2023年河南省郑州市教研室中考数学一模试卷附解析

这是一份2023年河南省郑州市教研室中考数学一模试卷附解析，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省郑州市教研室中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每题3分，本大题共10小题，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目的要求）
1．（3分）下列实数为无理数的是（　　）
A． B．0.2 C．﹣5 D．
2．（3分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.448×106度 B．44.8×104度
C．4.48×105度 D．4.48×106度
3．（3分）由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．3x3+2x3＝5x6 B．（x+1）2＝x2+1
C．x8÷x4＝x2 D．＝2
5．（3分）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　）

A．23° B．25° C．27° D．30°
6．（3分）在下列条件中，能够判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝m，下列说法正确的是（　　）
A．当m＝0时，此方程有两个相等的实数根
B．当m＞0时，此方程有两个不相等的实数根
C．当m＜0时，此方程没有实数根
D．此方程的根的情况与m的值无关
9．（3分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为（　　）

A．（﹣3，2） B．（﹣2，4） C．（﹣3，6） D．（﹣2，6）
10．（3分）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则以下结论错误的是（　　）

A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
二、填空题（每题3分，本大题共5小题，共15分）
11．（3分）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是　 　．

12．（3分）已知点，点B（2，n）在直线y＝3x+b上，则m与n的大小关系是m　 　n（填“＞”“＜”或“＝”）．
13．（3分）机器人社团活动时，老师将参与社团的学生随机分成5组，其中小明和小亮被分到同一组的概率为 　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O在AC上，⊙O与AB，BC相切，切点分别为点D，E．若AB＝BC＝4，则阴影部分的面积为 　 　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步驟）
16．（10分）（1）计算：|﹣5|+（3﹣）0﹣2tan45°；
（2）化简：÷（1+）．





17．（9分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程
平均数
中位数
众数
A
75.8
m
84.5
B
72.2
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 　 　（填“A”或“B”），理由是 　 　，
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．






18．（9分）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面点P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°，已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高．（结果取整数，参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90）







19．（9分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于A（a，3），B两点．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）已知AD∥x轴，以AB、AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．





20．（9分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？





21．（9分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．







22．（10分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．

23．（10分）综合与实践
问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程：
动手操作：步骤一：将正方形纸片ABCD（边长为4cm）对折，使得点A与点D重合，折痕为EF，再将纸片ABCD展开，得到图1．
步骤二：将图1中的纸片ABCD的右上角沿着CE折叠，使点D落到点G的位置，连接EG，CG，得到图2．
步骤三：在图2的基础上，延长EG与边AB交于点H，得到图3．
问题解决：（1）在图3中，连接HC，则∠ECH的度数为 　 　，的值为 　 　．
（2）在图3的基础上延长CG与边AB交于点M，如图4，试猜想AM与BM之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图4中的正方形ABCD纸片过点G折叠，使点A落在边AD上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕PQ分别与边AD，BC交于点P，Q，求GQ的长．


2023年河南省郑州市教研室中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，本大题共10小题，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目的要求）
1．（3分）下列实数为无理数的是（　　）
A． B．0.2 C．﹣5 D．
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．﹣5是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.448×106度 B．44.8×104度
C．4.48×105度 D．4.48×106度
【分析】根据1万＝104，然后写成科学记数法的形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可．
【解答】解：44.8万＝44.8×104＝4.48×105，
故选：C．
3．（3分）由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
故选：D．
4．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．3x3+2x3＝5x6 B．（x+1）2＝x2+1
C．x8÷x4＝x2 D．＝2
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、3x3+2x3＝5x3，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（x+1）2＝x2+2x+1，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、x8÷x4＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、＝2，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　）

A．23° B．25° C．27° D．30°
【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BAE＝50°，
∵CF＝EF，
∴∠C＝∠E，
∵∠DFE＝∠C+∠E，
∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，
故选：B．
6．（3分）在下列条件中，能够判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD
【分析】由平行四边形的判定方法和矩形的判定方法，即可得出结论．
【解答】解：A、∵AB＝AD，∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，不符合题意；
B、∵AC⊥BD，∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，不符合题意；
C、∵AB＝AC，∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，不符合题意；
D、∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形，符合题意；
故选：D．
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定
【分析】利用调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误，不符合题意；
B、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，故错误，不符合题意；
C、一个抽奖活动中，中奖概率为，抽奖20次可能有1次中奖，也可能不中奖，故错误，不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定，正确，符合题意．
故选：D．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝m，下列说法正确的是（　　）
A．当m＝0时，此方程有两个相等的实数根
B．当m＞0时，此方程有两个不相等的实数根
C．当m＜0时，此方程没有实数根
D．此方程的根的情况与m的值无关
【分析】先计算根的判别式，再判断判别式与0的关系，最后得结论．
【解答】解：∵x2+x﹣2＝m，
∴x2+x﹣2﹣m＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣m﹣2）
＝4m+9，
A．当m＝0时，Δ＝9＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故A说法错误，不合题意；
B．当m＞0时，Δ＝4m+9＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故B说法正确，符合题意；
C．当m＜0时，Δ＝m+9的符号不能确定，
∴此方程的根情况不能确定，故C说法错误，不合题意；
D．此方程的根的情况与m的值有关，故D说法错误，不合题意；
故选：B．
9．（3分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为（　　）

A．（﹣3，2） B．（﹣2，4） C．（﹣3，6） D．（﹣2，6）
【分析】作B1D⊥y轴于点D，则∠ODB1＝∠AOD＝90°，先由tan∠AOB＝＝得∠AOB＝30°，再由旋转得∠A1OB1＝∠AOB＝30°，∠OA1B1＝∠OAB＝90°，A1B1＝AB＝2，OA1＝OA＝6，再证明△DOB1≌△A1OB1，得DB1＝A1B1＝2，OD＝OA1＝6，则点B1的坐标为（﹣2，6）．
【解答】解：如图，作B1D⊥y轴于点D，则∠ODB1＝∠AOD＝90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
∵A（﹣6，0），C（0，2），
∴OA＝6，AB＝OC＝2，
∴tan∠AOB＝＝＝，
∴∠AOB＝30°，
由旋转得∠A1OB1＝∠AOB＝30°，∠OA1B1＝∠OAB＝90°，A1B1＝AB＝2，OA1＝OA＝6，
∴∠DOB1＝30°＝∠A1OB1，∠ODB1＝∠OA1B1，
在△DOB1和△A1OB1中，
，
∴△DOB1≌△A1OB1（AAS），
∴DB1＝A1B1＝2，OD＝OA1＝6，
∴点B的对应点B1的坐标为（﹣2，6），
故选：D．

10．（3分）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则以下结论错误的是（　　）

A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
【分析】根据“速度＝路程÷时间”分别求出两车的速度，进而得出轿车出发的时间，再对各个选项逐一判断即可．
【解答】解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为：240÷4＝60（km/h），故选项B不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为：（240﹣75）÷（3﹣1.5）＝110（km/h），故选项C不合题意；
轿车从西昌到雅安所用时间为：240÷110＝（小时），
3﹣＝（小时），
设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：
，
解得x＝1.8，
∴货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60×＝40（km），故选项D符合题意．
故选：D．
二、填空题（每题3分，本大题共5小题，共15分）
11．（3分）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是　﹣3　．

【分析】A在数轴上表示的数是3，根据相反数的含义和求法，判断出点A表示的数的相反数是多少即可．
【解答】解：∵点A在数轴上表示的数是3，
∴点A表示的数的相反数是﹣3．
故答案为：﹣3．
12．（3分）已知点，点B（2，n）在直线y＝3x+b上，则m与n的大小关系是m　＜　n（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】根据一次函数的解析式判断出其增减性，再根据两点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：一次函数y＝3x+b中，k＝3，
∴y随x的增大而增大，
∵点A（﹣，m），B（2，n）中，2＞﹣，
∴m＜n，
故答案为：＜．
13．（3分）机器人社团活动时，老师将参与社团的学生随机分成5组，其中小明和小亮被分到同一组的概率为 　　．
【分析】根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，小明和小亮被分到同一组的结果数为5，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：根据题意画图如下：

由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中小明和小亮被分到同一组的结果有5种，
则小明和小亮被分到同一组的概率是＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O在AC上，⊙O与AB，BC相切，切点分别为点D，E．若AB＝BC＝4，则阴影部分的面积为 　π　．

【分析】连接OD，OE，OE与DC交于点F，证明△DOF≌△CEF（AAS），得出OF＝EF，则S△DOF＝S△CEF，由扇形的面积公式可得出答案．
【解答】解：连接OD，OE，OE与DC交于点F，

∵⊙O与AB，BC相切，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
又∵OE＝OD，∠ABC＝90°，
∴四边形ODBE为正方形，
∴∠DOE＝90°，OD＝BE，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，
∴OE＝EC，
∴OD＝EC＝2，
又∵∠DFO＝∠EFC，∠DOF＝∠CEF，
∴△DOF≌△CEF（AAS），
∴OF＝EF，
∴S△DOF＝S△CEF，
∴阴影部分的面积＝，
故答案为：π．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 　3或2　．

【分析】由已知求出AB＝4，AC＝2，再分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°两种情况进行讨论，即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
当∠APQ＝90°时，如图1，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
∴AP＝3，
当∠AQP＝90°时，如图2，

∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，
∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝2，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，
故答案为：3或2．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步驟）
16．（10分）（1）计算：|﹣5|+（3﹣）0﹣2tan45°；
（2）化简：÷（1+）．
【分析】（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法；
（2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法．
【解答】解：（1）原式＝5+1﹣2×1
＝5+1﹣2
＝4；
（2）原式＝÷
＝×
＝．
17．（9分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程
平均数
中位数
众数
A
75.8
m
84.5
B
72.2
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 　B　（填“A”或“B”），理由是 　该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数　，
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
【分析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；
（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；
（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．
【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8＝60，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，
∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，
∴A课程的中位数为＝78.75，即m＝78.75；

（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，
故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．

（3）估计A课程成绩超过75.8分的人数为300×＝180人．
18．（9分）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面点P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°，已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高．（结果取整数，参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90）

【分析】设AP＝x米，在Rt△APB中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出AC的长，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设AP＝x米，
∴AB＝AP⋅tan35°≈0.7x（米），
∵BC＝32米，
∴AC＝AB+BC＝（32+0.7x）米，
∴，
∴x＝160，
经检验：x＝160是原分式方程的根，
∴AB＝0.7x＝112（米），
∴这座山AB的高度约为112米．
19．（9分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于A（a，3），B两点．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）已知AD∥x轴，以AB、AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）将点A（a，3）分别代入正比例函数和反比例函数，可得a和k的值，再利用反比例函数图象是中心对称图形可得点B的坐标；
（2）根据图象直接可得答案；
（3）作AE⊥BC于E，则得出AE和BE的长，再利用勾股定理求得AB的长，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于A（a，3），
∴﹣＝3，k＝3a，
∴a＝﹣2，k＝﹣6，
∵反比例函数图象是中心对称图形，
∴点A与B关于原点O对称，
∴B（2，﹣3），
（2）由图象知，不等式的解集为﹣2＜x＜0或x＞2；
（3）如图，作AE⊥BC于E，

∵A（﹣2，3），B（2，﹣3），
∴AE＝6，BE＝4，
由勾股定理得，AB＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∴菱形ABCD的面积为BC×AE＝2×6＝12．
20．（9分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据数量＝总价÷单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润＝单件（单套）利润×销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得a＝260，
经检验，a＝260是原分式方程的解．
答：表中a的值为260．

（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，
根据题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
设销售利润为y元，
根据题意得：y＝[940﹣260﹣4×（260﹣140）]×x+（380﹣260）×x+[160﹣（260﹣140）]×（5x+20﹣4×x）＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴当x＝30时，y取最大值，最大值为：280×30+800＝9200．
答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
21．（9分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．

【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；
（3）代入x＝10求出y值，进而可得出点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上，将与1.8比较后即可得出顶部F不会碰到水柱．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y＝﹣×（10﹣5）2+6＝，
∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．
又∵≈1.83＞1.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
22．（10分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．

【分析】（1）以A为圆心AB长为半径画弧交BD于M，作BM的垂直平分线，交BD于N，以A为圆心AN为半径画圆即为所求；
（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，证四边形AEFG是正方形，根据AAS证△ABE≌△CDF，得出BE＝DF＝r•tanα，DE＝DF+EF＝r•tanα+r，根据等量关系列出关系式求出tanα的值即可．
【解答】解：（1）根据题意作图如下：

（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，

∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，
即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又AE＝AG＝r，
∴四边形AEFG是正方形，
∴EF＝AE＝r，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB＝α，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，
∴BE＝r•tanα，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝r•tanα，
∴DE＝DF+EF＝r•tanα+r，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
即DE•tanα＝AE，
∴（r•tanα+r）•tanα＝r，
即tan2α+tanα﹣1＝0，
∵tanα＞0，
∴tanα＝，
即tan∠ADB的值为．
23．（10分）综合与实践
问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程：
动手操作：步骤一：将正方形纸片ABCD（边长为4cm）对折，使得点A与点D重合，折痕为EF，再将纸片ABCD展开，得到图1．
步骤二：将图1中的纸片ABCD的右上角沿着CE折叠，使点D落到点G的位置，连接EG，CG，得到图2．
步骤三：在图2的基础上，延长EG与边AB交于点H，得到图3．
问题解决：（1）在图3中，连接HC，则∠ECH的度数为 　45°　，的值为 　　．
（2）在图3的基础上延长CG与边AB交于点M，如图4，试猜想AM与BM之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图4中的正方形ABCD纸片过点G折叠，使点A落在边AD上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕PQ分别与边AD，BC交于点P，Q，求GQ的长．

【分析】（1）由翻折的性质可知，∠D＝∠CGE＝90°，CD＝CG，EG＝ED，∠ECD＝∠ECG，推出CB＝CG，证明Rt△CHG≌Rt△CHB（HL），推出HB＝HG，∠HCG＝∠HCB，推出∠ECH＝∠ECG+∠GCH＝（∠DCG+∠BCG）＝45°，设BH＝x，则EH＝EG+GH＝2+x，AH＝4﹣x，利用勾股定理构建方程求出x即可．
（2）结论：．证明Rt△EMA≌Rt△EMG（HL），推出AM＝MG，设AM＝MG＝y，则MH＝AH﹣AM＝﹣y．在Rt△MGH中，根据勾股定理得MG2+GH2＝MH2，由此构建方程求出y，即可解决问题．
（3）由PQ∥AB，推出，可得答案．
【解答】解：（1）如图3中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BCD＝∠A＝90°，
由翻折的性质可知，∠D＝∠CGE＝90°，CD＝CG，EG＝ED，∠ECD＝∠ECG，
∴CB＝CG，
∵∠B＝∠CGE＝90°，CH＝CH，
∴Rt△CHG≌Rt△CHB（HL），
∴HB＝HG，∠HCG＝∠HCB，
∴∠ECH＝∠ECG+∠GCH＝（∠DCG+∠BCG）＝45°，
∵正方形纸片ABCD的边长为4．则AE＝DE＝EG＝2．
设BH＝x，则EH＝EG+GH＝2+x，AH＝4﹣x，
在Rt△AEH中，根据勾股定理得AE2+AH2＝EH2．
∴22+（4﹣x）2＝（2+x）2，
解得x＝，
∴BH＝，AH＝，
∴．
故答案为：45°，；

（2）结论：．
理由：如图4中，连接QM，D'M．

由折叠知，ED＝EG，AE＝ED，
∴EA＝EG，
∵EM＝EM，∠A＝∠EGM＝90°，
∴Rt△EMA≌Rt△EMG（HL），
∴AM＝MG，
设AM＝MG＝y，
则MH＝AH﹣AM＝﹣y．
在Rt△MGH中，根据勾股定理得MG2+GH2＝MH2．
∵BH＝GH＝，
∴y2+（）2＝（﹣y）2，
解得y＝1，
∴AM＝1，BM＝3，
∴．

（3）如图5中，

∵PQ∥AB，
∴，即，
∴GQ＝．