2023年中考考前最后一卷：数学（湖南长沙卷）（参考答案）

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2023年中考考前最后一卷   数学·参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）12345678910CBACDCBBAB二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．x≥1．  12．（﹣2，﹣4）．  13．20°．  14．﹣．  15．5．  16．π﹣．三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解：原式＝1﹣﹣×1+··············4分＝1﹣﹣+··············5分＝；··············6分18．（6分）解：原式＝（1﹣）•＝（﹣）•＝•＝a﹣1，··············4分∵a＝0，a＝±1时分式无意义，∴可以取a＝2，当a＝2时，原式＝2﹣1＝1．···············6分19．（6分）解：（1）40，144°；··············2分（2）C组人数为：40﹣4﹣16﹣12＝8（人），补全条形统计图如下：··············3分（3）560人；··············4分（4）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为女生的结果有2种，∴选出的2名学生恰好为女生的概率为．··············6分20．（8分）解：如图，过点A作AE⊥BC于E，则AE＝CD＝30m，··············1分在Rt△ABE中，∠BAE＝45°，AE＝30m，∴BE＝AE＝30m，··············3分在Rt△ACE中，∠CAE＝37°，AE＝30m，∴CE＝tan37°×AE≈0.75×30＝22.5（m），··············6分∴BC＝BE+CE＝52.5（m），··············7分答：这栋楼的高度大约为52.5m．··············8分21．（8分）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝CB﹣BE，∴AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，∵AG＝CH，∴AE﹣AG＝CF﹣CH，∴EG＝FH．··············4分（2）解：∵FG⊥AE，∴∠AGF＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠AEB＝∠CFD，∵∠AEB＝∠FAG，∠CFD＝∠ECH∴∠AEB＝∠FAG＝∠CFD＝∠ECH，∴∠AEB+∠AFG＝∠FAG+∠AFG＝∠CFD+∠AFG＝∠ECH+∠AFG＝90°，∴与∠AFG互余的角有∠AEB、∠FAG、∠CFD、∠ECH．··············4分22．（9分）解：（1）证明：连接OE，BE，··············1分∵DE＝EF，∴＝，∴∠OBE＝∠DBE，···············2分∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠OEB＝∠DBE，·············3分∴OE∥BC，∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴BC⊥AC，··············4分∴∠C＝90°；··············5分（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，∴AB＝5，··············6分设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，··············7分∴r＝，··············8分∴AF＝5﹣2×＝．··············9分23．（9分）解：（1）设每个小灯泡的价格是x元，则每个小电动机的价格是（12﹣x）元，·····1分根据题意得：＝×2，··············3分解得：x＝3，经检验，x＝3是所列方程的解，且符合题意，··············4分∴12﹣x＝12﹣3＝9．··············5分答：每个小灯泡的价格是3元，每个小电动机的价格是9元；（2）设购买m个小灯泡，则购买（90﹣m）个小电动机，根据题意得：m≤（90﹣m），··············7分解得：m≤30．··············8分设购买小灯泡和小电动机的总费用为w元，则w＝3m+9（90﹣m），即w＝﹣6m+810，∵﹣6＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝30时，w取得最小值，最小值＝﹣6×30+810＝630，此时90﹣m＝90﹣30＝60．·····9分答：更省钱的购买方案为：购买30个小灯泡，60个小电动机，总费用的最小值为630元．24．（10分）（1）解：补全图形如图所示：··············2分（2）证明：∵∠BDC＝90°，∴∠DCF+∠DFC＝90°，∵EM⊥EF，∴∠EMF+∠EFM＝90°，∵∠EFM＝∠DFC，∴∠EMF＝∠DCF；··············5分（3）解：结论：AC2+BM2＝MC2．理由：延长ME到G使EG＝EM，连接AG、CG．在△AGE和△BME中，，∴△AGE≌△BME（SAS），∴BM＝AG，BM∥AG，∵BD⊥AC，∴∠GAC＝∠BDA＝90°，∵CE⊥EM，EM＝EG，∴CE垂直平分MG，∴CG＝CM，在Rt△AGC中，AC2+AG2＝GC2，∴AC2+BM2＝MC2．··············10分25．（10分）解：（1）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3∴A（﹣1，0），B（3，0），综上，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；··············3分（2）过点P作PQ∥AB交BC于点Q，如图，设直线BC的解析式为y＝kx+b，又B（0，3），C（0，3），将两点坐标代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+2m+3），Q（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），∴PQ＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，∵PQ∥AB，∴△POQ∽△ADB△，∴＝＝＝，∵．∴抛物线开口向下，图象有最高点，∴当时，的最大值为；故答案为：；··············6分（3）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OA＝1，OB＝OC＝3，∵∠COB＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，由勾股定理得，，过M作MN⊥x轴于N，则，依题意，0＜xP＜3，设OM的解析式为y＝kx，∵∠OBM是公共角，∴△BOM∽△BAC或△BOM∽△BCA，当△BOM∽△BAC时，，即，解得：，∴，，此时，则，解得，k＝3，∴OM解析式为y＝3x，解3x＝﹣x2+2x+3得：或（不合题意，舍去），当△BOM∽△BCA时，，即，解得，，∴MN＝BN＝2，则ON＝3﹣2＝1，此时M（1，2），则k＝2，∴OM解析式为y＝2x，解2x＝﹣x2+2x+3得或（舍去），综上，P点横坐标为或者时符合题意．··············10分