2022-2023学年浙江省温州外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省温州外国语学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式有意义，则下列实数中，可以取的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，将▱的一边延长至点，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如果多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  八年级六位数学老师今年的年龄分别为，，，，，，则年前这六位老师的年龄数据中一定不会改变的是(    )

A. 方差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数

6.  用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  数据，，，，，，的平均数为，则数据，，，，，，的平均数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在中，点，分别在边，上，且：；，：：，以，为邻边作平行四边形，若平行四边形的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  已知一组数据的方差为，则这组数据的标准差为______ ．

12.  当时，二次根式的值是______ ．

13.  已知平行四边形的最大角比最小角大，则它的最小角是______

14.  已知一元二次方程的两个解分别为，，则的值是______ ．

15.  由于换季，原售价为元的某种服装连续两次降价处理，现按元的价格销售，设平均每次降价的百分率为，则可列方程______ ．

16.  若，则的值是______ ．

17.  如图，在▱中，，以为斜边作等腰，点在内部，点为边的中点若，，则 ______ ．

18.  如图，中，，，，在边上取点使，点为射线上任意一点，以，为邻边做▱，则线段的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
解方程．

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请回答下列问题：
以为对称中心，画出与成中心对称的；
在第一象限内存在点，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，画出该平行四边形，并求出，之间的距离．

21.  本小题分
如图，在▱中，过中点的直线分别交，的延长线于点，．
求证：；
连结，若，，的周长为，求▱的周长．

22.  本小题分
在学校组织的趣味知识测试中，从七、八年级分别任意抽取名学生的测试成绩如下，经整理、分析获得数据分析表：满分为分
七年级：，，，，，，，，，
八年级：，，，，，，，，，
七八年级抽取的学生的成绩统计表：

求表中，的值；
根据数据分析表中所提供的统计量判断哪个年级的成绩较好？说明理由．

23.  本小题分

24.  本小题分
如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且．
求证：四边形是平行四边形；
连结，若，，，求四边形的面积；
如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，
解得，
即可以取的值是．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：平行四边形的，
，
．
故选：．
根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于列式计算即可得解．
本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：多边形的边数是：．
故选：．
根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：八年级六位数学老师今年的年龄分别为，，，，，，
年前这六位老师的年龄数据会改变的是平均数、众数和中位数，不会改变的是方差．
故选：．
根据平均数，中位数，众数以及方差的意义分别进行分析，即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，众数以及方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
故选：．
移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，，，，
又数据，，，，，，的平均数为，
数据，，，，，，的平均数为．
故选：．
根据算术平均数的概念求解可得．
本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即，
，
，
的最小值是，
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，进而即可得出，根据二次函数的性质即可求得的最小值是．
此题主要考查了一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无解；也考查了二次函数的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有一个根是，
，
在等式的两边同时除以得：，
方程有一个根是．
故选：．
利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，过点作于点，如图，

设，，
：；，
，
，，
，
∽，
，
．
平行四边形的面积为，
，
．
的面积为．
故选：．
过点作于点，过点作于点，设，，利用相似三角形的判定与性质求得，利用三角形、平行四边形的面积公式和整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的面积，平行四边形的面积，添加平行四边形和三角形的高线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：数据的方差是，
这组数据的标准差是；
故答案为：．
根据标准差是方差的算术平方根，即可得出答案．
本题考查了标准差，关键是掌握标准差和方差的关系，标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，二次根式．
故答案为：．
直接把的值代入进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
，，
最大角，最小角．
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，，由四边形内角和定理得出，再由已知条件即可得出，，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、四边形内角和定理；熟练掌握平行四边形的对角相等的性质是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两个解分别为，，
，，



．
．
故答案为：．
根据根与系数的关系得到，，然后变形得到，再利用整体思想进行计算．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．解答该题时，也可以结合分式的值为零的条件进行解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
解得：，，
．
故答案为：．
直接利用非负数的性质得出，的值，进而代入得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：延长交于点，
，
，
在等腰中，，，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
为边的中点，
是的中位线，
，
，，
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
延长交于点，根据等腰直角三角形的性质可得，，进一步可得，，易证≌，
根据全等三角形的性质可得，，可知是的中位线，根据三角形中位线定理，可得的长，根据勾股定理，求出的长，再根据平行四边形的性质可得的长．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，，与交于点，取的中点，的中点，作射线，过点作，垂足为，如图所示：
在平行四边形中，，，
点为射线上任意一点，
点在射线上，
当取得最小值时，取得最小值，
即当点与点重合时，取得最小值，
此时，
，，，
设，
则，
根据勾股定理，得，
解得，
，
为的中点，为的中点，
为的中位线，，
，
，
，
，
，
，
，，，
根据勾股定理，得，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
的最小值为，
故答案为：．
连接，，与交于点，取的中点，的中点，作射线，过点作，垂足为，根据平行四边形的性质可知点在射线上，当取得最小值时，取得最小值，即当点与点重合时，取得最小值，此时，设，则，根据勾股定理，求出的值，再进一步求出的长，在中，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，本题综合性较强，找出点的运动轨迹是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
，
，
或，
所以，． 

【解析】先进行乘方运算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
 

20.【答案】解：如图，即为所求．
如图，平行四边形即为所求．
设，之间的距离为，
平行四边形的面积为，
，
，
解得，
，之间的距离为． 

【解析】根据中心对称的性质作图即可．
在第一象限取格点，使且即可；设，之间的距离为，利用割补法可求得平行四边形的面积为，由勾股定理得，即可得，求出的值即可．
本题考查中心对称、平行四边形的判定与性质，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：连接，

，，
垂直平分，
，
的周长为，
，即，
，
▱的周长为． 

【解析】依据平行四边形的性质，即可得出≌，依据全等三角形的性质，可得，即可得到；
依据垂直平分，即可得出，再根据的周长为，即可得到，则，进而得到▱的周长．
本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

22.【答案】解：把七年级这名同学的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，，
则中位数，
出现了次，出现的次数最多，
众数．

七年级的成绩较好，因为七年级的平均数更高，方差更小，成绩更稳定． 

【解析】根据众数和中位数的定义即可得出答案；
从平均数和方差两个方面进行分析，即可得出答案．
本题考查了众数，中位数以及方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

23.【答案】解：任务由题意得：，
，
．
设，则，
矩形的面积为三角形面积的，
，
化简得，
解得：或，
矩形的边长为，，
周长为；
任务由题意得：，，
，，
．
设，则，
矩形的面积为三角形面积的，
，
整理得：．
，
方程无实数根，
乙同学的方案不能实现；
任务图方案：，
当时，矩形的面积最大为；
图方案：，
当时，面积最大为，
长方形纸片面积的最大值为． 

【解析】任务设，则，依据题意列出方程求得值，再利用正方形的周长公式解答即可；
任务设，则，依据题意列出方程，通过计算，方程没有实数根，说明乙同学的方案不能实现；
任务利用配方法，分别求得两个方案中的面积的最大值即可得出结论．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，配方法，二次函数的性质，函数的极值，利用配方法解答是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
点是边的中点，
，
，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：如图，过点作于点，

，，，
，，
，
四边形的面积；
解：如图，当点落在的边上时，

由题意可知：是的中点，
，
在平行四边形中，，
，，
≌，
，
；
如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点，

同理可证≌，
，，
是的中位线，
，，，，
在中，．
综上所述：的值为或． 

【解析】证明≌，得，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论；
如图，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质和含度角的直角三角形的性质求出，的值，即可解决问题；
结合分两种情况讨论：如图，当点落在的边上时，如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点，分别画图进行计算即可．
本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是分类讨论解决问题．