2023年山东省菏泽市牡丹区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省菏泽市牡丹区中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，如果，那么下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  神奇的自然界中处处蕴含着数学知识，如图，动物学家发现翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为，这体现了数学中的(    )

A. 平移
B. 旋转
C. 轴对称
D. 黄金分割

4.  如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某几何体的主视图是矩形，则这个几何体可能是(    )

A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球

6.  一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋双，该款的各种尺码鞋销售量如图所示．鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7.  已知双曲线与直线交于，两点．若，则的值是(    )

A.  B. 正数 C. 负数 D. 随的变化而变化

8.  如图，一根长米的钢管斜靠在墙上，它的底端与墙角相距米，当钢管的顶端下滑米时，底端随之向右滑行米，能反映随变化的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  粮食是人类赖以生存的重要物质基础国家统计局今天公布的中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报显示，年全年粮查产量再创新高，达万吨，比上年增加万吨，增产，数据“万吨”用科学记数法表示为______ 吨

10.  分解因式：          ．

11.  如图，以点为位似中心，将放大后得到，，，那么与的面积之比为______ ．

12.  公元前世纪，古希结科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂，当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂：与的积为定值；随的增大而减小；当为时，撬动石头至少需要的力；关于的函数图象位于第一、第三象限，上面四种说法错误的是______ ．

13.  如图，已知矩形的三个顶点的坐标分别为、，，按以下步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交边于点，则点的坐标为______ ．

14.  如图，已知小正方形的面积为，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形如图；以此下去，则正方形的面积为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
先化简再求值：，其中、是一元二次方程的两个根．

17.  本小题分
如图，在中，，为的中点，，．
求证：四边形是菱形；
连接，若，是等边三角形，求的长．

18.  本小题分
小明和他的学习小组开展“测量樟树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：

请你根据以上测量报告中的数据，求樟树的高度结果精确到米

19.  本小题分
第届菏泽国际牡丹文化旅游节与菏泽市文化旅游发展大会将于月日在菏泽会盟台会议中心隆重开幕．为配合菏泽“牡丹花会”，花农孙老伯培育了甲、乙两种牡丹各若干株．如果培育甲、乙两种牡丹各一株，那么共需成本元；如果培育甲种牡丹株和乙种牡丹株，那么共需成本元．
求甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为多少元？
市场调查显示，甲种牡丹的市场售价为每株元，乙种花木的市场售价为每株元．孙老伯决定在将成本控制在不超过元的前提下培育两种牡丹，并使总利润不少于元．若孙老伯培育的乙种花木的数量比甲种牡丹的数量的倍少株，请问孙老伯应该培育甲、乙两种牡丹各多少株？

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点坐标为，点是的中点，反比例函数的图象经过点，交于点．
求反比例函数的表达式；
若反比例函数图象上的一个动点在正方形的内部含边界，求面积的最小值．

21.  本小题分
为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表

请根据以上信息，回答下列问题：
抽取的学生共有______人，其中参加围棋社的有______人；
若该校有人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
某班有男女共名学生参加足球社，现从中随机抽取名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．

22.  本小题分
如图，为的直径，点、点为上异于、的两点，连接，过点作，交的延长线于点，连接、．
若，求证：是的切线．
若的半径为，，求的长．

23.  本小题分
点是正方形所在平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得线段，连接，．

如图，当在边上时，直接写出与之间的关系是______；
如图，当在正方形内部时，与之间有怎样的关系？请说明理由；
射线交于，若四边形是正方形，，，直接写出______．

24.  本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
求抛物线的解析式；
是直线上方抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；
是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
、互为相反数，
到原点的距离小于到原点的距离，
，故A选项不符合题意；
取绝对值较大的数的符号，
，故B选项符合题意；
，
，故C选项不符合题意；
，
、互为相反数，
，故D选项不符合题意．
故选：．
由可以得出、互为相反数，从而得出，即可作出判断．
本题主要考查数轴的性质，关键是要牢记数轴上的点从左到右依次增大，到原点的距离越小的数的绝对值越小．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据合并同类项法则，，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据同底数幂的乘法，，那么B正确，故B符合题意．
C.根据积的乘方与幂的乘方，，那么C错误，故C不符合题意．
D.根据完全平方公式，，那么D错误，故D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、合并同类项法则解答即可．
本题主要考查同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方、合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、合并同类项法则是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为，
又黄金分割比为：，
蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为，这体现了数学中的黄金分割，
故选：．
利用黄金分割比的意义解答即可．
本题主要考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
先根据平行线的性质求得的度数，再根据角的和差关系求得结果．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质求得．
 

5.【答案】 

【解析】解：某几何体的主视图是矩形，则这个几何体可能是圆柱．
故选：．
主视图是从物体正面看所得到的图形．某几何体的主视图是矩形，结合选项易判断这个几何体可能是圆柱．
本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．
 

6.【答案】 

【解析】解：由表中数据知，这组数据的众数为，
所以影响店主决策的统计量是众数，
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得方程的两个根为，．
，
，
，即，
直线为，
双曲线与正比例函数的图象交于，两点．
，关于原点对称，
，
故选：．
由题意得方程的两个根为，，根据根与系数的关系以及，即可判断、关于原点对称，从而得出．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，把函数问题转化成一元二次方程的问题是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，米，米，
根据勾股定理得：米，
若下滑米，米，
根据勾股定理得：，
整理得：，
当时，；当时，，且不是直线变化的，
故选：．
在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而表示出点下滑时与的长，确定出与的关系式，即可做出判断．
此题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，列出与的函数解析式．
 

9.【答案】 

【解析】解：万．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
 

11.【答案】： 

【解析】解：以点为位似中心，将放大后得到，
∽，
．
即与的面积之比为：．
故答案为：：．
利用位似性质得到∽，然后根据相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意知，，则，，
与的积为定值，正确，故不符合要求；
，
随的增大而减小，正确，故不符合要求；
当，，正确，故不符合要求；
由题意知，关于的函数图象位于第一象限，错误，故符合要求；
故答案为：．
由题意知，，则，根据反比例函数的图象与性质，反比例函数的实际应用对各说法进行判断即可．
本题考查了反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

13.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
，
、，，
，，
四边形为矩形，
，，
在中，
，
，
，
在中，，
点坐标为．
故答案为：．
利用基本作图得到，再根据矩形的性质得，，通过余弦定义求出，则，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到点坐标．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：小正方形的面积为，
正方形为：，
正方形为：，
正方形为：，
；
正方形为：，
则正方形的面积为：，
故答案为：．
先分别计算前几个正方形的面积，找到规律，再代入计算．
本题考查了图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】根据二次根式的乘除法计算法则，特殊角三角函数值的计算法则求解即可．
本题主要考查了二次根式的混合计算，特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式


，
、是一元二次方程的两个根，
、，
原式． 

【解析】先根据根与系数的关系求出、的值，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把、的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，一元二次方程根与系数的关系，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

17.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
在中，为的中点，
．
四边形是菱形．
解：是等边三角形，
，
四边形是菱形，
；
，
； 

【解析】先根据题意证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，即可求证结论；
由是等边三角形及菱形的性质，证明，根据解直角三角形可求解答案．
本题主要考查菱形的判定和性质以及等边三角形的性质，涉及到直角三角形斜边中线性质，特殊三角函数值，解题的根据是熟练掌握菱形的判定和性质以及等边三角形的性质的运用．
 

18.【答案】解：如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
，，
在中，斜坡的坡度，米，
设米，则米，
米，
，
，
米，米，
米，米，
米，
在中，，
米，
米，
答：樟树的高度约为米． 

【解析】过点作于点，则四边形是矩形，得，，由坡度的概念和勾股定理得米，米，则米，米，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：设甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为元、元．
根据题意，得，
解之得，
答：甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为元和元．
设孙老伯培育甲种牡丹株，则孙老伯培育乙种牡丹株株．
根据题意，得，
解之得，
或．
答：孙老伯应该培育甲种花木株、乙种花木株或甲种花木株、乙种花木株． 

【解析】设甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为元、元，根据每株成本乘以株数，把两种牡丹的成本相加得总成本，列二元一次方程组求解即可；
设孙老伯培育甲种牡丹株，则孙老伯培育乙种牡丹株株，然后根据题意列出不等式组即可求解．
本题综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，根据实际问题准确找出等量关系是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：点坐标为，
，，
是的中点，
点的坐标是，
把点代入得，
反比例函数解析式为；
四边形是正方形，点的坐标是，，
点的坐标是，
当时，；
点的坐标是，
反比例函数图象上的动点在正方形的内部含边界，
随的增大而减少，且，
当时，有最小值，
面积的最小值为． 

【解析】先确定点的坐标，再把点的坐标代入中求出得到反比例函数解析式；
利用正方形的性质确定点的坐标为，再利用反比例函数解析式确定点的坐标为，利用反比例函数的性质得到当时，有最小值，然后计算出面积的最小值．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，，然后把一个已知点的坐标代入求出得到反比例函数解析式．也考查了反比例函数的性质和正方形的性质．
 

21.【答案】解：；；
若该校有人，估计全校参加篮球社的学生共有：人；

画树状图如下：

所有等可能出现的结果总数为个，其中抽到一男一女的情况数有个，
恰好抽到一男一女概率为． 

【解析】解：抽取的学生共有：人，
参加围棋社的有：人；
故答案为：；；

若该校有人，估计全校参加篮球社的学生共有：人；

画树状图如下：

所有等可能出现的结果总数为个，其中抽到一男一女的情况数有个，
恰好抽到一男一女概率为．
用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以，即可得出答案．
用树状图表示男女共名学生，现从中随机抽取名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
 

22.【答案】解：连接，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
是的切线．
连接，
，
，
是的直径，
，
，
设，，
，
的半径为，
，
，
． 

【解析】连接，可证明，由于，，所以，，根据切线的判定即可求出答案．
连接，由于，所以，设，，所以，列出方程即可求出的值．
本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理，本题属于中等题型．
 

23.【答案】， 或 

【解析】解：如图，延长交于点，
四边形是正方形，
，，
由旋转得，，
点在边上，
，
，
、、三点在同一条直线上，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：，．
，，
理由：如图，点在正方形内部，延长分别交、于点、点，
四边形是正方形，
，，
由旋转得，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
．
如图，四边形是正方形，且点在正方形内部，
，，，
，
，
；
如图，四边形是正方形，且点在正方形外部，
，，，
，
，
综上所述，或，
故答案为：或．
延长交于点，由四边形是正方形，得，，由旋转得，即可证明≌，得，，所以，则；
延长分别交、于点、点，先证明≌，得，，再证明，则；
分两种情况，一是点在正方形内部，由勾股定理得，则；二是点在正方形外部，由勾股定理得，则．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

24.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
点，的坐标分别为，，
把点和点代入抛物线，
得：，
解之，得，
抛物线的解析式为．
为定值，
当的面积最大时，点到的距离最大．
如图，过点作轴，交直线于点．

设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，最大．此时点的坐标为．
存在．由抛物线可得对称轴是直线．
是抛物线对称轴上的动点，点的横坐标为．
当为边时，点到点的水平距离是，
点到点的水平距离也是．
点的横坐标是或，点的坐标为或；


当为对角线时，点到点的水平距离是，
点到点的水平距离也是，点的坐标为．

综上所述，在抛物线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
点的坐标是或或． 

【解析】先利用一次函数的性质求出、的坐标，然后把、的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
要求到直线的最大距离，即要求面积的最大值，由此转换成求的面积最大值时点的坐标即可；
分为对角线和边两种情况，利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可．
本题主要考宜了二次函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键．