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2023年河南省郑州市九校联考中考数学模拟试卷附解析
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这是一份2023年河南省郑州市九校联考中考数学模拟试卷附解析，共35页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省郑州市九校联考中考数学模拟试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）3月23日，记者从河南省财政厅获悉，今年前2个月，全省财政总收入为1360亿元，同比增长8.3%．将1360亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.36×1011 B．1.36×1012 C．1360×108 D．0.136×1012
3．（3分）下面调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．对冷饮市场上光明冰砖质量情况的调查
B．了解市面上一次性餐盒的卫生情况
C．了解一个班级学生的视力情况
D．了解某型号手机的使用寿命
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m3+m2＝m5 B．（a3）2＝a9 C．（ab3）2＝ab6 D．m5÷m3＝m2
5．（3分）如图，a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，∠ACB＝90°，AB交直线a于点D，点B在直线b上，∠1＝23°，若点D恰好为AB的中点，则∠ACD的度数为（ ）
A．44° B．46° C．56° D．67°
6．（3分）如图，菱形ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，CD的中点，EF＝4，FG＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
7．（3分）5个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则下列说法中正确的是（ ）
A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小 D．三个视图面积一样大
8．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
9．（3分）如图，正方形ABCD中，AC，BD交于点O，点P为AB上一个动点，直线PO交CD于点Q，过点B作BM⊥PQ，垂足为点M，连接AM，若AB＝4，则AM的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，1），将△AOB沿AB折叠，点O的对应点为点C，将△ABC沿x轴正方向平移得到△DEF，当DF经过点B时，点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请你写出一个经过点（2，2）的函数解析式 ．
12．（3分）计算的结果为 ．
13．（3分）有大小、形状、颜色完全相同的四个乒乓球，球上分别标有数字2，3，5，6，四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是 ．
14．（3分）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C为OA的中点，过点C作CD∥OB，交弧AB于点D，沿CD将扇形AOB上半部分折叠，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A＝60°，AC＝1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPD，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC时，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣；
（2）解不等式组：．
17．（9分）开学后，为检验寒假期间学生的学习成果，王老师对自己所带的两个班进行了摸底测试，并分别从两个班各随机抽取了20名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
（1）收集数据：两个班各抽取的20名学生的成绩如表所示：
一班
98
98
92
92
92
92
92
89
89
88
88
84
83
83
79
79
78
78
69
58
二班
99
96
96
96
96
96
96
94
92
89
88
85
80
78
72
72
71
65
58
55
（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图，请补全二班的频数分布直方图；
（3）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：填空：a＝ ，b＝ ；
平均数
众数
中位数
方差
一班
85.1
a
88
89.85
二班
83.7
96
b
184.01
（4）得出结论：根据以上信息，判断 班寒假期间数学知识掌握得较好，理由如下： （至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．
18．（9分）小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，）．
19．（9分）如图，在以AB为直径的⊙O中，AC切⊙O于点A，且AC＝AB，连接BC，交⊙O于点D，作射线CO交⊙O于点E．
（1）作AM⊥CE于点M，交BC于点N，交⊙O于点F，连接BF（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，①求证：△ACM≌△BAF；②若AF＝6，求BD的长．
20．（9分）清明上河园是中国著名八朝古都河南开封的一座大型历史文化主题公园，占地600余亩，坐落在开封城风光秀丽的龙亭湖西岸．它是依照北宋著名画家张择端的传世之作《清明上河图》为蓝本建造的，于1998年10月28日正式对外开放．2021年10月，入选首批河南省中小学研学旅行实践基地拟认定名单．如图为园中一座桥，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝20m，桥拱顶点B到水面的距离是5m．按如图所示建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k．
（1）求桥拱部分对应的抛物线的解析式；
（2）某天，一艘船经过桥下，如图，船的宽度DE＝2m，船上放置长方体的集装箱，集装箱的高度CD＝EF＝1.8m，若该船恰好贴着桥拱经过桥下，求此时船的左侧点D与点O的距离．
21．（9分）某电商根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台B型音箱的进价比A型音箱的进价多10元，用6000元购进A型音箱与用8000元购进B型音箱的台数相同．
（1）求A，B两种型号的电脑小音箱的单价；
（2）该电商计划购进A，B两种型号的电脑小音箱共100台进行销售，其中A型音箱台数不小于B型音箱台数的3倍，A型音箱每台售价35元，B型音箱每台售价48元，怎样安排进货才能使售完这100台电脑小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
（3）为满足不同顾客的需要，该电商准备新增购进进价为每台20元的C型音箱，A，B两种型号音箱仍按需购进，进价不变，A型音箱的台数是B型音箱台数的5倍，共花费20000元，则该电商至少可以购进三种型号音箱共多少台？
22．（10分）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝6cm，AB＝8cm，M，N分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP＝xcm，PM＝y1cm，PN＝y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究的过程，请补充完整．
（1）画函数y1，y2的图象；①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1，y2与x的几组对应值：②表中m＝ ，n＝ ；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y1/cm
4
3.26
2.68
2.41
2.53
m
3.68
4.49
5.36
6.26
7.21
y2/cm
8.54
7.60
6.65
5.73
4.84
n
3.26
2.69
2.41
2.53
3
（2）在图2所给平面直角坐标系中描出以补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1，y2的图象；
（3）根据画出的函数y1，y2的图象，解决问题：
①函数y1的最小值是 ；
②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是 ；
③若△PCN为等腰三角形，则AP的长约为 cm．（保留一位小数）
23．（10分）在综合与实践课上，刘老师展示了一个情境，让同学们进行探究：情境呈现：如图1，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P为AC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接BP，点D为BP的中点，连接CD，DQ．
分别过点Q，C作QM⊥AB，CN⊥AB，垂足分别为M，N．
∵△ABC和△AQP都是等腰直角三角形，QM⊥AP，CN⊥AB，
∴，，∠QMP＝∠CND＝90°．
∵点D是BP的中点，
∴．
∴．
∴DM＝CN＝AN．
∴AM＝DN＝QM．
∴△QMD≌△DNC．
∴DQ＝DC．
特殊分析：（1）将△APQ绕点A顺时针旋转，当点P落在AB上时，如图2，探究CD与DQ的数量关系；小明同学的分析如上：填空：①小明判断△QMD≌△DNC的依据是 （填序号）；
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
E．HL
②请判断∠CDQ的度数为 ；
一般研讨：（2）若将△APQ绕点A在平面内顺时针旋转，如图3，CD与DQ的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请证明；
拓展延伸：（3）若，，在△AQP绕点A旋转的过程中，当∠BAP＝60°时，请直接写出线段DQ的长．
2023年河南省郑州市九校联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：B．
【点评】本题考查的是实数的性质，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．
2．（3分）3月23日，记者从河南省财政厅获悉，今年前2个月，全省财政总收入为1360亿元，同比增长8.3%．将1360亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.36×1011 B．1.36×1012 C．1360×108 D．0.136×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1360亿＝136000000000＝1.36×1011．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下面调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．对冷饮市场上光明冰砖质量情况的调查
B．了解市面上一次性餐盒的卫生情况
C．了解一个班级学生的视力情况
D．了解某型号手机的使用寿命
【分析】根据抽样调查、全面调查的意义结合具体的问题情况进行判断即可．
【解答】解：A．对冷饮市场上光明冰砖质量情况的调查，适合采取抽样调查，因此选项A不符合题意；
B．了解市面上一次性餐盒的卫生情况，适合采取抽样调查，因此选项B不符合题意；
C．了解一个班级学生的视力情况，由于人数不多，且容易实施，因此适合全面调查，因此选项C符合题意；
D．了解某型号手机的使用寿命，由于数量较多且不容易实施，适合采取抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查全面调查、抽样调查，理解全面调查、抽样调查的意义是正确判断的前提．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m3+m2＝m5 B．（a3）2＝a9 C．（ab3）2＝ab6 D．m5÷m3＝m2
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、m3与m2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；
C、（ab3）2＝a2b6，故C不符合题意；
D、m5÷m3＝m2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（3分）如图，a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，∠ACB＝90°，AB交直线a于点D，点B在直线b上，∠1＝23°，若点D恰好为AB的中点，则∠ACD的度数为（ ）
A．44° B．46° C．56° D．67°
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝BD＝AB，从而可得∠1＝∠DCB＝23°，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D恰好为AB的中点，
∴CD＝BD＝AB，
∴∠1＝∠DCB＝23°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝67°，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
6．（3分）如图，菱形ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，CD的中点，EF＝4，FG＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【分析】连接BD，AC，进而利用三角形中位线定理得出BD，AC，进而利用菱形的性质解答即可．
【解答】解：连接BD，AC，
∵点E，F，G分别为AB，AD，CD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，FG是△ADC的中位线，
∵EF＝4，FG＝3，
∴BD＝8，AC＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，OB＝OD，OA＝OC，
∴AB＝，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，
故选：D．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直解答．
7．（3分）5个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则下列说法中正确的是（ ）
A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小 D．三个视图面积一样大
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左边看到的图形，俯视图是从上边看到的图形，可得三视图，根据三视图面积的大小，可得答案．
【解答】解：主视图是四个正方形，左视图是三个正方形，俯视图是四个正方形，
故左视图的面积最小，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左边看到的图形，俯视图是从上边看到的图形．
8．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】先将方程整理为一般式，再计算出方程根的判别式的值，从而得出答案．
【解答】解：将方程整理为一般式，得：x2+x﹣6＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（3分）如图，正方形ABCD中，AC，BD交于点O，点P为AB上一个动点，直线PO交CD于点Q，过点B作BM⊥PQ，垂足为点M，连接AM，若AB＝4，则AM的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】取OB的中点T，连接MT，AT，过点T作TG⊥AB于G，利用正方形的性质求出BD＝AB＝4，BO＝DO＝2，由△BGT是等腰直角三角形，得到BG，求出AG，利用勾股定理求出AT，再求出TM，根据AM≥AT﹣TM，求出AT的最小值．
【解答】解：如图，取OB的中点T，连接MT，AT，过点T作TG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∠ABD＝45°，
∴BD＝AB＝4，BO＝DO＝2，
∴BT＝TO＝，
∵△BGT是等腰直角三角形，
∴BT＝GT＝1，
∴AG＝AB﹣BG＝3，
∴AT＝＝＝，
∵BM⊥OM，
∴∠BMO＝90°，
∵BT＝TO，
∴TM＝BO＝，
∴AM≥AT﹣TM＝﹣，
∴AM的最小值为：﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系定理等知识，正确理解正方形的性质以及三角形三边关系是解题关键．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，1），将△AOB沿AB折叠，点O的对应点为点C，将△ABC沿x轴正方向平移得到△DEF，当DF经过点B时，点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点F作FH⊥x轴于点H．证明DA＝DB，设DA＝DB＝m，则m2＝12+（2﹣m）2，求出BD，再利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：过点F作FH⊥x轴于点H．
由翻折变换的性质可知∠OAB＝∠BAC，
由平移变换的性质可知∠FDH＝∠CAB，
∵∠FDH＝∠DAB+∠DBA，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴DA＝DB，
设DA＝DB＝m，
则m2＝12+（2﹣m）2，
∴m＝，
∴AD＝DB＝，OD＝，
∵OB∥FH，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FH＝，DH＝，
∴OH＝DH﹣OD＝﹣＝，
∴F（，），
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换，坐标与图形变化﹣对称，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请你写出一个经过点（2，2）的函数解析式 y＝，答案不唯一 ．
【分析】根据点（2，2）的坐标，用待定系数法求出函数的解析式．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，因为经过A（2，2），
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝．
故经过点（2，2）的函数解析式为y＝，答案不唯一．
【点评】本题是开放性试题，考查了待定系数法求反比例函数或一次函数的解析式．
12．（3分）计算的结果为 ．
【分析】根据分式的加减法则进行计算便可．
【解答】解：原式＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式加减法则，熟记分式加减法则是解题的关键．
13．（3分）有大小、形状、颜色完全相同的四个乒乓球，球上分别标有数字2，3，5，6，四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及这两个球上的数字之积为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，这两个球上的数字之积分别为：6，10，12，6，15，18，10，15，30，12，18，30，其中这两个球上的数字之积为奇数的结果2种，
∴这两个球上的数字之积为奇数的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（3分）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C为OA的中点，过点C作CD∥OB，交弧AB于点D，沿CD将扇形AOB上半部分折叠，则阴影部分的面积为 ．
【分析】连接OD，先求出CD＝，∠AOD＝60°，则图形ACD的面积为﹣×1×＝﹣，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OD，
∵∠AOB＝90°，CD∥OB，
∴∠OCD＝90°，
∵OA＝2，点C为OA的中点，
∴OC＝1，OD＝2，
∴CD＝，∠AOD＝60°，
∴图形ACD的面积为﹣×1×＝﹣，
∴阴影部分的面积为﹣2（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求阴影部分面积．
15．（3分）折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A＝60°，AC＝1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPD，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC时，AP的长为 或 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J．如图2中，当PD⊥BC于点J时，分别求出PB，可得结论．
【解答】解：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J．
∵∠C＝90°，AC＝1，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝，
由翻折变换的性质可知，∠D＝∠B＝30°，DM＝BM＝，
∵CM＝BM＝，
∴JM＝DM＝，
∴BJ＝BM﹣JM＝，
∴PB＝＝，
∴AP＝AB﹣PB＝2﹣＝．
如图2中，当PD⊥BC于点J时，同法可得MJ＝JC＝，
∴BJ＝，
∴PB＝＝，
∴AP＝AB﹣PB＝2﹣＝．
综上所述，AP的值为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂和立方根，再计算减法即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3﹣3
＝﹣7；
（2）由2x﹣1＜3得：x＜2，
由2﹣x＜30得：x＞﹣28，
则不等式组的解集为﹣28＜x＜2．
【点评】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（9分）开学后，为检验寒假期间学生的学习成果，王老师对自己所带的两个班进行了摸底测试，并分别从两个班各随机抽取了20名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
（1）收集数据：两个班各抽取的20名学生的成绩如表所示：
一班
98
98
92
92
92
92
92
89
89
88
88
84
83
83
79
79
78
78
69
58
二班
99
96
96
96
96
96
96
94
92
89
88
85
80
78
72
72
71
65
58
55
（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图，请补全二班的频数分布直方图；
（3）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：填空：a＝ 92 ，b＝ 88.5 ；
平均数
众数
中位数
方差
一班
85.1
a
88
89.85
二班
83.7
96
b
184.01
（4）得出结论：根据以上信息，判断 二 班寒假期间数学知识掌握得较好，理由如下： 二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班 （至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．
【分析】（2）根据表格中的数据可得完成直方图；
（3）根据众数和中位数的定义解答即可；
（4）根据表格中两个班的各种数据可得答案．
【解答】解：（2）由（1）中的表格可知，二班学生60≤x＜70的频数为1，70≤x＜80的频数为4，
补全的频数分布直方图如下图所示：
（3）由（一）班的成绩可得，
92出现次数最多，故a＝92，
第10个和第11个数分别是88分和89分，故b＝×（88+89）＝88.5，
故答案为：92，88.5；
（4）根据题目中的信息可知，二班假期中学生数学学习成果较好．
理由：二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班．
故答案为：二，二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
18．（9分）小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，）．
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BE＝CF，BC＝EF，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，
∴BE＝CF，BC＝EF，
∵∠BAD＝60°，AB＝100米，
∴AE＝50，BE＝50米，
∴CF＝50米，
∵∠DCF＝55°，
∴DF＝CF•tan55°≈123.695米，
∴BC＝EF＝AD﹣AE+DF≈200﹣50+123.695＝273.695≈273.7（米），
答：桥BC的长度约为273.7米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
19．（9分）如图，在以AB为直径的⊙O中，AC切⊙O于点A，且AC＝AB，连接BC，交⊙O于点D，作射线CO交⊙O于点E．
（1）作AM⊥CE于点M，交BC于点N，交⊙O于点F，连接BF（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，①求证：△ACM≌△BAF；②若AF＝6，求BD的长．
【分析】（1）按照题中步骤作图；
（2）①根据AAS证明全等；
②根据勾股定理求解．
【解答】解：（1）如图所示：AM即为所求；
（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AF⊥CE，
∴∠AMC＝90°，
∴∠AFB＝∠AMC．
∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠CAF+∠BAF＝∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠MAC，
∵AC＝AB，
∴△ACM≌△BAF（AAS）；
②解：连接AD，
∵△ACM≌△BAF，
∴AM＝BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，AM＝AF＝3＝BF，
∵AB＝AC＝3，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．
20．（9分）清明上河园是中国著名八朝古都河南开封的一座大型历史文化主题公园，占地600余亩，坐落在开封城风光秀丽的龙亭湖西岸．它是依照北宋著名画家张择端的传世之作《清明上河图》为蓝本建造的，于1998年10月28日正式对外开放．2021年10月，入选首批河南省中小学研学旅行实践基地拟认定名单．如图为园中一座桥，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝20m，桥拱顶点B到水面的距离是5m．按如图所示建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k．
（1）求桥拱部分对应的抛物线的解析式；
（2）某天，一艘船经过桥下，如图，船的宽度DE＝2m，船上放置长方体的集装箱，集装箱的高度CD＝EF＝1.8m，若该船恰好贴着桥拱经过桥下，求此时船的左侧点D与点O的距离．
【分析】（1）设抛物线为y＝a（x﹣10）2+5，将（0，0）代入即可求出抛物线的解析式；
（2）由集装箱的高度CD＝EF＝1.8m，可得（x﹣10）2+5＝1.8，即可解得x1＝2，x2＝18，分两种情况：当船在对称轴左侧时，点C恰好经过桥拱，DO＝2m，当船在对称轴右侧时，点F恰好经过桥拱，DO＝OE﹣DE＝16m．
【解答】解：（1）由题意得：水面宽OA是20m，桥拱顶点B到水面的距离是5m，
∴抛物线顶点B的坐标为（10，5），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣10）2+5，
将点O （0，0）代入y＝a（x﹣10）2+5得：
a（0﹣10）2+5＝0，
解得：a＝，
∴二次函数的表达式为y＝（x﹣10）2+5，
即y＝x2+x （0≤x≤20）；
（2）集装箱的高度CD＝EF＝1.8m，该船恰好贴着桥拱经过桥下，
∴（x﹣10）2+5＝1.8，
解得x1＝2，x2＝18，
∵船的宽度DE＝2m，
由题意得：当船在对称轴左侧时，点C恰好经过桥拱，此时船的左侧点D与点O的距离DO＝2（m），
当船在对称轴右侧时，点F恰好经过桥拱，此时船的左侧点D与点O的距离DO＝OE﹣DE＝18﹣2＝16（m）．
∴此时船的左侧点D与点O的距离为2m或16m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的解析式．
21．（9分）某电商根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台B型音箱的进价比A型音箱的进价多10元，用6000元购进A型音箱与用8000元购进B型音箱的台数相同．
（1）求A，B两种型号的电脑小音箱的单价；
（2）该电商计划购进A，B两种型号的电脑小音箱共100台进行销售，其中A型音箱台数不小于B型音箱台数的3倍，A型音箱每台售价35元，B型音箱每台售价48元，怎样安排进货才能使售完这100台电脑小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
（3）为满足不同顾客的需要，该电商准备新增购进进价为每台20元的C型音箱，A，B两种型号音箱仍按需购进，进价不变，A型音箱的台数是B型音箱台数的5倍，共花费20000元，则该电商至少可以购进三种型号音箱共多少台？
【分析】（1）设每台B型音箱的进价为x元，每台A型音箱的进价为（x﹣10）元，根据用6000元购进A型音箱与用8000元购进B型音箱的台数相同列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）设最大利润是w元，购进x台A型音箱，则购进（100﹣x）台B型音箱，根据总利润＝两种音响的利润之和列出函数解析式，再根据x的取值范围，由函数的性质求最值；
（3）设购进x台B型音箱，则购进5x台A型音箱，购进三种音箱共n台，然后由根据三种音响共花费20000元列出方程，得出n＝1000﹣，再由函数的性质以及n，x为正整数得出结论．
【解答】解：（1）设每台B型音箱的进价为x元，每台A型音箱的进价为（x﹣10）元，
根据题意得：＝，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣10＝30，
答：每台A型音箱的进价为30元，则每台B型音箱的进价为40元；
（2）设最大利润是w元，购A型音箱a台，则购进B型音箱（100﹣a）台，
根据题意得：w＝（35﹣30）a+（48﹣40）×（100﹣a）＝﹣3a+800，
∵A型音箱台数不小于B型音箱台数的3倍，
∴a≥3（100﹣a），
解得a≥75，
∵k＝﹣3＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝75时，W取最大值，最大值为575；
答：购进75台A型音箱，购进25台B型音箱所获利润最大，最大利润是575元；
（3）设购进x台B型音箱，则购进5x台A型音箱，购进三种音箱共n台，
根据题意，得：30×5x+40x+20（n﹣6x）＝20000，
解得n＝1000﹣，
∵n＞6x，
∴1000﹣＞6x，
∴，
∵x为正整数且为2的倍数，
∴x≤104，
∵，
∴n随x的增大而减小，
当x＝104时，n最小＝1000﹣364＝636，
答：该电商至少可以购进三种型号音箱共636台．
【点评】本题考查了一次函数和分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数解析式和方程．
22．（10分）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝6cm，AB＝8cm，M，N分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP＝xcm，PM＝y1cm，PN＝y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究的过程，请补充完整．
（1）画函数y1，y2的图象；①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1，y2与x的几组对应值：②表中m＝ 3 ，n＝ 4 ；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y1/cm
4
3.26
2.68
2.41
2.53
m
3.68
4.49
5.36
6.26
7.21
y2/cm
8.54
7.60
6.65
5.73
4.84
n
3.26
2.69
2.41
2.53
3
（2）在图2所给平面直角坐标系中描出以补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1，y2的图象；
（3）根据画出的函数y1，y2的图象，解决问题：
①函数y1的最小值是 2.4 ；
②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是 PM＝PN ；
③若△PCN为等腰三角形，则AP的长约为 6.4cm或7.0cm或7.5 cm．（保留一位小数）
【分析】（1）由勾股定理可求AC的长，由三角形中位线定理可求解；
（2）根据表格，画出函数图象；
（3）①当MP⊥AC时，PM有最小值，由锐角三角函数可求解；
②由函数图象可求解；
③分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵AD＝6cm，AB＝8cm，
∴AC＝＝＝10cm，
当x＝5时，AP＝5，即点P是AC的中点，
又∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴PM＝AD＝3cm，PN＝PN＝4cm，AM＝BM＝4cm，CN＝BN＝3cm，
∴m＝3，n＝4，
故答案为：3；4；
（2）如图所示：
（3）①当MP⊥AC时，PM有最小值，
∵sin∠BAC＝，
∴，
∴PM＝2.4，
故答案为：2.4；
②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义为PM＝PN，
故答案为：PM＝PN；
③当CN＝PC＝3cm时，则AP＝7.0cm，
当PC＝PN时，则点P在CN的垂直平分线上，过点P作PH⊥BC于H，
∴CH＝NH＝cm，PH∥AB，
∴，
∴，
∴CP＝2.5cm，
∴AP＝7.5cm；
当PN＝CN＝3cm时，过点N作NQ⊥AC于Q，
∴CQ＝PQ，
∵cos∠ACB＝，
∴CQ＝＝1.8cm，
∴AP＝AC﹣2CQ＝6.4cm，
故答案为：6.4cm或7.0cm或7.5cm．
【点评】本题是四边形综合题，考查矩形的性质，函数图象的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
23．（10分）在综合与实践课上，刘老师展示了一个情境，让同学们进行探究：情境呈现：如图1，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P为AC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接BP，点D为BP的中点，连接CD，DQ．
分别过点Q，C作QM⊥AB，CN⊥AB，垂足分别为M，N．
∵△ABC和△AQP都是等腰直角三角形，QM⊥AP，CN⊥AB，
∴，，∠QMP＝∠CND＝90°．
∵点D是BP的中点，
∴．
∴．
∴DM＝CN＝AN．
∴AM＝DN＝QM．
∴△QMD≌△DNC．
∴DQ＝DC．
特殊分析：（1）将△APQ绕点A顺时针旋转，当点P落在AB上时，如图2，探究CD与DQ的数量关系；小明同学的分析如上：填空：①小明判断△QMD≌△DNC的依据是 B （填序号）；
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
E．HL
②请判断∠CDQ的度数为 90° ；
一般研讨：（2）若将△APQ绕点A在平面内顺时针旋转，如图3，CD与DQ的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请证明；
拓展延伸：（3）若，，在△AQP绕点A旋转的过程中，当∠BAP＝60°时，请直接写出线段DQ的长．
【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质解决问题；
（2）不变化．如图1，分别过点Q，C作QM⊥AP，CN⊥AB，垂足分别为M，N，连接DM，DN．证明△QMD≌△DNC（SAS），可得结论；
（3）分两种情形：当点P在AB的下方时，如图2，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交ND的延长线于H，当点P在AB上方时，如图3，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交DN的延长线于H，分别求解即可．
【解答】解：（1）全等的理由是SAS，
∵△QMD≌△DNC，
∴∠QDM＝∠DCN，
∵∠DCN+∠CDN＝90°，
∴∠CDN+∠QDM＝90°，
∴∠CDQ＝90°，
故答案为：B；90°；
（2）不变化．
理由：如图1，分别过点Q，C作QM⊥AP，CN⊥AB，垂足分别为M，N，连接DM，DN．
由等腰直角三角形的性质可得，点M，N分别为AP，AB的中点，
又∵点D为BP的中点，∴DN，DM为△PAB的中位线，
∴DN＝AP，DM＝AB，
又∵QM＝AP，CN＝AB，
∴DN＝QM，DM＝CN，
∵DN，DM为△PAB的中位线，
∴DM∥AB，DN∥AP，
∴∠PMD＝∠PAB，∠BND＝∠PAB，
∴∠PMD＝∠BND，
∵∠QMP＝∠BNC＝90°，
∴∠PMD+∠QMP＝∠BND+∠BNC，即∠QMD＝∠DNC．
∴△QMD≌△DNC（SAS），
∴DQ＝DC；
（3）DQ的长为2或2．
理由：当点P在AB的下方时，如图2，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交ND的延长线于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC＝，CN⊥AB，
∴AB＝12，，
∵点D是BP的中点，
∴，DN∥AP，
∴∠BNH＝∠BAP＝60°，
∴∠CNH＝30°，
∴，，
∴DH＝NH﹣DN＝，
∴DC＝＝＝2，
由（2）可得：DQ＝DC＝2；
当点P在AB上方时，如图3，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交DN的延长线于H，
同理可求：DQ＝DC＝2．
综上所述，DQ＝2或2．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
2023年河南省郑州市九校联考中考数学模拟试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）3月23日，记者从河南省财政厅获悉，今年前2个月，全省财政总收入为1360亿元，同比增长8.3%．将1360亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.36×1011 B．1.36×1012 C．1360×108 D．0.136×1012
3．（3分）下面调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．对冷饮市场上光明冰砖质量情况的调查
B．了解市面上一次性餐盒的卫生情况
C．了解一个班级学生的视力情况
D．了解某型号手机的使用寿命
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m3+m2＝m5 B．（a3）2＝a9 C．（ab3）2＝ab6 D．m5÷m3＝m2
5．（3分）如图，a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，∠ACB＝90°，AB交直线a于点D，点B在直线b上，∠1＝23°，若点D恰好为AB的中点，则∠ACD的度数为（ ）
A．44° B．46° C．56° D．67°
6．（3分）如图，菱形ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，CD的中点，EF＝4，FG＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
7．（3分）5个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则下列说法中正确的是（ ）
A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小 D．三个视图面积一样大
8．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
9．（3分）如图，正方形ABCD中，AC，BD交于点O，点P为AB上一个动点，直线PO交CD于点Q，过点B作BM⊥PQ，垂足为点M，连接AM，若AB＝4，则AM的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，1），将△AOB沿AB折叠，点O的对应点为点C，将△ABC沿x轴正方向平移得到△DEF，当DF经过点B时，点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请你写出一个经过点（2，2）的函数解析式 ．
12．（3分）计算的结果为 ．
13．（3分）有大小、形状、颜色完全相同的四个乒乓球，球上分别标有数字2，3，5，6，四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是 ．
14．（3分）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C为OA的中点，过点C作CD∥OB，交弧AB于点D，沿CD将扇形AOB上半部分折叠，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A＝60°，AC＝1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPD，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC时，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣；
（2）解不等式组：．
17．（9分）开学后，为检验寒假期间学生的学习成果，王老师对自己所带的两个班进行了摸底测试，并分别从两个班各随机抽取了20名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
（1）收集数据：两个班各抽取的20名学生的成绩如表所示：
一班
98
98
92
92
92
92
92
89
89
88
88
84
83
83
79
79
78
78
69
58
二班
99
96
96
96
96
96
96
94
92
89
88
85
80
78
72
72
71
65
58
55
（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图，请补全二班的频数分布直方图；
（3）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：填空：a＝ ，b＝ ；
平均数
众数
中位数
方差
一班
85.1
a
88
89.85
二班
83.7
96
b
184.01
（4）得出结论：根据以上信息，判断 班寒假期间数学知识掌握得较好，理由如下： （至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．
18．（9分）小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，）．
19．（9分）如图，在以AB为直径的⊙O中，AC切⊙O于点A，且AC＝AB，连接BC，交⊙O于点D，作射线CO交⊙O于点E．
（1）作AM⊥CE于点M，交BC于点N，交⊙O于点F，连接BF（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，①求证：△ACM≌△BAF；②若AF＝6，求BD的长．
20．（9分）清明上河园是中国著名八朝古都河南开封的一座大型历史文化主题公园，占地600余亩，坐落在开封城风光秀丽的龙亭湖西岸．它是依照北宋著名画家张择端的传世之作《清明上河图》为蓝本建造的，于1998年10月28日正式对外开放．2021年10月，入选首批河南省中小学研学旅行实践基地拟认定名单．如图为园中一座桥，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝20m，桥拱顶点B到水面的距离是5m．按如图所示建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k．
（1）求桥拱部分对应的抛物线的解析式；
（2）某天，一艘船经过桥下，如图，船的宽度DE＝2m，船上放置长方体的集装箱，集装箱的高度CD＝EF＝1.8m，若该船恰好贴着桥拱经过桥下，求此时船的左侧点D与点O的距离．
21．（9分）某电商根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台B型音箱的进价比A型音箱的进价多10元，用6000元购进A型音箱与用8000元购进B型音箱的台数相同．
（1）求A，B两种型号的电脑小音箱的单价；
（2）该电商计划购进A，B两种型号的电脑小音箱共100台进行销售，其中A型音箱台数不小于B型音箱台数的3倍，A型音箱每台售价35元，B型音箱每台售价48元，怎样安排进货才能使售完这100台电脑小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
（3）为满足不同顾客的需要，该电商准备新增购进进价为每台20元的C型音箱，A，B两种型号音箱仍按需购进，进价不变，A型音箱的台数是B型音箱台数的5倍，共花费20000元，则该电商至少可以购进三种型号音箱共多少台？
22．（10分）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝6cm，AB＝8cm，M，N分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP＝xcm，PM＝y1cm，PN＝y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究的过程，请补充完整．
（1）画函数y1，y2的图象；①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1，y2与x的几组对应值：②表中m＝ ，n＝ ；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y1/cm
4
3.26
2.68
2.41
2.53
m
3.68
4.49
5.36
6.26
7.21
y2/cm
8.54
7.60
6.65
5.73
4.84
n
3.26
2.69
2.41
2.53
3
（2）在图2所给平面直角坐标系中描出以补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1，y2的图象；
（3）根据画出的函数y1，y2的图象，解决问题：
①函数y1的最小值是 ；
②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是 ；
③若△PCN为等腰三角形，则AP的长约为 cm．（保留一位小数）
23．（10分）在综合与实践课上，刘老师展示了一个情境，让同学们进行探究：情境呈现：如图1，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P为AC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接BP，点D为BP的中点，连接CD，DQ．
分别过点Q，C作QM⊥AB，CN⊥AB，垂足分别为M，N．
∵△ABC和△AQP都是等腰直角三角形，QM⊥AP，CN⊥AB，
∴，，∠QMP＝∠CND＝90°．
∵点D是BP的中点，
∴．
∴．
∴DM＝CN＝AN．
∴AM＝DN＝QM．
∴△QMD≌△DNC．
∴DQ＝DC．
特殊分析：（1）将△APQ绕点A顺时针旋转，当点P落在AB上时，如图2，探究CD与DQ的数量关系；小明同学的分析如上：填空：①小明判断△QMD≌△DNC的依据是 （填序号）；
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
E．HL
②请判断∠CDQ的度数为 ；
一般研讨：（2）若将△APQ绕点A在平面内顺时针旋转，如图3，CD与DQ的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请证明；
拓展延伸：（3）若，，在△AQP绕点A旋转的过程中，当∠BAP＝60°时，请直接写出线段DQ的长．
2023年河南省郑州市九校联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：B．
【点评】本题考查的是实数的性质，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．
2．（3分）3月23日，记者从河南省财政厅获悉，今年前2个月，全省财政总收入为1360亿元，同比增长8.3%．将1360亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.36×1011 B．1.36×1012 C．1360×108 D．0.136×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1360亿＝136000000000＝1.36×1011．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下面调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．对冷饮市场上光明冰砖质量情况的调查
B．了解市面上一次性餐盒的卫生情况
C．了解一个班级学生的视力情况
D．了解某型号手机的使用寿命
【分析】根据抽样调查、全面调查的意义结合具体的问题情况进行判断即可．
【解答】解：A．对冷饮市场上光明冰砖质量情况的调查，适合采取抽样调查，因此选项A不符合题意；
B．了解市面上一次性餐盒的卫生情况，适合采取抽样调查，因此选项B不符合题意；
C．了解一个班级学生的视力情况，由于人数不多，且容易实施，因此适合全面调查，因此选项C符合题意；
D．了解某型号手机的使用寿命，由于数量较多且不容易实施，适合采取抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查全面调查、抽样调查，理解全面调查、抽样调查的意义是正确判断的前提．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m3+m2＝m5 B．（a3）2＝a9 C．（ab3）2＝ab6 D．m5÷m3＝m2
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、m3与m2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；
C、（ab3）2＝a2b6，故C不符合题意；
D、m5÷m3＝m2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（3分）如图，a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，∠ACB＝90°，AB交直线a于点D，点B在直线b上，∠1＝23°，若点D恰好为AB的中点，则∠ACD的度数为（ ）
A．44° B．46° C．56° D．67°
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝BD＝AB，从而可得∠1＝∠DCB＝23°，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D恰好为AB的中点，
∴CD＝BD＝AB，
∴∠1＝∠DCB＝23°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝67°，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
6．（3分）如图，菱形ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，CD的中点，EF＝4，FG＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【分析】连接BD，AC，进而利用三角形中位线定理得出BD，AC，进而利用菱形的性质解答即可．
【解答】解：连接BD，AC，
∵点E，F，G分别为AB，AD，CD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，FG是△ADC的中位线，
∵EF＝4，FG＝3，
∴BD＝8，AC＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，OB＝OD，OA＝OC，
∴AB＝，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，
故选：D．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直解答．
7．（3分）5个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则下列说法中正确的是（ ）
A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小 D．三个视图面积一样大
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左边看到的图形，俯视图是从上边看到的图形，可得三视图，根据三视图面积的大小，可得答案．
【解答】解：主视图是四个正方形，左视图是三个正方形，俯视图是四个正方形，
故左视图的面积最小，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左边看到的图形，俯视图是从上边看到的图形．
8．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】先将方程整理为一般式，再计算出方程根的判别式的值，从而得出答案．
【解答】解：将方程整理为一般式，得：x2+x﹣6＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（3分）如图，正方形ABCD中，AC，BD交于点O，点P为AB上一个动点，直线PO交CD于点Q，过点B作BM⊥PQ，垂足为点M，连接AM，若AB＝4，则AM的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】取OB的中点T，连接MT，AT，过点T作TG⊥AB于G，利用正方形的性质求出BD＝AB＝4，BO＝DO＝2，由△BGT是等腰直角三角形，得到BG，求出AG，利用勾股定理求出AT，再求出TM，根据AM≥AT﹣TM，求出AT的最小值．
【解答】解：如图，取OB的中点T，连接MT，AT，过点T作TG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∠ABD＝45°，
∴BD＝AB＝4，BO＝DO＝2，
∴BT＝TO＝，
∵△BGT是等腰直角三角形，
∴BT＝GT＝1，
∴AG＝AB﹣BG＝3，
∴AT＝＝＝，
∵BM⊥OM，
∴∠BMO＝90°，
∵BT＝TO，
∴TM＝BO＝，
∴AM≥AT﹣TM＝﹣，
∴AM的最小值为：﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系定理等知识，正确理解正方形的性质以及三角形三边关系是解题关键．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，1），将△AOB沿AB折叠，点O的对应点为点C，将△ABC沿x轴正方向平移得到△DEF，当DF经过点B时，点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点F作FH⊥x轴于点H．证明DA＝DB，设DA＝DB＝m，则m2＝12+（2﹣m）2，求出BD，再利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：过点F作FH⊥x轴于点H．
由翻折变换的性质可知∠OAB＝∠BAC，
由平移变换的性质可知∠FDH＝∠CAB，
∵∠FDH＝∠DAB+∠DBA，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴DA＝DB，
设DA＝DB＝m，
则m2＝12+（2﹣m）2，
∴m＝，
∴AD＝DB＝，OD＝，
∵OB∥FH，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FH＝，DH＝，
∴OH＝DH﹣OD＝﹣＝，
∴F（，），
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换，坐标与图形变化﹣对称，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请你写出一个经过点（2，2）的函数解析式 y＝，答案不唯一 ．
【分析】根据点（2，2）的坐标，用待定系数法求出函数的解析式．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，因为经过A（2，2），
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝．
故经过点（2，2）的函数解析式为y＝，答案不唯一．
【点评】本题是开放性试题，考查了待定系数法求反比例函数或一次函数的解析式．
12．（3分）计算的结果为 ．
【分析】根据分式的加减法则进行计算便可．
【解答】解：原式＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式加减法则，熟记分式加减法则是解题的关键．
13．（3分）有大小、形状、颜色完全相同的四个乒乓球，球上分别标有数字2，3，5，6，四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及这两个球上的数字之积为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，这两个球上的数字之积分别为：6，10，12，6，15，18，10，15，30，12，18，30，其中这两个球上的数字之积为奇数的结果2种，
∴这两个球上的数字之积为奇数的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（3分）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C为OA的中点，过点C作CD∥OB，交弧AB于点D，沿CD将扇形AOB上半部分折叠，则阴影部分的面积为 ．
【分析】连接OD，先求出CD＝，∠AOD＝60°，则图形ACD的面积为﹣×1×＝﹣，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OD，
∵∠AOB＝90°，CD∥OB，
∴∠OCD＝90°，
∵OA＝2，点C为OA的中点，
∴OC＝1，OD＝2，
∴CD＝，∠AOD＝60°，
∴图形ACD的面积为﹣×1×＝﹣，
∴阴影部分的面积为﹣2（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求阴影部分面积．
15．（3分）折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A＝60°，AC＝1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPD，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC时，AP的长为 或 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J．如图2中，当PD⊥BC于点J时，分别求出PB，可得结论．
【解答】解：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J．
∵∠C＝90°，AC＝1，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝，
由翻折变换的性质可知，∠D＝∠B＝30°，DM＝BM＝，
∵CM＝BM＝，
∴JM＝DM＝，
∴BJ＝BM﹣JM＝，
∴PB＝＝，
∴AP＝AB﹣PB＝2﹣＝．
如图2中，当PD⊥BC于点J时，同法可得MJ＝JC＝，
∴BJ＝，
∴PB＝＝，
∴AP＝AB﹣PB＝2﹣＝．
综上所述，AP的值为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂和立方根，再计算减法即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3﹣3
＝﹣7；
（2）由2x﹣1＜3得：x＜2，
由2﹣x＜30得：x＞﹣28，
则不等式组的解集为﹣28＜x＜2．
【点评】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（9分）开学后，为检验寒假期间学生的学习成果，王老师对自己所带的两个班进行了摸底测试，并分别从两个班各随机抽取了20名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
（1）收集数据：两个班各抽取的20名学生的成绩如表所示：
一班
98
98
92
92
92
92
92
89
89
88
88
84
83
83
79
79
78
78
69
58
二班
99
96
96
96
96
96
96
94
92
89
88
85
80
78
72
72
71
65
58
55
（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图，请补全二班的频数分布直方图；
（3）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：填空：a＝ 92 ，b＝ 88.5 ；
平均数
众数
中位数
方差
一班
85.1
a
88
89.85
二班
83.7
96
b
184.01
（4）得出结论：根据以上信息，判断 二 班寒假期间数学知识掌握得较好，理由如下： 二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班 （至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．
【分析】（2）根据表格中的数据可得完成直方图；
（3）根据众数和中位数的定义解答即可；
（4）根据表格中两个班的各种数据可得答案．
【解答】解：（2）由（1）中的表格可知，二班学生60≤x＜70的频数为1，70≤x＜80的频数为4，
补全的频数分布直方图如下图所示：
（3）由（一）班的成绩可得，
92出现次数最多，故a＝92，
第10个和第11个数分别是88分和89分，故b＝×（88+89）＝88.5，
故答案为：92，88.5；
（4）根据题目中的信息可知，二班假期中学生数学学习成果较好．
理由：二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班．
故答案为：二，二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
18．（9分）小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，）．
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BE＝CF，BC＝EF，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，
∴BE＝CF，BC＝EF，
∵∠BAD＝60°，AB＝100米，
∴AE＝50，BE＝50米，
∴CF＝50米，
∵∠DCF＝55°，
∴DF＝CF•tan55°≈123.695米，
∴BC＝EF＝AD﹣AE+DF≈200﹣50+123.695＝273.695≈273.7（米），
答：桥BC的长度约为273.7米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
19．（9分）如图，在以AB为直径的⊙O中，AC切⊙O于点A，且AC＝AB，连接BC，交⊙O于点D，作射线CO交⊙O于点E．
（1）作AM⊥CE于点M，交BC于点N，交⊙O于点F，连接BF（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，①求证：△ACM≌△BAF；②若AF＝6，求BD的长．
【分析】（1）按照题中步骤作图；
（2）①根据AAS证明全等；
②根据勾股定理求解．
【解答】解：（1）如图所示：AM即为所求；
（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AF⊥CE，
∴∠AMC＝90°，
∴∠AFB＝∠AMC．
∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠CAF+∠BAF＝∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠MAC，
∵AC＝AB，
∴△ACM≌△BAF（AAS）；
②解：连接AD，
∵△ACM≌△BAF，
∴AM＝BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，AM＝AF＝3＝BF，
∵AB＝AC＝3，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．
20．（9分）清明上河园是中国著名八朝古都河南开封的一座大型历史文化主题公园，占地600余亩，坐落在开封城风光秀丽的龙亭湖西岸．它是依照北宋著名画家张择端的传世之作《清明上河图》为蓝本建造的，于1998年10月28日正式对外开放．2021年10月，入选首批河南省中小学研学旅行实践基地拟认定名单．如图为园中一座桥，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝20m，桥拱顶点B到水面的距离是5m．按如图所示建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k．
（1）求桥拱部分对应的抛物线的解析式；
（2）某天，一艘船经过桥下，如图，船的宽度DE＝2m，船上放置长方体的集装箱，集装箱的高度CD＝EF＝1.8m，若该船恰好贴着桥拱经过桥下，求此时船的左侧点D与点O的距离．
【分析】（1）设抛物线为y＝a（x﹣10）2+5，将（0，0）代入即可求出抛物线的解析式；
（2）由集装箱的高度CD＝EF＝1.8m，可得（x﹣10）2+5＝1.8，即可解得x1＝2，x2＝18，分两种情况：当船在对称轴左侧时，点C恰好经过桥拱，DO＝2m，当船在对称轴右侧时，点F恰好经过桥拱，DO＝OE﹣DE＝16m．
【解答】解：（1）由题意得：水面宽OA是20m，桥拱顶点B到水面的距离是5m，
∴抛物线顶点B的坐标为（10，5），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣10）2+5，
将点O （0，0）代入y＝a（x﹣10）2+5得：
a（0﹣10）2+5＝0，
解得：a＝，
∴二次函数的表达式为y＝（x﹣10）2+5，
即y＝x2+x （0≤x≤20）；
（2）集装箱的高度CD＝EF＝1.8m，该船恰好贴着桥拱经过桥下，
∴（x﹣10）2+5＝1.8，
解得x1＝2，x2＝18，
∵船的宽度DE＝2m，
由题意得：当船在对称轴左侧时，点C恰好经过桥拱，此时船的左侧点D与点O的距离DO＝2（m），
当船在对称轴右侧时，点F恰好经过桥拱，此时船的左侧点D与点O的距离DO＝OE﹣DE＝18﹣2＝16（m）．
∴此时船的左侧点D与点O的距离为2m或16m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的解析式．
21．（9分）某电商根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台B型音箱的进价比A型音箱的进价多10元，用6000元购进A型音箱与用8000元购进B型音箱的台数相同．
（1）求A，B两种型号的电脑小音箱的单价；
（2）该电商计划购进A，B两种型号的电脑小音箱共100台进行销售，其中A型音箱台数不小于B型音箱台数的3倍，A型音箱每台售价35元，B型音箱每台售价48元，怎样安排进货才能使售完这100台电脑小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
（3）为满足不同顾客的需要，该电商准备新增购进进价为每台20元的C型音箱，A，B两种型号音箱仍按需购进，进价不变，A型音箱的台数是B型音箱台数的5倍，共花费20000元，则该电商至少可以购进三种型号音箱共多少台？
【分析】（1）设每台B型音箱的进价为x元，每台A型音箱的进价为（x﹣10）元，根据用6000元购进A型音箱与用8000元购进B型音箱的台数相同列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）设最大利润是w元，购进x台A型音箱，则购进（100﹣x）台B型音箱，根据总利润＝两种音响的利润之和列出函数解析式，再根据x的取值范围，由函数的性质求最值；
（3）设购进x台B型音箱，则购进5x台A型音箱，购进三种音箱共n台，然后由根据三种音响共花费20000元列出方程，得出n＝1000﹣，再由函数的性质以及n，x为正整数得出结论．
【解答】解：（1）设每台B型音箱的进价为x元，每台A型音箱的进价为（x﹣10）元，
根据题意得：＝，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣10＝30，
答：每台A型音箱的进价为30元，则每台B型音箱的进价为40元；
（2）设最大利润是w元，购A型音箱a台，则购进B型音箱（100﹣a）台，
根据题意得：w＝（35﹣30）a+（48﹣40）×（100﹣a）＝﹣3a+800，
∵A型音箱台数不小于B型音箱台数的3倍，
∴a≥3（100﹣a），
解得a≥75，
∵k＝﹣3＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝75时，W取最大值，最大值为575；
答：购进75台A型音箱，购进25台B型音箱所获利润最大，最大利润是575元；
（3）设购进x台B型音箱，则购进5x台A型音箱，购进三种音箱共n台，
根据题意，得：30×5x+40x+20（n﹣6x）＝20000，
解得n＝1000﹣，
∵n＞6x，
∴1000﹣＞6x，
∴，
∵x为正整数且为2的倍数，
∴x≤104，
∵，
∴n随x的增大而减小，
当x＝104时，n最小＝1000﹣364＝636，
答：该电商至少可以购进三种型号音箱共636台．
【点评】本题考查了一次函数和分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数解析式和方程．
22．（10分）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝6cm，AB＝8cm，M，N分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP＝xcm，PM＝y1cm，PN＝y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究的过程，请补充完整．
（1）画函数y1，y2的图象；①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1，y2与x的几组对应值：②表中m＝ 3 ，n＝ 4 ；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y1/cm
4
3.26
2.68
2.41
2.53
m
3.68
4.49
5.36
6.26
7.21
y2/cm
8.54
7.60
6.65
5.73
4.84
n
3.26
2.69
2.41
2.53
3
（2）在图2所给平面直角坐标系中描出以补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1，y2的图象；
（3）根据画出的函数y1，y2的图象，解决问题：
①函数y1的最小值是 2.4 ；
②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是 PM＝PN ；
③若△PCN为等腰三角形，则AP的长约为 6.4cm或7.0cm或7.5 cm．（保留一位小数）
【分析】（1）由勾股定理可求AC的长，由三角形中位线定理可求解；
（2）根据表格，画出函数图象；
（3）①当MP⊥AC时，PM有最小值，由锐角三角函数可求解；
②由函数图象可求解；
③分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵AD＝6cm，AB＝8cm，
∴AC＝＝＝10cm，
当x＝5时，AP＝5，即点P是AC的中点，
又∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴PM＝AD＝3cm，PN＝PN＝4cm，AM＝BM＝4cm，CN＝BN＝3cm，
∴m＝3，n＝4，
故答案为：3；4；
（2）如图所示：
（3）①当MP⊥AC时，PM有最小值，
∵sin∠BAC＝，
∴，
∴PM＝2.4，
故答案为：2.4；
②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义为PM＝PN，
故答案为：PM＝PN；
③当CN＝PC＝3cm时，则AP＝7.0cm，
当PC＝PN时，则点P在CN的垂直平分线上，过点P作PH⊥BC于H，
∴CH＝NH＝cm，PH∥AB，
∴，
∴，
∴CP＝2.5cm，
∴AP＝7.5cm；
当PN＝CN＝3cm时，过点N作NQ⊥AC于Q，
∴CQ＝PQ，
∵cos∠ACB＝，
∴CQ＝＝1.8cm，
∴AP＝AC﹣2CQ＝6.4cm，
故答案为：6.4cm或7.0cm或7.5cm．
【点评】本题是四边形综合题，考查矩形的性质，函数图象的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
23．（10分）在综合与实践课上，刘老师展示了一个情境，让同学们进行探究：情境呈现：如图1，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P为AC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接BP，点D为BP的中点，连接CD，DQ．
分别过点Q，C作QM⊥AB，CN⊥AB，垂足分别为M，N．
∵△ABC和△AQP都是等腰直角三角形，QM⊥AP，CN⊥AB，
∴，，∠QMP＝∠CND＝90°．
∵点D是BP的中点，
∴．
∴．
∴DM＝CN＝AN．
∴AM＝DN＝QM．
∴△QMD≌△DNC．
∴DQ＝DC．
特殊分析：（1）将△APQ绕点A顺时针旋转，当点P落在AB上时，如图2，探究CD与DQ的数量关系；小明同学的分析如上：填空：①小明判断△QMD≌△DNC的依据是 B （填序号）；
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
E．HL
②请判断∠CDQ的度数为 90° ；
一般研讨：（2）若将△APQ绕点A在平面内顺时针旋转，如图3，CD与DQ的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请证明；
拓展延伸：（3）若，，在△AQP绕点A旋转的过程中，当∠BAP＝60°时，请直接写出线段DQ的长．
【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质解决问题；
（2）不变化．如图1，分别过点Q，C作QM⊥AP，CN⊥AB，垂足分别为M，N，连接DM，DN．证明△QMD≌△DNC（SAS），可得结论；
（3）分两种情形：当点P在AB的下方时，如图2，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交ND的延长线于H，当点P在AB上方时，如图3，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交DN的延长线于H，分别求解即可．
【解答】解：（1）全等的理由是SAS，
∵△QMD≌△DNC，
∴∠QDM＝∠DCN，
∵∠DCN+∠CDN＝90°，
∴∠CDN+∠QDM＝90°，
∴∠CDQ＝90°，
故答案为：B；90°；
（2）不变化．
理由：如图1，分别过点Q，C作QM⊥AP，CN⊥AB，垂足分别为M，N，连接DM，DN．
由等腰直角三角形的性质可得，点M，N分别为AP，AB的中点，
又∵点D为BP的中点，∴DN，DM为△PAB的中位线，
∴DN＝AP，DM＝AB，
又∵QM＝AP，CN＝AB，
∴DN＝QM，DM＝CN，
∵DN，DM为△PAB的中位线，
∴DM∥AB，DN∥AP，
∴∠PMD＝∠PAB，∠BND＝∠PAB，
∴∠PMD＝∠BND，
∵∠QMP＝∠BNC＝90°，
∴∠PMD+∠QMP＝∠BND+∠BNC，即∠QMD＝∠DNC．
∴△QMD≌△DNC（SAS），
∴DQ＝DC；
（3）DQ的长为2或2．
理由：当点P在AB的下方时，如图2，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交ND的延长线于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC＝，CN⊥AB，
∴AB＝12，，
∵点D是BP的中点，
∴，DN∥AP，
∴∠BNH＝∠BAP＝60°，
∴∠CNH＝30°，
∴，，
∴DH＝NH﹣DN＝，
∴DC＝＝＝2，
由（2）可得：DQ＝DC＝2；
当点P在AB上方时，如图3，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交DN的延长线于H，
同理可求：DQ＝DC＝2．
综上所述，DQ＝2或2．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
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