计算求解轨迹问题．

【典例刨析】

例1．（2022贵州贵阳·模拟）

1．在平面内，已知动点P与两定点A，B的距离之比为，那么点P的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱中，平面ABC，，，，点M为AB的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且，动点P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

2．如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足．若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为________；若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，则三棱锥的体积的最小值为___________．

3．已知正方体的棱长为4，点P在平面内，且，则点P的轨迹的长度为___________.

4．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点、距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面(包括边界)上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为______；若是的中点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______.

阿波罗尼奥斯

例5．（2022·湖南怀化·高二期末）

5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为___________.

6．棱长为的正四面体的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点，则的最小值为______.

【针对训练】

7．如图，是平面的斜线段，为斜足，点满足，且在平面内运动，则

A．当时，点的轨迹是抛物线

B．当时，点的轨迹是一条直线

C．当时，点的轨迹是椭圆

D．当时，点的轨迹是双曲线抛物线

8．如图，已知平面，，A、B是直线l上的两点，C、D是平面内的两点，且，，，，．P是平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（   ）

A． B． C． D．1

（2022·山西太原·二模（理））

9．已知点M是棱长为3的正方体的内切球O球面上的动点，点N为线段上一点，，，则动点M运动路线的长度为（    ）

A． B． C． D．

（2022天津西青区杨柳青一中高二期中）

10．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为___________；若是的中点，且正方体的表面（包括边界）上的动点满足条件，则三棱锥体积的最大值是__________．

11．已知正方体的棱长为，点为侧面内的动点，且，则点所形成的轨迹图形长度为_______________．

（2022江西上饶·二模（理））

12．点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，，若球的体积为，则动点的轨迹长度为___________.

13．已知在棱长为12的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小值为______，的最小值为______．