2022-2023学年广东省惠州市惠阳四中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州市惠阳四中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式，不能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设的整数部分为，小数部分为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则等于(    )

A.   B.   C.   D.  

5.  如图，点是平面坐标系中一点，则点到原点的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    )
 

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是正方形
D. 当时，它是矩形

8.  已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，四边形中，，，于点，且四边形的面积为，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示，，分别为轴，轴上的点，为等边三角形，点 在第一象限内，且满足，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  如图，已知中，，，，那么边上的中线的长为______．

12.  如图，在矩形中，，，是上一点，将矩形沿折叠后，点落在边的点上，则的长为______．

13.  如图，在中，，，分别以，为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，，则的值为______ ．

14.  如图所示，直线经过正方形的顶点，分别过顶点、作于点、于点，若，，则的长为______．

15.  如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有______个．
 

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
求证：；
当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由．

20.  本小题分
如图，在中，，点是边的点，交于点，连接，点、、分别为、、的中点．
求证：；
当为多少度时，？并说明理由．

21.  本小题分
如图，，，，分别是边，，，的中点．
判断四边形的形状，并证明你的结论；
当，满足什么条件时，四边形是正方形．不要求证明

22.  本小题分
先阅读下面的材料，再解答下列问题．
，．
特别地，，．
当然，也可以利用，得，
．
这种变形叫做将分母有理化．
利用上述思路方法计算下列各式：
；
；
．

23.  本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒过点作于点，连接，．
求证：；
四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故与可以合并，此选项错误；
B、，故与不可以合并，此选项正确；
C、，故与可以合并，此选项错误；
D、，故与可以合并，此选项错误．
故选：．
根据二次根式的性质化简求出即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简各二次根式是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
又因为的整数部分为，小数部分为，
所以，，
所以，
故选：．
根据算术平方根得到，所以，于是可得到，，然后把与的值代入中计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，解题的关键是利用算术平方根对无理数的大小进行估算．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得，根据、的值，求出的长．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，
点的坐标是，
点到原点的距离．
故选A．
连接，在直角坐标系中，根据点的坐标是，可知的横坐标为，纵坐标为，然后利用勾股定理即可求解．
此题主要考查学生对勾股定理、坐标与图形性质的理解和掌握，解答此题的关键是明确点的横坐标为，纵坐标为．
 

6.【答案】 

【解析】解：原式

．
故选：．
先算乘法，再算加法即可．
本题考查的是实数的运算，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
 

7.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据菱形、矩形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据，即可得出，从而得出为等边三角形，利用等边三角形的面积公式和菱形的面积公式即可求出答案．
此题考查了菱形的性质．解题的关键是掌握等边三角形和菱形的面积公式．
【详解】
解：





：四边形是菱形，
，
为等边三角形，

该菱形的面积是：
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：过点作，与的延长线交于点，
则有≌，
则，，
．
故选C．
运用割补法把原四边形转化为正方形，求出的长．
本题运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求就是正方形的边长了；也可以看作将三角形绕点逆时针旋转后的图形．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴，垂足为，
由、，得，，
为等边三角形，
由勾股定理，得，
，
又
，
，
由，得，
．
故选：．
过点作轴，垂足为，根据、求、，利用勾股定理求，可得的面积，利用，列方程求．
本题考查了旋转的性质，点的坐标与线段长的关系，不规则三角形面积的表示方法及等边三角形的性质和勾股定理．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半解决此题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，明确了直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半之后此题就不难了．
由勾股定理的逆定理，判断三角形为直角三角形，再根据直角三角形的性质直接求解．
【解答】

解：，，，
，
是直角三角形，
，
故答案为．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质的应用，解此题的关键是求出和的长，题目比较典型，难度适中．
根据矩形的性质得出，，根据折叠性质得出，根据勾股定理求出即可．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
将矩形沿折叠后，点落在边的点上，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：由题意，得，，
，
，
故答案为：．
根据图形得到，，根据勾股定理可以得出结论．
此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题把全等三角形的判定和正方形的性质结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．
因为是正方形，所以，，则有，又因为、，根据易证≌，所以，，则的长可求．
【解答】
解：是正方形，
，，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：在图中，、、分别是的边、、的中点，
，，
，，，
四边形、B、是平行四边形，共有个．
在图中，、、分别是的边、、的中点，
同理可证：四边形、B、C、、、是平行四边形，共有个．

按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有个．
根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在图中，有个平行四边形；在图中，有个平行四边形；按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有个，即可解题．
本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．由特殊到一般，善于从中找出规律是关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先利用二次根式的除法法则运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

17.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
本题考查分式的混合运算及二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
 

18.【答案】解：使得，两村到站的距离相等，
．
于，于，
，
，，
，设，则．
，，
，
解得：，
．
答：站应建在离站处． 

【解析】根据土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，在和中，设出的长，可将和的长表示出来，列出等式进行求解即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，利用，得出是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
为的中点，
，
，
．

解：当时，四边形是矩形．
理由如下：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形． 

【解析】此题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质及矩形的判定等知识点的掌握情况．
根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用判定≌，从而得到；
由已知可得四边形是平行四边形，结合，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形是矩形．
 

20.【答案】证明：．
，
，
，，
，
，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
；
解：延长交于，
是的中位线，是的中位线，
，，
，
，
当时，． 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到，得到，根据三角形中位线定理证明结论；
延长交于，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

21.【答案】解：四边形是平行四边形．
证明：，分别是边，的中点，
，且，
同理：，且，
，且，
四边形是平行四边形；
当且时，四边形是正方形，
同得到四边形为平行四边形，且，，
平行四边形为正方形． 

【解析】四边形为平行四边形，利用中位线的性质验证即可；
根据原四边形对角线相等且垂直，得到中点四边形为正方形即可．
此题考查了中点四边形，以及正方形的判定，熟练掌握中位线定理是解本题的关键．
 

22.【答案】解：


；
原式


；
原式



． 

【解析】根据题意，分母有理化即可求解；
先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可；
先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可．
本题考查的是二次根式的混合运算及分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题的关键．
 

23.【答案】证明：直角中，．
，，
又在直角中，，
，
．

解：，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，
解得：，
即当时，▱是菱形．

当时，是直角三角形；或当时，是直角三角形．
理由如下：
当时，．
，
，
，
，
，
，
时，．
当时，，
四边形是平行四边形，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，，
，
解得．
综上所述，当时是直角三角形；或当时，是直角三角形． 

【解析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用表示、的长是关键，属于较难题．
利用表示出以及的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明；
易证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得的值；
分两种情况讨论即可求解．