2023年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据人民日报报道，吉林省计划在年落实粮食播种面积亩以上，比去年增加亩的目标其中这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是一个化学实验仪器漏斗，则该仪器的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图是一间外观迷人的型框架木屋，是年轻人户外度假住宿的理想选择正如其名，型木屋从正面来看呈现字母的形状，两个侧边斜屋顶变成建筑的外立面，在顶部相交于点已知、两点间的距离为米，，则木屋的侧边斜屋顶的长度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6.  如图，在中，，，以点为圆心的量角器半圆的直径和重合，零刻度落在点处即从点处开始读数，点是上一点，连接并延长交半圆于点，若，则点在量角器上显示的读数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，下列作法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点、，轴于点，轴于点，交于点若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  因式分解：______．

10.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为______ ．

11.  如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，，则 ______ 度

12.  如图，已知正六边形的边长为，以点和点为圆心画和，则图中阴影部分的面积为______ 结果保留

13.  我国古代著作九章算术中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观请问客家，大小几船？”其大意为：“清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，人刚好坐满，问：大小船各有几只？”若设有只小船，可列方程为______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点和点若点的横坐标是，则的解集为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
甲、乙两名同学去看电影，如图所示，影院恰好剩余、、、四个并排相邻的座位，甲、乙两名同学随机购买两张电影票用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学相邻而坐的概率．

17.  本小题分
吉林鲜食玉米营养丰富，口感香甜某鲜食玉米加工企业技术改进前每年可加工穗鲜食玉米，经过技术改进，平均每天加工的数量是原来的倍，若改良后加工穗鲜食玉米的时间比改进前少用天，求该企业技术改进前每天可加工鲜食玉米多少穗？

18.  本小题分
如图，在中，，点是边的中点过点、分别作与的平行线，并交于点，连接、．
求证：四边形是矩形；
当四边形是正方形，时， ______ ．

19.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点、只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
在图中，以为边作一个菱形正方形除外，菱形的顶点是格点；
在图中，以为对角线作一个菱形正方形除外，菱形的顶点是格点；
在图中，在上确定一个点，在的内部确定一个非格点，在上确定一个点，连接、，使得四边形是菱形保留作图痕迹

20.  本小题分
年新春伊始，中国电影行业迎来了期盼已久的火爆场面，满江红、流浪地球、无名、深海等一大批电影受到广大影迷的青睐如图的统计图是其中两部电影上映后前六天的单日票房信息根据以上信息，回答下列问题：
月日日的六天时间内，影片甲单日票房的中位数为______ 亿元；
求月日日的六天时间内影片乙的平均日票房精确到亿元；
对于甲、乙两部影片上映前六天的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是______ ．
影片甲的单日票房逐日增加；
影片乙的单日票房逐日减少；
通过前六天的数据比较，甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
在前六天的单日票房统计中，甲单日票房和乙单日票房之间的差值在月日达到最大．
 

21.  本小题分
科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化某兴趣小组为探究空气的温度与声音在空气中传播的速度米秒之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验如表为实验时记录的一些数据．

在如图的平面直角坐标系中，横轴为气温，纵轴为声音在空气中传播的速度米秒，描出以表格中数据为坐标的各点；
观察所描各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由；
当气温是时，求声音在空气中传播的速度；
某地冬季的室外温度是零下，小明同学看到烟花秒后才听到声响，则小明与燃放烟花地相距______ 米光的传播时间忽略不计

22.  本小题分
实践与探究：

【操作一】：如图，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点求证：≌；
【操作二】：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点的对应点是点我们发现，当矩形的邻边长度比值不同时，点的位置也不同如图，当点恰好落在折痕上时， ______ ；
【拓展】：如图，在【操作二】中点恰好落在折痕上时，点为上任意一点，连接、若，则的最小值为______ ．

23.  本小题分
如图，在平行四边形中，、是对角线，，，，点沿折线方向运动，在上的运动速度为每秒个单位长度，在上的运动速度为每秒个单位长度，点不与点和点重合，连接，作点关于所在直线的对称点，连接、设点的运动时间为秒．
线段的长为______ ；
用含的代数式表示线段的长；
当点在平行四边形内部时，求的取值范围；
连接，当时，直接写出的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线、为常数，经过点和．
求该抛物线函数表达式；
当时，求二次函数的最大值和最小值；
点为此函数图象上任意一点，横坐标为，过点作轴，交直线于点当点和点不重合时，以为边，点为直角顶点向轴负方向作等腰直角三角形．
当点到抛物线顶点纵坐标所在直线的距离是时，求的值；
当抛物线在等腰直角三角形内部包括边界的点的纵坐标之差最大值是时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
最小的数是．
故选：．
根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可．
本题考查了有理数大小比较，比较有理数大小的方法：、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；、绝对值法：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个数用科学记数法表示为．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：该仪器的主视图如下：

故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：移项得，，
系数化为得，．
在数轴上表示为：

故选：．
先根据不等式的基本性质求出其解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

由题意得：，
米，
在中，，
米，
故选：．
过点作，垂足为，根据题意可得：，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，简单组合体的三视图，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，以点为圆心的量角器半圆的直径和重合，
点在以点为圆心的圆上，
，
，
，
，
，
点在量角器上的读数为．
故选：．
根据，以点为圆心的量角器半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得，所以求得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求解．
本题考查了圆周角的定理与等腰直角三角形，掌握圆周角定理是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：到和两边的距离相等的点在的角平分线上．
故选：．
根据到和两边的距离相等的点在的角平分线上，判断即可．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点、，
，，
，，
，，，，
，，
，，
，
，
解得．
故选：．
把点和点的坐标分别代入反比例函数，得到，，从而得到，，，，进一步得到，，由，得到，求得．
本题主要考查反比例函数上点的特征，由点的坐标转化为线段的长度是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
；
则的最小整数值为．
故答案为：．
根据一元二次方程根的存在性，利用根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根求解即可．
本题考查一元二次方程根的存在性知识；熟练掌握利用根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．确定一元二次方程根的存在性是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，
，
，
．
故答案为：．
由根据两直线平行，同位角相等得到的度数，再根据互余的定义得到的度数．
本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由正多边形每个内角公式可得：；
，
；
则阴影部分面积为：．
故答案为：．
首先确定正多边形的内角的度数，然后求得扇形的面积，从而求得阴影部分的面积即可．
考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算，解题的关键是首先求得正多边形的内角的度数，难度不大．
 

13.【答案】 

【解析】解：所有人共坐了只船，其中有只小船，
有只大船．
根据题意得：．
故答案为：．
由大、小船数量间的关系，可得出有只大船，根据只船刚好坐满人，可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线和直线交于点，且点的横坐标是，
，，
，
，
，
，
，即，
，
．
故答案为：．
根据两函数图象的交点的横坐标是，可得等式，化简得，将其代入所求不等式中得，两边同时除得，解此一元二次不等式即可．
本题考查二次函数与不等式，利用交点的横坐标为得到是解题关键．二次函数、、是常数，与不等式的关系：函数值与某个数值之间的不等关系，一般要转化成关于的不等式，解不等式求得自变量的取值范围．利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
 

15.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两同学相邻而坐的结果有种，
甲、乙两名同学相邻而坐的概率为． 

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两同学相邻而坐的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：设该企业技术改进前每天可加工鲜食玉米穗，则技术改良后每天可加工鲜食玉米穗，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该企业技术改进前每天可加工鲜食玉米穗． 

【解析】设该企业技术改进前每天可加工鲜食玉米穗，则技术改良后每天可加工鲜食玉米穗，利用工作时间工作总量工作效率，结合改良后加工穗鲜食玉米的时间比改进前少用天，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，点是中点，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形；

四边形是正方形，，
，
，
，
．
先由，点是边的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，再由，，得出四边形为平行四边形，那么，又，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，又，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形是矩形；
因为四边形是正方形，得到，利用勾股定理，解得，进一步解答即可得解．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握定理与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图：

如图菱形即为所求；
如图菱形即为所求；
如图菱形即为所求． 

【解析】根据“四条边都相等的四边形是菱形”作图；
根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”作图；
根据“邻边相等的平行四边形是菱形”作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握菱形的判断和性质是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：影片甲单日票房从小到大排列如下：
，，，，，，
而，
月日日的六天时间内，影片甲单日票房的中位数为．
故答案为：；
亿元．
影片乙的平均票房约为亿元；
影片甲的单日票房并未逐日增加，在日、日、日有下降，故结论说法错误；
影片乙的单日票房逐日减少，故结论说法正确；
影片甲的单日票房图象比乙平缓，所以甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差，故结论说法正确；
前六天的单日票房统计中，甲单日票房和乙单日票房之间的差值分别为：
日；日；日；日；日；日，所以在前六天的单日票房统计中，甲单日票房和乙单日票房之间的差值在月日达到最大，故结论说法正确．
故答案为：．
根据中位数的概念即可得到答案；
根据平均数的定义即可得到答案；
从图象上的数据即可得到答案；通过观察图象，从图象的缓急程度可得答案；计算前六天的单日票房统计中，甲单日票房和乙单日票房之间的差值，再比较即可得到答案．
此题考查了折线统计图，中位数、平均数、方差，平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．观察统计图从统计图中获取有用信息是解决此题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：描出以表格中数据为坐标的各点如下：

各点在同一直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为，
把、分别代入得：
，
解得：，
这条直线所对应的函数表达式为；
把代入，
可得：，
当气温时时，声音在空气中得传播速度为米秒；
把代入得：
，
温度是零下，声音在空气中得传播速度为米秒，
米，
小明与燃放烟花地相距米；
故答案为：．
根据表格描点即可；
用待定系数法可得函数表达式；
把代入函数表达式可得答案；
算出速度，根据看到烟花秒后才听到声响可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

22.【答案】   

【解析】【操作一】方法一证明：四边形是矩形，
，．
由折叠得，，．
，，
．
≌；
方法二四边形是矩形，
，．
由折叠得，，．
，，
，
，，
，
．
≌；
【操作二】解：由折叠得，．
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
故答案为：；
【操作三】解：根据【操作二】可得：是的垂直平分线，
，
，
当、、共线时，最小，即为，
，
，，
，，
，
故答案为：．
【操作一】方法一：由矩形的性质得出，由折叠的性质得出，，证出则可得出结论；
方法二：证出，则可得出结论；
【操作二】由折叠得出，设，则，，由直角三角形的性质可得出答案；
【操作三】根据【操作二】可得出是的垂直平分线，证出，得出，当、、共线时，最小，即为，由勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定，理解题意，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，设交于点，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
当点与点重合时，则，
解得；
若点与点重合，
，
，
解得，
当点在上，则；
当点在上，则，
．
如图，作于点，则，
，，
，
，
点与点关于直线对称，
直线垂直平分，
，，
，
，
当点在上且点落在边上，则是等边三角形，
，
，
，
，
解得；
如图，点在上且点落在边上，
，
，
，
，
，
，
解得；
当点在上，则与重合，
点关于直线的对称点在平行四边形的外部，
综上所述，当点在平行四边形内部时，的取值范围是．
如图，作于点，则，
，
，
，
解得，
，
当点在上且点在直线上方，时，则，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
解得；
如图，当点在上且点在直线下方，时，则，
，
，
，
，
，
解得；
如图，当点在上，连接，延长交于点，
点与点关于直线对称，
直线垂直平分，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
综上所述，的值是或或．
设交于点，由勾股定理得，则，所以，则；
当点在上，则；当点在上，则，所以；
作于点，由，，得，则，由，求得，当点在上且点落在边上，则是等边三角形，则，由，得；当点在上且点落在边上，则，，则，由，得，则的取值范围是；
作于点，由，得，则，当点在上且点在直线上方，时，可证明，则，由，得；当点在上且点在直线下方，时，可证明，则，由，得；当点在上，连接，延长交于点，则，由，得，则，可求得，由，得．
此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

24.【答案】解：把、分别代入，
得：，
解得，
抛物线解析式为 ；
抛物线的解析式为，
抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，函数的最小值为顶点的纵坐标．
当时，，
当时，．
综上，当时，函数的最大值是，最小值是．
抛物线的顶点坐标为，，
当时，，
令，解得，舍；令，无实根．
当时，．
令，解得舍，；令，无实根．
综上，满足条件的的值为或；
当时，若抛物线的顶点位于等腰直角三角形内，则点的纵坐标为即可，
即，解得：或；
当时，抛物线无一点位于等腰直角三角形内，不合题意，
故；
若抛物线的顶点不在等腰直角三角形内，则这样的不存在；
当时，由于位于等腰直角三角形内的抛物线的两个边界点的纵坐标差为，则除点外的另一边界点的横坐标为，其对应的纵坐标为，
所以点的纵坐标为；
，
解得：或舍去；
综上，的值为或． 

【解析】由待定系数法可求出答案；
根据二次函数的性质可求出答案；
抛物线的顶点坐标为，，当时，，当时，解方程即可求出的值；
分时及时，由等腰直角三角形内部包括边界的点的纵坐标之差最大值是可求出答案．
本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，综合运用这些知识是解题的关键．