湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题及答案

湖北省重点高中智学联盟2023年春季高一年级5月联考

数学试题

命题学校：新洲一中邾城校区  命题人：卢有勇  审题人：武穴中学：朱建军

一、单项选择题：（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.复平面内复数所对应的点为，则（    ）

A.2 B. C. D.

2.已知点，，，若与共线，则在上的投影向量的坐标为（    ）

A. B. C. D.

3.已知，，，则，的夹角为（    ）

A. B. C. D.

4.某广场内供休闲人员休息的石凳是由一个正方体石块截去8个相同的四面体得到的，如下图所示，若被截正方体石块棱长为，则该石癹的体积为：（单位）（    ）

A.180000 B.160000 C.140000 D.120000

5.在中，角、、的对边分别是，，，已知，且，则（    ）

A.9 B.6 C.3 D.18

6.如右图，现有，，三点在同一水平面上的投影分别为，，，且，，由点测得点的仰角为，与的差为10，由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差为（    ）

A.15 B.16 C.17 D.18

7.在中，，，为的中点，于，是线段上的动点，则（    ）

A. B.8 C. D.6

8.在中，已知，，点在边上，且，，则（    ）

A. B. C.或 D.或

二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.将向量替换为复数，以下是向量的性质类比到复数中，其中在复数中结论仍然成立的是（    ）

A.由，类比为：

B.由，类比为：

C.由，类比为

D.由，类比为：

10.在中，角、、的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ）

A.“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件

B.“”是“”的充要条件

C.若，，则面积的最大值为

D.若，，则周长的最大值为6

11.矩形中，，，动点满足，，，则下列说法正确的是（    ）

A.若，则的最小值为4

B.若，则的面积为定值

C.若，则满足的点不存在

D.若，，则的面积为

12.已知圆锥的母线长为6，侧面积为，则下列说法正确的是（    ）

A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的内切球的体积为

C.该圆锥的外接球的表面积为 D.该圆锥的内接正方体的棱长为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知复数为纯虚数，则复数的虚部为______.

14.中，，，，则______.

15.将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为______.

16.如右图所示，中，，，以的中点为圆心，为直径在三角形的外部作半圆弧，点在半圆弧上运动，设，，则当取最大值时，______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

已知，，，.

（1）若，且方向相反，求实数的值；

（2）若与的夹角为，求实数的值.

18.（本小题满分12分）

某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14.

（1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；

（2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）

19.（本小题满分12分）

已知，是夹角为的两个单位向量.

（1）若，求实数的值；

（2）若两向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.

20.（本小题满分12分）

在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.

（1）求角；

（2）若为的中点，且，的角平分线交于点，且，求边长.

21.（本小题满分12分）

在正三棱柱中，，，为线段上的动点，设，.

（1）当时，求三棱锥的体积；

（2）求的最小值，并求取最小值时的值.

22.（本小题满分12分）

已知在中，为边上的点，且，.

（1）若，，求边的长；

（2）若，设，，试将的面积表示为的函数，并求函数最大值.

湖北省重点高中智学联盟2023年春季高一5月联考数学参考答案

1. C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.A 7.C 8.C 9.AB 10.BCD 11.BCD 12. AC

13. 14.2或4 15. 16.

7.法一：

法二：将特殊到，则

8.设，∴，，，

则，

中，

中，

故，

又，，

∴或，

则或，选择C

12.对于A：设圆锥底面半径为，则侧面积为，则圆锥高为，

故圆锥体积为，故A对；

对于B：内切球半径，故内切球的体积为，故B错；

对于C：外接球的半径满足：，∴，故C对；

对于D：内接正方体的棱长满足：，故D错.故选：AC

16.法一：如图建立平面直角坐标系，

得，，，

∴，

此时：.

法二：

，同上.

17.（1）由与平行得：

∴或

当时，，，与平行，且方向相反，满足要求；

当时，，，方向相同，不满足要求；

故

（2），

即（※），

平方得：

∴或

经检验是（※）的增根，舍去；

∴满足要求

18.（1）正四棱台的体积；

圆柱的体积；

故该预制件的体积

故浇制一个这样的预制件大约需要混凝土.

（2）该正四棱台侧面梯形的高为：，

故该预制件的表面积，

∴，

，

所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升.

19.（1），

∴，

∴或

（2）

当向量与平行时，，

实数的取值范围是且

20.（1）由，

∴

由正弦定理得：，

∴，

∵，∴，∴，

∵，∴，

（2），

故，

∴，

又，

∴，

则∴，

由余弦定理得：，

故

21.（1）当时，得出为的中点，则

（2）将矩形沿展开，与共面，

如图所示，，

∴，故的最小值为7

中，由正弦定理得：，

∴，

∴，

则

22.（1）由，，则，

在中，，

∵，∴，

∴，

（2）在中，由余弦定理得：

由，设，则，

∵，∴

在中，由余弦定理得：，

的面积，

∴，

法一：（※）

，

∴

∴，

当时，（※）式为：，

，∴，取到最大值。

故函数最大值为

法二：

∴

，

当且仅当，即，即取最大值，

故函数最大值为