数学（江苏苏州卷）2023年中考考前最后一卷（参考答案）

2023年中考考前最后一卷【江苏苏州卷】

数学·参考答案

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9．                                 10．

11．/                    12．4

13．                                14．

15．                         16．4

三．解答题（共11小题，共82分）

17．2

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，再合并得出答案．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查实数的综合运算能力，属于基础题，解决本题的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

18．不等式组的解集为：．它的正整数解为：1，2．

【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．

【详解】解：，

不等式①的解集为：．

不等式②的解集为：．

∴不等式组的解集为：．

∴不等式组的的正整数解为：1，2．

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．

19．，时，原式或时，原式

【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再从中选取一个使原分式有意义的数代入计算即可．

【详解】解：

，

x的解集为，

∴其中整数解有，、0和1，

∵，

时，原式或时，原式．

【点睛】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．

20．见解析

【分析】根据，先证出，利用得到，由此证明，得到，由此推出，．

【详解】证明：∵，

∴，即

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；

（2）根据列表法求概率即可求解．

【详解】（1）解：依题意，内容有四项，该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是，

故答案为：．

（2）解：列表如下，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．

共有16种等可能结果，其中符合题意的有1种，

∴该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率为

【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．

22．(1)40，25

(2)这组数据的众数为3，中位数为3，平均数是3

(3)该校1200名学生中这周参加家务劳动次数大于3的人数约为390人

【分析】（1）根据劳动1次的人数及所占百分比可得调查的学生人数，将劳动4次的人数除以总人数可得m的值；

（2）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；

（3）将样本中家务劳动4次和5次的学生人数所占比例的和乘以总人数1200即可．

【详解】（1）由扇形图可知样本中劳动1次的占10%，由条形图可知劳动1次的学生有4人

所以接受抽样调查的学生人数为

由条形图可知劳动4次的学生有10人，故所占比例为

故答案为：40,25；

（2）在这组数据中，3出现了15次，出现的次数最多，

这组数据的众数为3．

将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是3，有，

这组数据的中位数为3．

观察条形统计图，，

这组数据的平均数是3

（3）在40名学生中，这周参加家务劳动次数大于3的人数比例为，

估计该校1200名学生中这周参加家务劳动次数大于3的人数比例的为32.5%，于是，有．

该校1200名学生中这周参加家务劳动次数大于3的人数约为390人．

【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

23．(1)点A到盒底边的距离为厘米；

(2)新造型“盒身”的高度为厘米．

【分析】（1）构造直角三角形，利用勾股定理求得的长，进一步计算即可求解；

（2）利用（1）的结论，结合角和的正弦、余弦，建立方程即可求解．

【详解】（1）解：如图，作垂足为F，

∵是等腰三角形，

∴，∵四边形是矩形，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴点A到盒底边的距离为厘米；

（2）解：如图，作垂足为F，

设，则，，

∵，

∴，

由（1）得，

∴，

解得或3，

当时，，不合题意，舍去；

∴，即新造型“盒身”的高度为厘米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．

24．(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）如图，连接．要证明是的切线，只需推出即可；

（2）先证明，进而得到，由垂径定理推出，在中，，则；

（3）设，则，，在中，由勾股定理得 ，解方程求出，则，在中，，在中，， 则．

【详解】（1）证明：如图，连接．

∵是的直径，

∴．

∵，

∴．

又∵，即，

∴，

∴，即，

∴，

又∵点E在圆上，

∴是的切线；

（2）证明：∵为的直径，

∴，即，

∵，

∴，

∵为的直径，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴；

（3）解：设，则，

∵的半径为5，

∴，

在中，由勾股定理 ，即 ，

解得，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∴．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，等边对等角等等，正确作出辅助线是解题的关键．

25．(1)反比例函数的解析式为，点N的坐标为

(2)点P的坐标为或

【分析】（1）作轴于点E，由点的坐标与图形的性质求得点，代入反比例函数解析式求得该双曲线方程；由点M的坐标易得点B的坐标，再由此设点N的坐标为，代入求得n的值即可；

（2）．设点P的坐标为，由“的面积与四边形的面积相等”可得，由此求得p的值即可．

【详解】（1）解：作轴，由，，可得，．

∴点A的坐标为．

∴反比例函数的解析式为，

由，，

可得点M的坐标为．

由，，

可得．

∴点B的坐标为．

设点N的坐标为，代入中，得．

∴点N的坐标为．

（2）解：

．

设点P的坐标为．

由，得．

∴点P的坐标为或．

【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的面积公式，三角形的面积公式，锐角三角函数的定义以及反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，综合性比较强，但是难度不是很大．

26．(1)；

(2)，；

(3)存在，，，．

【分析】（1）利用待定系数法，分别将、两点坐标代入二次函数表达式，列方程组求解即可；

（2）利用配方法将二次函数一般式化简成顶点式，即可得顶点坐标；连接交轴于点，过点作于点，利用面积法列方程可求的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数求的值即可；

（3）利用相似三角形的性质可得：是直角三角形，且两条直角边之比为，可分三种情况，即分别假设三个角为直角，进行求解即可．

【详解】（1）解：将、代入

，得

二次函数表达式为；

（2）由题意得，

二次函数的顶点式为，

二次函数的图像的顶点的坐标为．

设直线解析式为：，

将、代入得：

，

解得：，

的解析式为：，

设直线与y轴交于E，过点C作点P，

当时，，

点的坐标为，即，

点是二次函数与轴的交点，

当时，，，即，

，

在中，，

解得：，

在中，，

．

（3）存在

与相似，

是直角三角形，且，，

是直角三角形，且两直角边之比为1:2；

分情况讨论如下：

①当时：

．时，

设，，，

则

即

解得：

在中，，

即，

解方程得：，（舍），

过点作轴交轴于点

即

解得：，，

点的坐标为；

．当时，

同理可得：，，

在中，，

即，

解方程得：，（此时点与点重合，不合题意，故舍去），

过点作轴交轴于点

即

解得：，

点的坐标为；

②当时：

过点作轴、轴于点、，

由题意可得：

设，则，

，即，

，解得

即，

，即，

解得：

点的坐标为

③当时：

由题意得：

，即

得，点的坐标为

此时点在线段之外，

故此种情况不满足题意，舍去

点N的坐标为：，，．

【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数、一次函数解析式，锐角三角函数以及相似三角形的存在性问题，要注意分类讨论，避免遗漏．

27．(1)①；②4

(2)，证明见解析

(3)存在，

【分析】（1）①首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题；②首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；

（2）结论：．如图1中，延长到，使得，连接，，首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题；

（3）存在．如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线．连接交于．想办法证明，，再证明即可．

【详解】（1）解：①如图2中，

是等边三角形，

，

，

，

，，

，

，

，

故答案为．

②如图3中，

，，

，

，，

，

，

，

，

故答案为4．

（2）结论：．

理由：如图1中，延长到，使得，连接，，

，，

四边形是平行四边形，

，

，，

，

，

，

，

．

（3）存在．理由：如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线．

连接交于．

，

，

在中，，，，

，，，

在中，，，，

，

，

，

，

，

，，

在中，，，

，

，

，

，

，

，，

，

在和中，

，

，

，

四边形是矩形，

，

，

是等边三角形，

，，

，

，

是的“旋补三角形”，

在中，，，，

．

【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题