2023年山东省济南市长清区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省济南市长清区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个完全相同的小正方体组成的几何体，则从正面看得到的形状图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  我国自主研发的北斗系统技术世界领先，年月日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为米秒．将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将一副三角板按如图所示的方式放置，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在中国古代钱币特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，数轴上，两点表示的数分别为，，则下列结论中，错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”若要从“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中抽取两张，则恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  函数与在同一坐标系中的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点已知，，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  已知函数，当时，函数值随增大而减小，且对任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  如图，转盘中个扇形的面积都相等．任意转动转盘次，当转盘停止转动时指向两个扇形交线处时，重新转动转盘，事件“指针落在蓝色扇形中”的概率为______．

13.  一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______．

14.  定义运算法则：，例如若，则的值为          ．

15.  古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”如图“”，问题解决：如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接，若，，则图中阴影部分的面积和为        ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，，，，点在轴的正半轴上滑动，点在轴的正半轴上滑动，点，点在滑动过程中可与原点重合，下列结论：
若，两点关于对称，则；
若平分，则；
四边形面积的最大值为；
的中点运动路径的长为其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号．

三、计算题（本大题共3小题，共20.0分）

17.  计算：．

18.  解不等式组，并写出它的所有整数解．

19.  如图，中，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作，恰好与相切于点，连接，平分．
求的度数；
如果，，求线段的长度．

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证：．

21.  本小题分
某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“通讯；民法典；北斗导航；数字经济；小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有______人；
将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
最关注话题扇形统计图中的______，话题所在扇形的圆心角是______度；
假设这个小区居民共有人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？

22.  本小题分
为给人们的生活带来方便，共享单车的租赁在我市正方兴未艾图是公共自行车的实物图，图是公共自行车的车架示意图，点、、、在同一条直线上，，，，于点，座杆，且参考数据：，，

求的长；
求点到的距离结果保留整数．

23.  本小题分
年是中国农历癸卯兔年春节前，某商场进货员打算进货“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶，发现用元购进的“吉祥兔”的数量是用元购进的“如意兔”的倍，且每件“吉祥兔”的进价比“如意兔”贵了元．
“吉祥兔”、“如意兔”每件的进价分别是多少元？
为满足消费者需求，该超市准备再次购进“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶共个，“吉祥兔”售价定价为元，“如意兔”售价为元，若总利润不低于元，问最少购进多少个“吉祥兔”？

24.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

求此反比例函数的表达式及点的坐标；
在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值．
为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，请完成如下问题：

如图，若和均为等边三角形，线段与线段的数量关系是______ ；
类比探究：
如图，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
拓展应用：如图，是内一点，，，，，直接写出的长．

26.  本小题分
如图，二次函数与轴交于点，，与轴交于点．

求函数表达式及坐标；
在抛物线的对称轴上，连接、，若为以为底的等腰三角形，求点坐标．
在抛物线上且在第一象限内，过点作，轴，求的最大值并写出点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：观察几何体，从正面看到的有列，中间个正方形，下面三个正方形，
即
故选：．
观察几何体，从正面看到的有列，中间个正方形，下面三个正方形，据此即可求解．
本题考查了三视图的定义，从正面看到的是主视图，掌握三视图的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
依据一幅直角三角板的度数有，，，，据此解答即可．
主要考查了角的计算 ，比较简单．
【解答】
解：根据题意可得．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：由数轴知，，．
，故选项A错误；
，故选项B正确；
异号得负，
，，故选项C、D正确．
故选：．
先通过数轴确定、的正负，再由有理数的运算法则得结论．
本题考查了有理数的运算，掌握有理数的加减法法则、乘除法法则是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，列表如下，

由表可得，一共有种等可能性的结果，
其中抽到的两张邮票恰好是“立夏”、“秋分”的可能性有种，
抽到的两张邮票恰好是“立夏”、“秋分”的概率是，
故选：．
根据题意，可以列出表格，从而可以得到抽到的两张邮票恰好是“立夏”、“秋分”的概率．
本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，列出表格．
 

8.【答案】 

【解析】解：，当时，，
一次函数的图象与轴交于点，故B、、D错误．
故选：．
根据一次函数的图象与轴的交点即可确定正确的选项．
本题考查了一次函数与反比例函数的图象的知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出的长是解题关键．
直接利用基本作图方法得出是的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出，再利用勾股定理得出的长．
【解答】
解：过点作于点，

由作图方法可得出是的平分线，
，，
，
在和中，，
≌，
，
在中，，，
，
设，则，
故在中，
，
即，
解得：，
即的长为：．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：函数的对称轴为，而时，函数值随增大而减小，故；
和，
时，函数的最小值，
故函数的最大值在和中产生，
则，那个距远，函数就在那一边取得最大值，
，
，而，
距离更远，
时，函数取得最大值为：，
对任意的和，，相应的函数值，总满足，
只需最大值与最小值的差小于等于即可，
，
，
解得，而，
故选：．
对任意的和，，相应的函数值，总满足，只需最大值与最小值的差小于等于即可，进而求解．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，转换为最大值与最小值的差小于等于，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意知，事件“指针落在蓝色扇形中”的概率为，
故答案为：．
根据蓝色区域所占面积的比例得出结论即可．
本题主要考查几何概率的知识，熟练掌握几何概率的知识是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：多边形的每一个内角都等于，
多边形的每一个外角都等于，
边数．
故答案为：．
先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，再用除以外角的度数，即可得到边数．
此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意列出关于的一元一次方程，求出的值即可．
本题考查的是解一元一次方程，根据题意得出关于的一元一次方程是解题的关键．
【解答】
解：，
，即，解得．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：作于，交于如图：

则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，
同得：，
，，
，
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
根据矩形的性质和三角形面积得到，则，，即可求解．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证出．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，，
若，两点关于对称，，
故是正确的
设点是的中点，
则，，而和不一定相等，
和就不一定全等，
和不一定相等，
不一定是直角，
故是错误的；

，当的面积最大时，四边形的面积最大，
，
当时，的值最大，最大值为，四边形面积的最大值为，故是正确的；
如图，

斜边的中点运动路径是：以为圆心，以为半径的圆周的，
则：，
所以不正确；
故答案为：．
根据勾股定理及对称的性质求解；
利用三角形全等求解；
根据几何不等式求解；
先探究路径，再求解．
本题是三角形的综合题，考查了直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键．
 

17.【答案】解：．

 

【解析】先利用负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数，零次幂化简，最后合并即可得出结论．
此题主要考查了负指数，绝对值，特殊角的三角函数，零次幂，熟记性质是解本题的关键．
 

18.【答案】解：
由得：；
由得：；
，
该不等式组所有的整数解为：，，． 

【解析】本题考查解不等式组及求不等式组的整数解，解题的关键是掌握解不等式组的一般方法．先解出各不等式，再找出其公共解集，得到的范围，最后在求出的范围内取整数即可．
 

19.【答案】解：如图，连接
是的半径，是的切线，点是切点，

，
，
又平分，


，
；
在中，，，
，，
，
，
即，
． 

【解析】连接，，由平分，可得与间的位置关系，则；
得，由，，可求出、的长；根据平行线分线段成比例定理，得结论．
本题考查了圆的切线的性质、含角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
 

20.【答案】证明：四边形为菱形，
，．
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由菱形的性质得出，，可用证明≌，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质和菱形的性质，掌握全等三角形的判定与性质以及菱形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：调查的居民共有：人，
故答案为：．
选择的居民有：人，
选择的有：人，
补全的条形统计图如右图所示．
，
话题所在扇形的圆心角是：，
故答案为：，．
人，
答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有人． 

【解析】根据选择的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；
根据中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择和的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以得到和话题所在扇形的圆心角的度数；
根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：在中，
由勾股定理得；
过点作，垂足为．
，
在中，
，




．
答：点到的距离为． 

【解析】利用勾股定理得结论；
利用线段的和差关系先求出，再在中利用直角三角形的边角间关系求出．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：设每件“如意兔”的进价是元，则每件“吉祥兔”的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：每件“吉祥兔”的进价是元，每件“如意兔”的进价是元；
设购进个“吉祥兔”，则购进个“如意兔”，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：最少购进个“吉祥兔”． 

【解析】设每件“如意兔”的进价是元，则每件“吉祥兔”的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进的“吉祥兔”的数量是用元购进的“如意兔”的倍，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每件“如意兔”的进价，再将其代入中，即可求出每件“吉祥兔”的进价；
设购进个“吉祥兔”，则购进个“如意兔”，利用总利润每个的销售利润销售数量，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：将代入得：，
解得：，
所以，，
将代入得：，
即反比例函数的表达式为：，
联立，解得：，
所以，；

作点关于轴的对称点，
连接交轴于点，此时的周长最小，
则的最小值；

存在，理由：
设，
当点在点的右侧时，如图：

过点作轴于点，交过点和轴的平行线于点，
是以为底的等腰直角三角形，
则，，
，，
，
，，
≌，
，，
即且，
解得：，，
即点；
当在点左侧时，同理可得，
或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的周长最小，即可求解；
证明≌，得到，，即可求解；当在点左侧时，同理可解．
本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、最值问题等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

25.【答案】 

【解析】解：结论：．
理由：和均为等边三角形，
，，，
，
≌，
；

结论：．
理由：延长交的延长线于点，交于点．

，，
，，
，，
∽，
，
；

如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，

，
，
，
，
又，
∽，
，
又，
，即，
∽，
，
，
，
，
．
结论：证明≌，可得结论；
结论：延长交的延长线于点，交于点证明∽，推出，可得结论；
如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证明∽，推出，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
 

26.【答案】解：把，代入得：
，
解得：，
函数表达式为入，
令得，
的坐标为；
，
抛物线的对称轴为直线，
设，
为以为底的等腰三角形，
，
，，
，
解得，
；
过作轴交于，过作轴交于，如图：

，
直线解析式为，，
设，则，
，，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，此时，
的最大值是，点坐标为． 

【解析】把，代入，解方程组可得函数表达式为入，即得的坐标为；
求出的对称轴为直线，设，根据，有，可得；
过作轴交于，过作轴交于，由，，得直线解析式为，，设，则，表示出，，可知，而，，有，从而，根据二次函数性质即可得到答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．