初中数学北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形课后测评

5.3.3简单的轴对称图形(三)

(基础题)

一、填空题

1．(1)已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60°．

(2)在△ABC中，∠A＝∠B＝60°，且AB＝5 cm，则BC＝5cm.

2．(1)如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝CE，则∠BCD＋∠CBE＝60°．

(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC, BC＝5，则△ABC的周长为15．

3．(1)如图，将边长为6 cm的等边△ABC沿BC方向向右平移后得△DEF，DE，AC相交于点G.若线段CF＝4.5 cm，则△GEC的周长是4.5cm.

(2)如图，在△ABC中，BC＝16，BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，OD∥AB，OE∥AC，则△ODE的周长为16．

4．如图，已知直线l∥l2，将等边三角形如图放置．若∠α＝30°，则∠β＝30°．

二、选择题　　　　　　　　

5．如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A，B分别在直线l1，l2上，则∠1＋∠2＝(D)

A．30°    B．40°     C．50°     D．60°

6．如图所示，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是(A)

A．7     B．6     C．5     D．4

7．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为(D)

A．30°      B．20°      C．25°      D．15°

8．下列条件中，不能得到等边三角形的是(D)

A．有两个内角是60°的三角形

B．三边都相等的三角形

C．有一个角是60°的等腰三角形

D．有两个外角相等的等腰三角形

三、解答题

9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．

证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠AED＝∠CFD＝90°.

∵D为AC的中点，∴AD＝DC.

在Rt△ADE和Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌＝Rt△CDF(HL)．

∴∠A＝∠C.∴BA＝BC.

∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC.

∴△ABC是等边三角形．

10．(1)如图，△ABC为等边三角形，AB＝AC，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．求证：AB∥CQ.

证明：∵△ABC和△APQ都是等边三角形，

∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°.

∴∠BAC－∠PAC＝∠PAQ－∠PAC，

即∠BAP＝∠CAQ.

在△ABP和△ACQ中，

∴△ABP≌△ACQ(SAS)．

∴∠ACQ＝∠B＝∠BAC＝60°.

∴AB∥CQ.

(2)如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1.

①求证：AD＝BE；

②求AD的长．

解：①证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°.

在△BAE和△ACD中，

∴△BAE≌△ACD(SAS)．

∴AD＝BE.

②由ΔBAE≌ACD，可知∠ABE＝∠PAE.

∵∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝∠BAP＋∠PAE＝∠BAC＝60°，BQ⊥PQ，

∴∠PBQ＝30°，∴PB＝2PQ＝6.

∴BE＝PB＋PE＝7，∴AD＝BE＝7.

(中档题)

一、填空题

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm, DE＝2 cm，则BC的长为8_cm．

12．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值为5_cm．

13．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：

①AE＝CD；②BF＝BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC＝60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD.

其中正确的有6个．

二、解答题

14．如图，过边长为2的等边三角形的边上一点P作PE⊥AC于点E，Q是BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于点D，求DE的长．

解：过点P作PF∥BC交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，

∴△APF为等边三角形．

∴PF＝AP.

又∵PE⊥AF，∴AE＝EF.

又∵AP＝CQ，∴PF＝CQ.

∵PF∥BC，∴∠FPD＝∠CQD.

在△PFD和△QCD中，

∴△PFD≌△QCD(AAS)．

∴FD＝CD.∴DE＝EF＋FD＝AF＋CF＝AC.

∵AC＝2，∴DE＝1.

(综合题)

15．如图，△ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.求证：AE＝EF.

证明：在AB上截取AG＝CE，连接EG.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°

又∵AG＝CE，∴BG＝BE.

∴△BEG是等边三角形．

∴∠BGE＝60°.∴∠AGE＝120°.

∵CF平分∠ACD，

∴∠ACF＝(180°－∠ACB)＝60°.

∴∠ECF＝120°.∴∠AGE＝∠ECF.

∵∠AEC＝∠B＋∠GAE＝∠AEF＋∠CEF，

且∠AEF＝∠B＝60°，

∴∠GAE＝∠CEF.

又∵AG＝EC，∴△AGE≌△ECF(ASA)．

∴AE＝EF.