2023年浙江省宁波市鄞州区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省宁波市鄞州区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列实数中，属于无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年，鄞州区以亿元跃居浙江省各县市区第一，将该数用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  要使分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某志愿者小分队年龄情况如下，则这名队员年龄的众数、中位数分别是(    )

A. 名，岁 B. 名，岁 C. 岁，岁 D. 岁，岁

6.  如图，量得一个纸杯的高为，个叠放在一起的纸杯高度为，则个纸杯叠放在一起的高度是(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  某业主贷款万元购进一台机器生产甲，乙两种产品已知甲产品的销售净利润是每个元，乙产品的销售净利润是每个元，个甲产品和个乙产品组成一套销售，设销售套能赚回这台机器的贷款，则满足的关系是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，中，，，于，是的中线要说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个三角形是(    )

A. 和 B. 和
C. 和 D. 和

9.  如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数，的图象上，连结交轴于点，作点关于轴的对称点，连结恰好经过坐标原点，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，个全等的直角三角形围出一个正方形，过点，分别作的平行线，过点，分别作的平行线得四边形若已知正方形的面积，则直接可求的量是(    )

A. 线段的长
B. 的周长
C. 线段的长
D. 四边形的面积

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  实数的立方根是______ ．

12.  在一个不透明的袋子里装着个白球、个黄球、个红球，它们除颜色不同外其余都相同，现从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为______ ．

13.  已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______ ．

14.  如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线，则的值是______ ．

15.  如图，中，，边与以为直径的相切于点，将绕点顺时针旋转，记旋转角度为，旋转过程中，的边与相切时，的值为______ ．

16.  如图，中，，，作正方形，其中顶点在边上．
若正方形的边长为，则线段的长是______ ；
若点到的距离是，则正方形的边长是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程组：．

18.  本小题分
如图，是由边长为的小正方形构成的的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹．

在图中画一个平行四边形，要求一条边长为且面积为；
在图中画一个矩形，要求一条边长为且面积为．

19.  本小题分
观察两个连续偶数的平方差：
；，，
写出第个等式，并进行证明；
问是否可以写成两个连续偶数的平方差？如果能，请写出这两个偶数；如果不能，请说明理由．

20.  本小题分
某校在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我最喜欢的球类运动”调查，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图．

请根据图中的信息，解答下列各题：
在本次调查中，一共抽取了______ 名学生，在扇形统计图中，羽毛球对应的圆心角为______ 度；
请补全条形统计图；
统计发现，该校“最喜欢篮球”的人数与“最喜欢足球”人数大约相差人，请估计全校总人数．

21.  本小题分
如图，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图是它的支架左侧平面示意图，当，在上滑槽上左右滑动时，，同时在与平行的下滑槽上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图中，中间个菱形的边长均为．

当调节至时，求两滑槽间的距离即与之间的距离；
根据生活经验，当一个身高的人，头顶与下滑槽的距离不超过时，晒衣服比较方便，若上滑槽距离地面，那么至少调整到多少度？
参考数据：，，

22.  本小题分
如图，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上点在点左侧，点在线段上，点在曲线上测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为，．
小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把，，，，这个点先描到平面直角坐标系上，记点的坐标为；点的坐标为．
请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形；
求直线，曲线的解析式；
求矩形的最大面积．
 

23.  本小题分
【基础巩固】：
如图，四边形中，平分，．
求证：；
【迁移运用】：
如图，在的条件下，取的中点，连结交于点，若，，求的长；

【解决问题】：
如图，四边形中，，，在上取点，使得，恰有若，，求四边形的面积．

24.  本小题分
如图，的直径垂直弦于点，点为上的一点，连结并延长交于点，连结，过点画交的延长线于点若的直径为，．

求的长；
如图，当时，求的正切值；
如图，设，．
求关于的函数解析式；
若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是无理数；
，，是有理数．
故选：．
根据无理数的定义进行解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
代数式有意义的条件为：，解得的取值．
本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握，对于任意一个分式，分母都不能为，否则分式无意义．
 

5.【答案】 

【解析】解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第、个数的平均数，
则这名队员年龄的中位数是岁；
岁的人数最多，有个，则众数是岁．
故选：．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
此题考查了中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：设每增加一个纸杯，高度增加，
根据题意，得，
解得，
个纸杯叠放在一起的高度为，
故选：．
设每增加一个纸杯，高度增加，根据个叠放在一起的纸杯高度为，列一元一次方程，求出的值，进一步可得个纸杯叠放在一起的高度．
本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设销售套能赚回这台机器的贷款，根据题意可得：，
故选：．
设销售套能赚回这台机器的贷款，根据题意得出不等式解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、在中，，，
则，
，是的中线，
，
为等边三角形，
的三个角和的三个角都不相等，不能说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，不符合题意；
B、的三个角和的三个角都不相等，不能说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，不符合题意；
C、为等边三角形，，
≌，不能说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，不符合题意；
D、，
，
，，
但和不全等，说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，符合题意；
故选：．
根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，掌握全等三角形的判定定理、等边三角形的判定定理、直角三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作轴于，
点、关于轴的对称，
轴，
，
，
，
∽，
，
设，，则，，，，
，
．
故选：．
作轴于，设，，则，，，，由题意可知，根据平行线分线段成比例定理得出，通过证得∽，得出，即可得出，解得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关于轴对称的点的坐标，三角形相似的判定和性质，正确表示出线段的长度是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、，过点作，，

四边形是正方形，
，
，，
，，
设，，
根据题意可知：个全等的直角三角形围出一个正方形，
≌，
，
，
已知正方形的面积，
的值已知，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
的值已知．
故选：．
连接、，过点作，，根据正方形的性质可知，由平行线的性质，可得，，设，，根据≌，可得，再根据，，可得，，证明四边形是矩形，可得，即可求出线段的长．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，特殊角三角函数，全等三角形的性质，解决本题的关键是准确作出辅助线证得四边形是矩形．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
的立方根是．
故答案为：．
根据立方根的定义解答．
本题考查了立方根的定义，找出的立方是是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：袋子里装着个白球、个黄球、个红球，
从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为．
故答案为：．
用黄球的个数除以球的总数即可．
本题考查了概率公式的应用，掌握概率所求情况数与总情况数之比是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：．
根据圆锥的侧面积的计算公式：进行计算即可．
本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：二次函数图象经过点，对称轴为直线，
点关于直线对称的点的坐标为．
当时，，
即．
故答案为：．
根据抛物线的轴对称性质得到：当与当时，所对应的值相等，据此解答．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线是关于对称轴成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当的边绕点顺时针旋转到的位置，
为的直径，是的切线，
，
旋转过程中，的边与相切时，，
当的边绕点顺时针旋转到的位置，
为的直径，是的切线，
，
，
，
综上所述，旋转过程中，的边与相切时，的值为或，
故答案为：或．
当的边绕点顺时针旋转到的位置，根据切线的性质得到，当的边绕点顺时针旋转到的位置，根据切线的性质得到，于是得到结论．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．
 

16.【答案】  

【解析】解：连接，过点作于点，如图所示：
则，
在正方形中，，，
根据勾股定理，得，
在中，，
，
，
，
设，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
解得舍去，，
，
在中，根据勾股定理，得，
故答案为：；
过点作于点，连接，，过点作于点，如图所示：
则，
，
在正方形中，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在中，，，
在正方形中，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
点到的距离是，
，
在中，，，
根据勾股定理，得，
，
，
在中，根据勾股定理，，
正方形的边长是，
故答案为：．
连接，过点作于点，根据正方形的性质，可得的长，根据等腰直角三角形的性质可得，设，在中，根据勾股定理列方程，求出的值，进一步可得的长；
过点作于点，连接，，过点作于点，先证≌，根据全等三角形的性质可得，，再证≌，根据全等三角形的性质可得，，然后再证明≌，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得，，求出的长度，根据勾股定理可得的长度，即可确定正方形的边长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
 

17.【答案】解：

；
，
，得，
，得，
．
把代入，得．
所以原方程组的解为． 

【解析】分别根据负整数指数幂的定义，绝对值的性质以及零指数幂的定义计算即可；
方程组利用加减消元法求解即可．
本题考查了有理数的加减混合运算以及解二元一次方程组，掌握相关定义、运算法则以及消元的方法是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：如图：

▱即为所求；
矩形即为所求． 

【解析】根据勾股定理及平行四边形的面积作图；
根据矩形的面积求出高，再作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握平行四边形的面积公式和性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：第个等式是：，证明如下：



，
．
可以写成两个连续偶数的平方差，这两个偶数是和，理由如下：
当时，解得，
，，
两个偶数分别为和． 

【解析】根据给定的例子可得第个等式是：，根据平方差公式的逆运算证明即可；
当时，解得，即可确定答案．
本题考查了平方差公式，规律型，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：在本次调查中，一共抽取了学生：名；
在扇形统计图中，羽毛球对应的圆心角为：．
故答案为：，；
样本中“最喜欢足球”人数有：人，
补全条形统计图如下：

最喜欢篮球的占，最喜欢篮球的占，
所以全校总人数为人．
用“最喜欢篮球”的人数除以可得样本容量；用乘“最喜欢羽毛球”所占比例可得羽毛球对应的圆心角度数；
结合的结论求出“最喜欢足球”人数，进而条形统计图；
用除以“最喜欢篮球”的人数与“最喜欢足球”人数所占百分比的差即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：如图，连接并延长交于点，延长交于点，
由题意可知，直线为中间个菱形的公共对称轴，且，，
，
，，
，
，
同理可得，
，
答：两滑槽间的距离为．
由得，
，
根据题意得，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：至少调整到． 

【解析】连接并延长交于点，延长交于点，则直线为中间个菱形的公共对称轴，且，，由，，得，则，，所以两滑槽间的距离为；
因为，所以，由，得，则，所以，则，所以，得，所以至少调整到．
此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，通过作辅助线构造出所需要的直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意，如图如下：


设直线的解析式为，
则，解得：，
则直线的解析式为：，
设曲线的表达式为：，
由点得曲线的解析式得：，
则反比例函数的表达式为：；

如图，设点的横坐标为，则点坐标为，

．
四边形是矩形，
，
点坐标为，
设矩形的面积为．
则，
当时，矩形的面积的最大值为． 

【解析】由题意即可如图；
用待定系数法即可求解；
设点坐标为，得到点坐标为，进而求解．
本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、矩形的性质、图形的面积等，有一定的综合性，难度不大．
 

23.【答案】证明：平分，
．
又，，
≌，
；
解：≌，
，．
，
，
，
∽，
．
是的中点，
．
，
；
解：如图，连结，，

，，，
≌，
，
，
，
，
．
，
．
设，由勾股定理得，
即，
解得负值舍去，
，
四边形的面积． 

【解析】利用证明≌，得；
通过等角可得，则∽，得出的长，利用等角对等边得，即可得出答案；
连结，利用可得≌，得，说明设，连结，则，列方程即可得出的长，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，连结．

直径，
，，
，即，
，
；
如图，连结，，

，
是直径，
．
在中，
，
；
如图，连结．

，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
如图，连结，，，，过点作于点，

∽，
Ⅰ，
，，
∽，
Ⅱ，
ⅠⅡ得，．
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
把代入得：
，
的值为． 

【解析】连结，由直径，得，，用勾股定理有，故DE，；
连结，，由，可得，即得，从而；
连结，证明∽，可得，即得，故；
连结，，，，过点作于点，由∽，有Ⅰ，由∽有Ⅱ，可得，从而，，即知，得，故，可得，，，，在中，，代入得的值为．
本题考查圆的综合应用，涉及勾股定理及应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．