2023年中考考前最后一卷：数学（内蒙古卷）（参考答案）

2023年中考考前最后一卷【内蒙古卷】

数学·参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

13．﹣1；14．；15．60°　；16．37；17．乙；18. 19．①②③④

三、解答题（本大题共6小题，满分63分）

20．(8分)

（1）300；           -------------------------------------------------------------------------1分

----------------------------------------------2分

（2）2000×＝500，

所以估计该校喜欢“读书沙龙”这项宣传方式的学生约有500人；--------- 4分

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽到B、D的结果数为2，

某班所抽到的两种方式恰好是“演讲比赛”和“图书赠阅”的概率＝＝．----------8分

21．（8分）

【解答】解：（1）∵tan∠ABC＝，

∴∠ABC＝30°；

∵从P点望山脚B处的俯角60°，

∴∠PBH＝60°，

∴∠ABP＝180°﹣30°﹣60°＝90°--------------------------------4分

（2）由题意得：∠PBH＝60°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠ABP＝90°

∴△PAB为直角三角形，

在直角△PHB中，PB＝PH÷sin∠PBH＝（m）．--------------------------------6分

在直角△PBA中，AB＝PB•tan∠BPA＝（m）．

∴A、B两点之间的距离为米． --------------------------------8分

22．（10分）

【详解】（解：（1）当30≤x≤70时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，

，得，

即y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+150（30≤x≤70）；      --------------------------------3分

（2）设该公司的利润为w元，

w＝（x﹣20）（﹣x+150）﹣2500﹣500＝﹣（x﹣85）2+1225，

∵30≤x≤70，

∴x＝70时，w取得最大值，此时w＝1000，

答：公司第一年即可盈利，那么该商品的售价为70元/件时，第一年可盈利最大，此时最大利润是1000万元；----------------------------------------------------------7分

（3）在第一年盈利最大时，第二年公司重新确定产品定价，能使两年共盈利3500万元，

设第二年产品售价为a元，

1000+（a﹣20）（﹣a+150）﹣500＝3500，

解得，a1＝50，a2＝120（舍去），

答：第二年产品的售价定为50元．           --------------------------------10分

23．（12分）

【详解】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝∠ACD＝90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AB＝AC，

∴BE＝CE；            -----------------------------------------------------------------------------------4分

（2）四边形BFCD是菱形．

证明：∵AD是直径，AB＝AC，

∴AD⊥BC，BE＝CE，

∵CF∥BD，

∴∠FCE＝∠DBE，

在△BED和△CEF中，

，

∴△BED≌△CEF（ASA），

∴CF＝BD，

∴四边形BFCD是平行四边形，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴BD＝CD，

∴四边形BFCD是菱形；-----------------------------------------------------------------------------------8分

（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，

∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，

∴△AEC∽△CED，

∴＝，

∴CE2＝DE•AE，

设DE＝x，

∵BC＝8，AD＝10，

∴42＝x（10﹣x），

解得：x＝2或x＝8（舍去）

在Rt△CED中，CD＝＝＝2．----------------------------------12分

24．（12分）

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴∠ADF+∠APD＝90°，

∵∠APD＝∠BPE，

∴∠ADF+∠BPE＝90°，

∵BE⊥DP，

∴∠BEP＝90°，

∴∠ABE+∠BPE＝90°，

∴∠ABE＝∠ADF，

∵DF＝BE，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE＝AF；                    ----------------------------------------------------------------------4分

（2）证明：如图2，

过点A作AG⊥AE交PD的延长线于G，

∴∠EAG＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∵BE⊥DP，

∴∠BED＝90°，

∴∠AEB+∠ADP＝180°，

∵∠ADG+∠ADP＝180°，

∴∠ABE＝∠ADG，

∵∠BAD＝∠EAG＝90°，

∴∠BAE＝∠DAG，

∴△ABE≌△ADG（ASA），

∴BE＝DG，AE＝AG，

∴EG＝AE，

∵EG＝DE+DG＝DE+BE，

∴BE+DE＝AE；----------------------------------------------------------------------8分

（3）解：DE＝AE+2BE；

证明：如图3，

过点A作AH⊥AE交DP于H，

∴∠EAH＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°＝∠EAH，

∴∠BAE＝∠DAH，

同（1）的方法得，∠ABE＝∠ADH，

∴△ABE∽△ADH，

∴＝＝，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，

∵，

∴＝，

∴AH＝2AE，DH＝2BE，

在Rt△EAH中，根据勾股定理得，AE2+AH2＝EH2，

∴AE2+（2AE）2＝EH2，

∴EH＝AE，

∴DE＝EH+DH＝AE+2BE．----------------------------------------------------------------------12分

25．（13分）

【解答】解：（1）∵OA＝1，OB＝3，

∴A（1，0）、B（0，3），

将点A，B坐标代入抛物线的解析式y＝ax2﹣x+c，得，

解得：a＝﹣，c＝3，

∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3，

令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，解得x＝﹣4或x＝1，

∴C（﹣4，0）．     ----------------------------------------------------------------------3分

（2）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积，理由为：

设点P的坐标为P（m，n），

∵S△ACB＝×5×3＝，S△ACP＝×5×|n|，

∴×5×|n|＝，n＝±3．

∴当n＝3时，﹣m2﹣m+3＝3，解得m1＝0，x2＝﹣3，即P（﹣3，3）或（0，3）．

当n＝﹣3时，﹣m2﹣m+3＝﹣3，解得m1＝，m2＝，即P 2（，﹣3），P3（，﹣3）

综上所述：P的坐标为（﹣3，3）或（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3） ----8分

（3）在平面直角坐标系xOy中存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形，理由为：

∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，

∴BC＝AC＝5，

当BQ平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，

∴BQ＝AC＝BC＝5，

∵BQ∥AC，

∴点Q到x轴的距离等于OB＝3，

∴点Q的坐标为（5，3），

当点Q在第二、三象限时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，

则当点Q的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形． --------------13分