2023年山东省枣庄市中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省枣庄市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  几何体的三视图如图所示，这个几何体是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线
C. 阿基米德螺旋线 D. 赵爽弦图

5.  北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、独立运行的卫星导航系统，属于国家重要空间基础设施．截止年月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超亿人口，请将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验．甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，，直线分别交，于点，，将一个含有角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  定义运算：若，则，例如，则运用以上定义，计算：(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在正方形中，，是边上的一点，：：将沿对折至，连接，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，，，两点．若，则下列四个结论：；；；，正确结论的个数为  (    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则______

12.  如图，是平面镜，光线从点出发经上点反射后照射到点，若入射角为，反射角为反射角等于入射角，于点，于点，且，，，则的值为______．

13.  、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______．

14.  如图，已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距为______ ．

15.  如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，于点，，则的长度为______ ．

16.  如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点若，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．

19.  本小题分
年月日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．

根据图表信息，解答下列问题：
本次调查的学生总人数为______，表中的值为______；
该校共有名学生，请你估计等级为的学生人数；
本次调查中，等级为的人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

20.  本小题分

年月日是第个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时点是的对应点，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．结果精确到；参考数据：，，

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
求反比例函数和一次函数的解析式；
过点作直线轴，过点作于点，点是直线上一动点，若，求点的坐标．

22.  本小题分
如图，在菱形中，对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
求证：≌；
判定四边形的形状并说明理由．

23.  本小题分
如图，点是以为直径的上一点，点是的延长线上一点，在上取一点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，且．
求证：是的切线；
若点是的中点，，，求的长．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点，且点的坐标为．

求点的坐标；
如图，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
如图，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查绝对值．
根据负数的绝对值等于它的相反数解题即可．
【解答】
解：的绝对值是．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A计算不正确；
B.，故选项B计算正确；
C.，故选项C计算正确；
D.，故选项D计算正确．
故选：．
利用合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘除法则逐个计算，根据计算结果得结论．
本题考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据该组合体的三视图发现该几何体为
．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
考查了由三视图判断几何体的知识，解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地判断空间几何体的形状．
 

4.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是中心对称图形，但不轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：，其中，为正整数．】
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握应用科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意画树状图如图所示，
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中甲乙两名同学恰好在同一岗位体验的情况共有种，
这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为．
故选：．
利用树状图把两名同学体验岗位所有可能的情况都表示出来，然后利用概率公式求解即可．
本题考查了列表法与画树状图法求概率，利用列表或树状图把所有可能的情况都表示出来，再求出所关注的情况数，最后利用概率公式求出．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得到，由等腰直角三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
、，
．
故选：．
先根据乘方确定，根据新定义求出、，然后代入计算即可．
本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接交于点，作于点如图：

，：：．
，．
四边形是正方形．
．
根据折叠性质，，．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
故选：．
连接交于点，作于点，根据已知可求出、的长度，利用面积法求出，再结合折叠性质，找到长度．结合勾股定理建立等式，即可求出最后即可求解．
本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理，面积法求三角形的高等知识．本题关键在于利用勾股定理建立等式，求出边的长度．
 

10.【答案】 

【解析】解：对称轴为直线，，
，正确，
，
，
，
，
，错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
由题意可知时，，
，
，
，
，
，
，
，正确；
抛物线开口向上，与轴的交点在轴下方，
，，
，
，，
，
，
，
，
所以错误；
故选：．
根据二次函数的对称性，即可判断；由开口方向和对称轴即可判断；根据抛物线与轴的交点已经时的函数的取值，即可判断；根据抛物线的开口方向、对称轴，与轴的交点以及，即可判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，
．
点恰好落在的延长线上，
．
故答案为：．
利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，
又，
，
，
同理可得：，
，
，
在和中，
∽，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
先根据平行线的判定与性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定证出∽，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得．
本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：、是方程的根，
，，
，
，
故答案是：．
，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于的一元一次方程，即可解得答案．
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，，
正六边形是圆的内接多边形，
，
，，
，
的周长等于，
，
，
故答案为：．

连接，，由正六边形可求出，进而可求出，根据角的锐角三角函数值即可求出边心距的长．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得．
故答案为：．
由题意得，，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明∽，可得，即，求出，即可得出答案．
本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设与轴交于点，连接、，

四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
故答案为：．
连接、，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，，进而求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简，负整数指数幂计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握是解题的关键．
解：原式

．
 

18.【答案】解：原式

，
解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
不等式组的解集为：，
为整数，
的值为，，，，
，，，，
只能取，
当时，
原式． 

【解析】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，根据分式有意义的条件得到只能取是解题的关键．
先化简分式：小括号内通分，因式分解，除法转化为乘法，约分即可；求出不等式组的解集，得到整数解，再根据分式有意义的条件得到只能取，代入求值即可．
 

19.【答案】解：，  ；
人，
所以估计等级为的学生人数为人；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 

【解析】解：本次调查的学生总人数为人，
所以；
故答案为：；；
人，
所以估计等级为的学生人数为人；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
用等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用除以总人数得到的值；
用乘以等级人数所占的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了统计图．
 

20.【答案】解：，
，
在中，，
，
由题意得：，
，
，
在中，，
此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
 

21.【答案】解：在反比例函数的图象上，
，
其函数解析式为；
在反比例函数的图象上，
，
，
．
，两点在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为：；

直线过点且平行于轴，，，
，，
，
，
点是直线上一动点，
或． 

【解析】先把代入反比例函数求出的值即可得出其函数解析式，再把代入反比例函数的解析式即可得出的值，把，两点的坐标代入一次函数，求出、的值即可得出其解析式；
根据已知确定的长和点的坐标，由可得，从而得点的坐标．
本题是反比例的综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，在解答此题时要注意数形结合思想的运用．
 

22.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中

≌．
解：四边形为矩形．
理由：≌，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
即，
平行四边形为矩形． 

【解析】利用全等三角形的判定定理即可．
先证明四边形为平行四边形，再结合，即可得出结论．
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，如图所示，
，为的直径，
，，
，，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
是的切线；
解：由知，是的切线，
，
，，，
，
即，
解得，
，
，
点为的中点，，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得，
，
即的长是． 

【解析】要证明是的切线，只要证明即可，根据题目中的条件和等腰三角形的性质、直角三角形的性质，可以得到，从而可以证明结论成立；
根据相似三角形的判定与性质和题目中的数据，可以求得和的长，从而可以得到的长．
本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：点在抛物线的图象上，

，
点的坐标为；

过作于点，过点作轴交于点，交于点，如图：
，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
，
直线解析式为，
设，，则，
，
，
当时，最大为，
最大为，即点到直线的距离值最大；

存在，点的坐标为：或或． 

【解析】解：见解析；

见解析；

存在，
理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况：当为平行四边形对角线时，则、的中点重合，
即，
解得，
点的坐标为；
当为平行四边形对角线时，则、的中点重合，
，
解得，
点的坐标为；
当为平行四边形对角线时，则、的中点重合，
，
解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或．

把点的坐标代入，求出的值即可；
过作于点，过点作轴交于点，交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得，再根据二次函数的性质求解即可；
分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时分别求解即可．
本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．