2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷【含答案】
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一、选择题(每小题3分,共计30分)
1.﹣的绝对值是( )
A.﹣7 B.7 C.﹣ D.
2.下列运算一定正确的是( )
A.a2•a=a3 B.(a3)2=a5
C.(a﹣1)2=a2﹣1 D.a5﹣a2=a3
3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其主视图是( )
A. B. C. D.
5.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,点B为切点,若AB=8,tan∠BAC=,则BC的长为( )
A.8 B.7 C.10 D.6
6.方程=的解为( )
A.x=5 B.x=3 C.x=1 D.x=2
7.如图,△ABC≌△DEC,点A和点D是对应顶点,点B和点E是对应顶点,过点A作AF⊥CD,垂足为点F,若∠BCE=65°,则∠CAF的度数为( )
A.30° B.25° C.35° D.65°
8.一个不透明的袋子中装有12个小球,其中8个红球、4个黄球,这些小球除颜色外无其它差别,从袋子中随机摸出一个小球,则摸出的小球是红球的概率是( )
A. B. C. D.
9.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,AC=10,则AE的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.周日,小辉从家步行到图书馆读书,读了一段时间后,小辉立刻按原路回家.在整个过程中,小辉离家的距离s(单位:m)与他所用的时间t(单位:min)之间的关系如图所示,则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为( )
A.75m/min,90m/min B.80m/min,90m/min
C.75m/min,100m/min D.80m/min,100m/min
二、填空题(每小题3分,共计30分)
11.火星赤道半径约为3396000米,用科学记数法表示为 米.
12.在函数y=中,自变量x的取值范围是 .
13.已知反比例函数y=的图象经过点(2,﹣5),则k的值为 .
14.计算﹣2的结果是 .
15.把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 .
16.二次函数y=﹣3x2﹣2的最大值为 .
17.不等式组的解集是 .
18.四边形ABCD是平行四边形,AB=6,∠BAD的平分线交直线BC于点E,若CE=2,则▱ABCD的周长为 .
19.一个扇形的弧长是8πcm,圆心角是144°,则此扇形的半径是 cm.
20.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥BC,垂足为点E,过点A作AF⊥OB,垂足为点F.若BC=2AF,OD=6,则BE的长为 .
三、解答题(其中21-22题各7分,23-24题各8分,25-27题各10分,共计60分)
21.先化简,再求代数式(﹣)÷的值,其中a=2sin45°﹣1.
22.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上.
(1)在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度后得到△MNP(点A的对应点是点M,点B的对应点是点N,点C的对应点是点P),请画出△MNP;
(2)在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF(点F在小正方形的顶点上).连接FP,请直接写出线段FP的长.
23.春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动,围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中,你最喜欢哪一种?(必选且只选一种)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图,其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的40%.请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?
(2)请通过计算补全条形统计图;
(3)若春宁中学共有1500名学生,请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名.
24.已知四边形ABCD是正方形,点E在边DA的延长线上,连接CE交AB于点G,过点B作BM⊥CE,垂足为点M,BM的延长线交AD于点F,交CD的延长线于点H.
(1)如图1,求证:CE=BH;
(2)如图2,若AE=AB,连接CF,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外),使写出的每个三角形都与△AEG全等.
25.君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔.若购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元;若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元.
(1)求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元;
(2)君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支,总费用不超过420元,那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔?
26.已知⊙O是△ABC的外接圆,AB为⊙O的直径,点N为AC的中点,连接ON并延长交⊙O于点E,连接BE,BE交AC于点D.
(1)如图1,求证:∠CDE+∠BAC=135°;
(2)如图2,过点D作DG⊥BE,DG交AB于点F,交⊙O于点G,连接OG,OD,若DG=BD,求证:OG∥AC;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接AG,若DN=,求AG的长.
27.在平面直角坐标系中,点O为坐标系的原点,抛物线y=ax2+bx经过A(10,0),B(,6)两点,直线y=2x﹣4与x轴交于点C,与y轴交于点D,点P为直线y=2x﹣4上的一个动点,连接PA.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,当点P在第一象限时,设点P的横坐标为t,△APC的面积为S,求S关于t的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)如图2,在(2)的条件下,点E在y轴的正半轴上,且OE=OD,连接CE,当直线BP交x轴正半轴于点L,交y轴于点V时,过点P作PG∥CE交x轴于点G,过点G作y轴的平行线交线段VL于点F,连接CF,过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q,∠CFG的平分线交x轴于点M,过点M作MH∥CF交FG于点H,过点H作HR⊥CF于点R,若FR+MH=GQ,求点P的坐标.
1.D.
2.A.
3.A.
4.C.
5.D.
6.A.
7.B.
8.D.
9.B.
10.C.
11.3.396×106.
12.x≠.
13.﹣10.
14.2.
15.b(a+5)(a﹣5).
16.﹣2.
17.x<3.
18.20或28.
19.10.
20.3.
21.解:原式•﹣•
=﹣
=﹣
=
=
=,
当a=2sin45°﹣1=2×﹣1=﹣1时,
原式==.
22.解:(1)如图,△MNP为所作;
(2)如图,△DEF为所作;
FP==.
23.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=AD=AB,∠BCD=∠ADC=90°,
∵BM⊥CE,
∴∠HMC=∠ADC=90°,
∴∠H+∠HCM=90°=∠E+∠ECD,
∴∠H=∠E,
在△EDC和△HCB中,
,
∴△EDC≌△HCB(AAS),
∴CE=BH;
(2)△BCG,△DCF,△DHF,△ABF,
理由如下:∵AE=AB,
∴AE=BC=AD=CD,
∵△EDC≌△HCB,
∴ED=HC,
∵AD=CD,
∴AE=HD=BC=AB,
在△AEG和△BCG中,
,
∴△AEG≌△BCG(AAS),
∴AG=BG=AB,
同理可证△AFB≌△DFH,
∴AF=DF=AD,
∴AG=AF=DF,
在△AEG和△ABF中,
,
∴△AEG≌△ABF(SAS),
同理可证△AEG≌△DHF,△AEG≌△DCF.
25.解:(1)设每支A种型号的毛笔x元,每支B种型号的毛笔y元;
由题意可得:,
解得:,
答:每支A种型号的毛笔6元,每支B种型号的毛笔4元;
(2)设A种型号的毛笔为a支,
由题意可得:6a+4(80﹣a)≤420,
解得:a≤50,
答:最多可以购买50支A种型号的毛笔.
26.(1)证明:如图1,过点O作OP⊥BC,交⊙O于点P,连接AP交BE于Q,
∴=,
∴∠BAP=∠CAP,
∵点N为AC的中点,
∴=,
∴∠ABE=∠CBE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°,
∴∠QAB+∠QBA=×90°=45°,
∴∠AQB=∠EQP=135°,
△AQD中,∠EQP=∠CAP+∠ADQ=135°,
∴∠CDE+∠BAC=135°;
(2)证明:在△DGO和△DBO中,
,
∴△DGO≌△DBO(SSS),
∴∠ABD=∠DGO,
∵DG⊥BE,
∴∠GDB=90°,
∴∠ADG+∠BDC=90°,
∵∠BDC+∠CBE=90°,
∴∠ADG=∠CBE=∠ABD=∠DGO,
∴OG∥AD;
(3)解:如图3,过点G作GK⊥AC于K,延长GO交BC于点H,
由(2)知:OG∥AC,
∴GH∥AC,
∴∠OHB=∠C=90°,
∴OH⊥BC,
∴BH=CH,
∵∠K=∠C=∠OHC=90°,
∴四边形GHCK是矩形,
∴CH=GK,
设GK=y,则BC=2y,ON=GK=y,
由(2)知:∠ADG=∠DBC,
在△GKD和△DCB中,
,
∴△GKD≌△DCB(AAS),
∴GK=DC=y,
∵OE∥BC,
∴∠E=∠DBC,
∴tan∠DBC=tanE,
∴,即=,
∴EN=,
∴AN=CN=y+,ON=y,
由勾股定理得:AO2=ON2+AN2,
∴(y+)2=y2+(y+)2,
解得:y1=﹣(舍),y2=,
∴AG===2.
27.解:(1)把A(10,0),B(,6)代入y=ax2+bx,得到,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x.
(2)∵直线y=2x﹣4与x轴交于点C,与y轴交于点D,
∴C(2,0),D(0,﹣4),
∵A(10,0),
∴OA=10,OC=2,
∴AC=8,
由题意P(t,2t﹣4),
∴S=•PT•AC=×8×(2t﹣4)=8t﹣16.
(3)如图2中,过点P作PT⊥CG于T,交CF于W,过点F作FJ⊥MH交MH的延长线于J,连接JQ.
∵PT⊥CG,
∴∠PTC=∠ODC=90°,
∴OD∥PT,
∴∠ODC=∠CPT,
∴tan∠CPT=tan∠ODC===,
∵HR⊥RF,FJ⊥MJ,MH∥CF,
∴RH⊥MJ,
∴∠FRH=∠RHJ=∠FJH=90°,
∴四边形RFJH是矩形,
∴RF=HJ,
∵RF+HM=MH+HJ=MJ=GQ,MJ∥GQ,
∴四边形MJQG是平行四边形,
∴JQ=GM,∠JQG=∠GMJ,
∵MF平分∠CFG,
∴∠CFM=∠MFG,
∵CF∥MH,
∴∠FMH=∠CFM,
∴∠FMH=∠MFH,
∴FH=HM,
∵∠MGH=∠FJH=90°,∠MHG=∠FHJ,
∴△MHG≌△FHJ(AAS),
∴MG=FJ=JQ,∠GMH=∠HFJ,
∴∠JFQ=∠JQF,∠GFJ=∠GQJ,
∴∠GFQ=∠GQF,
∵CF∥GQ,PT∥FG,
∴∠WPF=∠GFQ,∠WFP=∠GQF,
∴∠WPF=∠WFP,
∴WP=WF,
∵D,E关于x轴对称,
∴∠ECO=∠DCO=∠PCG,
∵EC∥PG,
∴∠PGC=∠ECO,
∴∠PCG=∠PGC,
∴PC=PG,
∵PT⊥CG,
∴CT=TG,
∵WT∥FG,
∴CW=WF,
∴WP=WC=WF,
∴∠CPF=90°,
∴∠LCP+∠PLC=90°,
∵∠ODC+∠OCD=90°,∠OCD=∠LCP,
∴∠PLC=∠ODC,
∴tan∠PLC=tan∠ODC=,
∵B(,6),
∴OL=+12=,
∴L(,0),
∴直线PB的解析式为y=﹣x+,
由,解得,
∴P(,5).