2023年广东省云浮市罗定市中考一模数学试卷（含答案）

2023年广东省云浮市罗定市中考一模数学试卷

一       、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（    ）

A．27            B．42           C．55                  D．210

2.为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽取老人的方法最合适的是（　　）

A．随机抽取100位女性老人

B．随机抽取100位男性老人

C．随机抽取公园内100位老人

D．在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人

3.下面运算结果为a6的是（　　）

A．a3+a3       B．a8÷a2          C．a2•a3            D．（﹣a2）3

4.方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（　　）

A．x1＝6，x2＝4            B．x1＝6，x2＝﹣4   

C．x1＝﹣6，x2＝4          D．x1＝﹣6，x2＝﹣4

5.某几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）

A．圆锥           B．圆柱              C．三棱锥               D．球

6.某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（　　）

A．x﹣y=20     B．x+y=20      C．5x﹣2y=60         D．5x+2y=60

7.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1=20°，则∠2的度数为（　　）

A．60°              B． 45°            C．40°            D．30°

8.在平行四边形ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长为（      ）

A．8cm               B．6cm           C．4cm             D．2cm

9.如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）

A．10cm             B．16cm             C．24cm            D．26cm

10.如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（     ）

A．30°        B．35°            C．40°              D．45°

二       、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m所表示的数是　   　．

12.如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度．

13.三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为　   　cm．

14.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=　   　．

15.在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．

三       、解答题（本大题共8小题，共75分）

16.（1）化简：÷，

（2）解不等式组：

17.某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：

请根据上图完成下面题目：

（1）总人数为　   　人，a=　   　，b=　   　．

（2）请你补全条形统计图．

（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？

18.如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：

∵sinA=，sinB=

∴c=，c=

∴=

根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．

19.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．

（1）求证：△ACD ∽ △CBD；

（2）求∠ACB的大小．

20.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：

（1）绘制函数图像，如图1

①列表；下表是x与y的几组对应值，其中；

②描点：根据表中各组对应值(x，y)在平面直角坐标系中描出了各点；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；

（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________；

（3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于点C，则；

②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则；

③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则；

21.如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．

22.如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．

（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：

在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1，以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．

根据探究的结果，解答下列问题：

①当a＝1.5时，h＝　   　，当h＝1时，a＝　   　．

②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．

③下列说法正确的是 　   　．（填“A”或“B”）

A．变量h是以a为自变量的函数

B．变量a是以h为自变量的函数

（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s．

①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式，

②当s＝时，求a的值．

23.阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A．B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得xp=，同理，所以AB的中点坐标为．由勾股定理得AB2=，所以A．B两点间的距离公式为．

注：上述公式对A．B在平面直角坐标系中其它位置也成立．

解答下列问题：

如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A．B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．

（1）求A．B两点的坐标及C点的坐标；

（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；

（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

答案解析

一       、选择题

1.【考点】有理数的混合运算

【分析】由题可知，孩子出生的天数的五进制数为132，化为十进制数即可．

解：根据题意得：孩子出生的天数的五进制数为132，

化为十进制数为：132＝1×52＋3×51＋2×50＝42．

故选：B．

【点评】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制．

2.【考点】抽样调查的可靠性．

【分析】利用抽取的样本得当，能很好地反映总体的情况可对各选项进行判断．

解：为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人，这种抽取老人的方法最合适．

故选D．

【点评】本题考查了抽样调查的可靠性：抽样调查是实际中经常采用的调查方式．如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的调查）．　

3.【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法

【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法及幂的乘方逐一计算即可判断．

解：A．a3+a3=2a3，此选项不符合题意；

B、a8÷a2=a6，此选项符合题意；

C、a2•a3=a5，此选项不符合题意；

D、（﹣a2）3=﹣a6，此选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法及幂的乘方．

4.【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】利用十字相乘法因式分解即可．

解：x2﹣2x﹣24＝0，

（x﹣6）（x+4）＝0，

x﹣6＝0或x+4＝0，

解得x1＝6，x2＝﹣4，

故选：B．

【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．

5.【考点】由三视图判断几何体

【分析】由已知三视图得到几何体是圆锥．

解：由已知三视图得到几何体是以圆锥，

故选：A．

【点评】本题考查了几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解答的关键．

6.【考点】由实际问题抽象出二元一次方程

【分析】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分”列出方程．

解：设圆圆答对了x道题，答错了y道题，

依题意得：5x﹣2y+（20﹣x﹣y）×0=60．

故选：C．

【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程．关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：本题中的等量关系之一为：答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量=20，避免误选B．

7.【考点】平行线的性质；等边三角形的性质．

【分析】利用平行线的性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质求解。

：解：如图，延长AC交直线m于D，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠3=60°﹣∠1=60°﹣20°=40°，

∵l∥m，

∴∠2=∠3=40°．

故选C．

【点评】做辅助线是解题的关键。

8.【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定

【分析】由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=12cm，AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BEA=∠BAE，

∴BE=AB=8cm，

∴CE=BC﹣BE=4cm；

故答案为：C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

9.【考点】垂径定理的应用．

【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．

解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，

∵CD=8，OD=13，

∴OC=5，

又∵OB=13，

∴Rt△BCO中，BC==12，

∴AB=2BC=24．

故选：C．

【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．　

10.【考点】平行线的性质，直角三角形的性质

【分析】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．

解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，

又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，

∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．

故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．

二       、填空题

11.【考点】有理数的加法，数学常识

【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可．

解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，

∴第一列第三个数为：15﹣2﹣5＝8，

∴m＝15﹣8﹣3＝4．

故答案为：4

【点评】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键．

12.【考点】平行线的性质，三角形的外角性质

【分析】根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．

解：∵DC∥OB，

∴∠ADC=∠AOB=38°，

由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，

∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，

故答案为：76°．

【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．

13.【考点】由三视图解决实际问题

【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可．

解：过点E作EQ⊥FG于点Q，

由题意可得出：EQ=AB，

∵EF=8cm，∠EFG=45°，

∴EQ=AB=×8=4（cm）．

故答案为：4．

【点评】此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出EQ=AB是解题关键．

14.【考点】三角形的重心；勾股定理

【分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．

解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，

∴BD=BC=2，AE=AC=，点O为△ABC的重心，

∴AO=2OD，OB=2OE，

∵BE⊥AD，

∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，

∴BO2+AO2=4，BO2+AO2=，

∴BO2+AO2=，

∴BO2+AO2=5，

∴AB==．

故答案为．

【点评】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．

15.【考点】勾股定理,圆周角定理,点与圆的位置关系

【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．

解：如图： 以为半径作圆，过圆心作，

以为圆心为半径作圆，则点在圆上，

,

线段长度的最小值为: ．

故答案为：．

【点评】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．

三       、解答题

16.【考点】分式的乘除法，解一元一次不等式组

【分析】（1）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案，

（2）分别解不等式进而得出不等式组的解．

解：（1）原式＝×（m﹣1）

＝，

（2），

解①得：x＞﹣2，

解②得：x≤3，

所以这个不等式组的解集为：

﹣2＜x≤3．

【点评】此题主要考查了分式的乘除运算以及不等式组的解，正确掌握解题方法是解题关键．

17.【考点】条形统计图

【分析】（1）根据“频率=频数÷总数”求解可得；

（2）根据频数分布表即可补全条形图；

（3）用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得．

解：（1）总人数为40÷0.4=100人，

a=25÷100=0.25、b=100×0.15=15，

故答案为：100、0.25、15；

（2）补全条形图如下：

（3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15=90人．

【点评】此题主要考查了条形统计图的应用以及利用样本估计总体，根据题意求出样本总人数是解题关键．

18.【考点】解直角三角形

【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．

解：==，理由为：

过A作AD⊥BC，BE⊥AC，

在Rt△ABD中，sinB=，即AD=csinB，

在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，

∴csinB=bsinC，即=，

同理可得=，

则==．

【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

19.【考点】相似三角形的判定与性质．.

【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；

（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．

（1）证明：∵CD是边AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∵=．

∴△ACD∽△CBD；

（2）解：∵△ACD∽△CBD，

∴∠A=∠BCD，

在△ACD中，∠ADC=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠BCD+∠ACD=90°，

即∠ACB=90°．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．

20.【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点问题

【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当时，，而当时，，求出的值；补全图象；

（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；

（3）由图象的对称性，和四边形的面积与的关系，得出答案．

解：（1）当时，，而当时，，

，

故答案为：1；补全图象如图所示：

（2）根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；

（3）如图，

①由，两点关于轴对称，由题意可得四边形是平行四边形，且，

②同①可知：，

③，

故答案为：4，4，．

【点评】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．

21.【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线

【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．

解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．

理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，

∴CD=DA=DB，

∴∠DAC=∠DCA，

∵A′C∥AC，

∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，

∴∠DA′E=∠DEA′，

∴DA′=DE，

∴△A′DE是等腰三角形．

∵四边形DEFD′是菱形，

∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，

∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′，

∵CD∥C′D′，

∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC，

在△A′DE和△EFC′中，

，

∴△A′DE≌△EFC′．

【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

22.【考点】三角形综合题．

【分析】（1①）当0≤a≤2时，DE＝AD，即：h＝a，当h＝1时，在0≤a≤2和2＜a≤4各有一个自变量a与之对应，

②连线分别是两条线段，

③根据函数的定义判断，

（2）①阴影部分面积分别是等腰直角三角形，边长分别是a和4﹣a，进而求得结果，

②分别代入①中的两个函数关系式，求得结果．

解：（1）①从图1中，当a＜2时，△ADE是等腰直角三角形，

∴DE＝AD＝1.5，

从图2，当h＝1时，横坐标a对应1或3，

故答案为：1.5，1或3，

②如图，

③当自变量a变化时，h随之变化，当a确定时，h有唯一一个值与之对应，所以h是a的函数，

当自变量h确定时，a有两个值与之对应，所以a不是h的函数，

故答案为A，

（2）①当0≤a≤2时，DE＝AD＝a，

S△ADE＝AD•DE＝，

当2＜a≤4时，DE＝AB﹣AD＝4﹣a，

∴S＝＝，

∴S＝，

②当S＝时，当0≤a≤2时，

＝，

∴a1＝1，a2＝﹣1（舍去），

当2＜≤4时，

＝，

∴a3＝3，a4＝5（舍去），

综上所述：当S＝时，a＝1或3．

【点评】本题考查了函数定义，函数图象，等腰三角形性质，分类思想等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关函数的基础知识．

23.【考点】二次函数综合题

【分析】（1）根据y=2x+2与抛物线y=2x2交于A．B两点，直接联立求出交点坐标，进而得出C点坐标即可；

（2）利用两点间距离公式得出AB的长，进而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；

（3）点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，利用A，C点坐标得出H点坐标，进而得出CG=AH，求出即可．

（1）解：由，

解得：，．

则A，B两点的坐标分别为：A（，3﹣），B（，3+），

∵P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（，3），

又∵PC⊥x轴交抛物线于C点，将x=代入y=2x2中得y=，

∴C点坐标为（，）．

（2）证明：由两点间距离公式得：

AB==5，PC=|3﹣|=，

∴PC=PA=PB，

∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，

∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，

∴△ABC为直角三角形．

（3）解：过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，

则H点的坐标为（，3﹣），

∴S△PAC=AP•CG=PC•AH，

∴CG=AH=|﹣|=．

又直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG，

∴直线l与l′之间的距离为．