湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高三下学期5月联考数学试题+Word版含答案

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高三下学期5月联考数学试题+Word版含答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023年五月模拟考
高三数学试卷
命题学校：黄冈中学 命题教师：肖海东 冯小玮 周建义
审题学校：大冶一中 审题教师：江猛
考试时间：2023年5月10日下午15：00—17：00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．9 B．1 C． D．
3．已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角．若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，为BC的中点，米，米，则彩虹（）的长度约为（ ）（参考数据：，）

A．米 B．米 C．米 D．米
6．6名同学相约在周末参加创建全国文明城市志愿活动，现有交通值守、文明劝导、文艺宣讲三种岗位需要志愿者，其中，交通值守、文明劝导岗位各需2人，文艺宣讲岗位需1人．已知这6名同学中有4名男生，2名女生，现要从这6名同学中选出5人上岗，剩下1人留守值班．若两名女生都已经到岗，则她们不在同一岗位的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．现有一个底面边长为，侧棱长为的正三棱锥框架，其各顶点都在球的球面上．将一个圆气球放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切时停止充气，此时两球表面积之和为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，在正方体中，E，F，G分别为AB，BC，的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（ ）

A．直线平面EFG B．直线CP和平面ABCD所成的角为定值
C．异面直线CP和FG所成的角不为定值 D．若直线平面EFG，则点为线段的中点
10．已知，，，，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．
C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为
12．已知函数，记的最小值为，下列说法正确的是（ ）
A．对任意的正整数n，的图象都关于直线对称
B．
C．
D．设，为的前项和，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某工厂生产一批零件（单位：cm），其尺寸服从正态分布，且，，则________．
14．已知直线与圆相交于A、B两点．若为直角三角形，则的值为________．
15．已知函数，直线，是的两条切线，，相交于点，若，则点横坐标的取值范围是________．
16．已知椭圆，A，B是椭圆上的两点，且直线OA，OB的斜率满足，延长OA到点，使得，且直线MB交椭圆于点，设，则________；________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，，，．

（1）若，求的面积；
（2）若，，求．
18．（12分）已知正项数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列满足，求证：．
19．（12分）如图，在三棱台中，，平面．

（1）证明：平面平面；
（2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
20．（12分）2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴．为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场．直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷．为了回馈100名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这100名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为X（不重复计数）．
（1）若甲是这100名顾客中的一人，求甲被抽中的概率；
（2）求使取得最大值的整数．
21．（12分）已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过上一点作曲线的两条切线PA，PB，A，B为切点，PA，PB与轴分别交于，两点．记，，的面积分别为、、．
（ⅰ）证明：四边形FNPM为平行四边形；
（ⅱ）求的值．
22．（12分）已知函数， ，其中，是自然对数的底数．
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）设，在（1）的条件下，讨论关于的方程在上解的个数．
鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023年五月模拟考
高三数学参考答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
C
A
D
A
B
AD
ABD
ABD
ACD
填空题
13．16 14． 15． 16．1；4
小题详解
1．C【解析】∵，，
∴或，，∴，，，，故选C．
2．B【解析】已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，
则，即，即，解得，
故，故选．
3．D【解析】∵，，且，
∵，即，，
∴在方向上的投影向量为，故选D．
4．C【解析】函数的图象向左平移个单位，得的图象，又函数是偶函数，∴，，∴，；∴，故选C．
5．A【解析】在中，由勾股定理可得：米，连接PO，
则在中，米，连接OB，OC，OM，则在中，，故，，则彩虹（）的长度约为，故选A．
6．D【解析】法一：设“两名女生都到岗”为事件A，“两名女生不在同一岗位”为事件B，则，，
∴，故选D．
法二：．
7．A【解析】由题意可得有解，所以，解得或，
当时，必有，解得；
当时，必有，不等式组无解，
综上所述，，∴的取值范围为，故选A．
8．B【解析】设此正三棱锥框架为，球的半径为，球的半径为，底面ABC外接圆的圆心为，连接PO，AO，延长AO交BC于点N．∵圆气球在此框架内且与正三棱锥所有的棱都相切，设球与棱PA和BC相切于点M，N，则，，∵底面，∴，又∵，∴，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，，
由，可得，解得，
则球的表面积为，
又，则与重合，球的半径，球的表面积为，综上可得：两球表面积之和为，故选B．

9．AD【解析】对于A选项，平面EFG截正方体的截面图形为正六边形EFGHIJ，其中H，I，J分别为，，的中点，∵，平面，平面，∴平面，故A正确；对于B选项，过作交AD于点，则直线CP和平面ABCD所成的角为，，设，正方体的棱长为1，

则，，
∴，∴直线CP和平面ABCD所成的角不为定值，故B错误；

对于选项，∵平面，，∴平面，
又平面，∴，故C错误；
对于D选项，设，，则平面平面，∴平面，平面，∴，又在平面内，易知，，∴点为线段的中点，故D正确，故选AD．

10．ABD【解析】对于A选项，由题意知，a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标，∵，两个函数的图象关于直线对称，的图象也关于对称，故两交点，关于直线对称，所以，，故A正确；对于B选项，由可得即，故B正确；对于D选项，∵，故D正确；对于C选项，，令，则，∴在上单调递减，则，故C错误，故选ABC．
11．ABD【解析】对于A选项，由已知可得，，∴C的渐近线方程为，故A正确；
对于B选项，由题意得，AM的直线方程为：，∴为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分，故B正确；对于C选项，延长，与的延长线交于点，则AH垂直平分，即点为的中点．又是的中点，
∴，故C错误；
对于D选项，
，
当且仅当，即时，等号成立．∴四边形面积的最小值为，故D正确，故选ABD．

12．ACD【解析】对于A选项，∵，故A正确；对于B选项，当时，．当时，设，则，令，，，时，，∴，∴，时，，∴，即，∴，故B错误；对于C选项，由得，∴，故C正确；
对于D选项，∵，∴，∴，∴，又，∴，即有，故D正确，故选ACD．
13．16【解析】∵，，
∴，∴
14．【解析】根据题意，圆即，若为直角三角形，则有，解得：．
15．【解析】记，，
由函数图象可知，不妨设与相切于点，与相切于点，
则，．∴，，∴，，
∵，∴，即，∵的方程为：，
的方程为：，联立方程组可求得点的横坐标，
∵，∴，∴，即点横坐标的取值范围是．
16．1；4【解析】设，，，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵在椭圆上，∴．
即．①
又，，代入①得．
∵，由M，N，B三点共线，得，∴，，
∴，∴，∴．
解答题
17．（10分）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，由余弦定理得，
∴，解得，
∴． 5分
（2）设，
在中，由正弦定理得，∴①， 6分
在中，，，
则，即① 8分
由①②得：，∴，
整理得，∴． 10分
18．（12分）
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）∵，当时，，
两式相减得：，整理得， 4分
∵，∴，当时，，
∴（舍）或， 5分
∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则； 6分
（2）由（1）知，， 8分
∴，
∵，∴，即． 12分
19．（12分）
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴；
又，∴，即， 2分
∵，，，，平面，
∴平面， 4分
又平面，∴平面平面； 5分
（2）∵平面，平面，∴；
又平面，，∴平面，∵平面，∴，
∵，，，，平面，
∴平面， 6分
法一：（坐标法）
分别以为轴，为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，，，， 7分
设平面的法向量，∵平面，
则，即，取， 9分
取平面的一个法向量， 10分
则，
故平面与平面夹角的余弦值为． 12分
法二：（几何法）
在平面内，过点作交于点，

连接，则平面，为二面角的平面角，
即为平面与平面的夹角． 8分
∵，，，∴，
又在直角三角形中，，∴，
则在直角三角形中，，故，
∴平面与平面夹角的余弦值为． 12分
20．（12分）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设事件A：“顾客甲第一次抽中”，事件B：“顾客甲第二次抽中”，
∵A与B是相互独立事件，所以与相互独立，
由于，故，
∴甲被抽中的概率； 4分
（2）“由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽取两次”所包含的基本事件总数为，当时，两次都中奖的人数为，只在第一次中奖的顾客人数为，只在第二次中奖的顾客人数也为，
由乘法原理知：事件所包含的基本事件数为，
，， 6分
由可得：， 8分
整理得：，
化简得：，则有，
整理得，解得，即， 11分
∵为整数，∴，∴取到最大值时，． 12分
21．（12分）
【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1
【解析】（1）设圆心，由题意得：，化简整理得：，
∴曲线的方程为：． 4分
（2）（ⅰ）证明：设，，∵，∴，
∴直线PA的方程为：，即，
同理可得直线PB的方程为：，
∴，，， 6分
又，∴，
∴四边形FNPM为平行四边形； 8分
（ⅱ）∵P在直线PA，PB上，设，由（ⅰ）得：，
∴直线AB的方程为：，∴直线AB过点，
∵四边形FNPM为平行四边形，∴，，
∴，，，，
∴， 10分
∵，，，
∴． 12分
22．（12分）
【答案】（1）；（2）时，关于的方程在上有唯一解．
【解析】（1）由题意，，即，
令，， 2分
由知，
故当时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，所以． 4分
（2），易求得在上单调递增，在上单调递减；
①当时，，且由（1）知，，，，即，均单调递增；此时，有．
当时，，在上单调递增，所以；
当时，，在上单调递减，所以；
所以时，方程有唯一解． 7分
②当时，由（1）知，令得，
令得，
当时，，则； 8分
当时，，由复合函数单调性可知单调递减，单调递增，
令，则单调递增，
又，，
所以存在唯一的，满足； 10分
当时，，则；
所以时，方程有唯一解． 11分
综合①②可得：
当时，关于的方程在上有唯一解．