2022-2023学年广东省揭阳市惠来县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省揭阳市惠来县九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图四个几何体中，主视图、左视图、俯视图都相同的几何体是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知一组数据，，，，，有唯一的众数，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

4.  据世卫组织年月日公布的最新统计数据，全球累计确诊新冠肺炎病例约达例，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，平分，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  给出下列命题，其中错误命题的个数是(    )
四条边相等的四边形是正方形；
四边形具有不稳定性；
有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
一组对边平行的四边形是平行四边形．

A.  B.  C.  D.

8.  甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等求甲、乙每小时各做多少个零件设甲每小时做个零件，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，线段是的直径，弦，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长是，则正方形，，，，，，的面积之和是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  从个苹果和个桔子中任选个，若选中苹果的概率是，则的值为______．

13.  已知、是方程的根，则式子的值为______ ．

14.  如图，点，是反比例函数图象上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，，______．

15.  如图，在中，，，点在边上，，垂足为点，且若，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，在中，．
作的平分线，交于点；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若，求的度数．

19.  本小题分
随着“新冠肺炎”疫情防控新十条的颁布，各地开始复工复学，某校复学后从全校师生中征集志愿者成立“防疫服务队”，设立四个“服务监督岗”：洗手监督岗，戴口罩监督岗，就餐监督岗，操场活动监督岗服务队各岗位人数条形统计图和扇形统计图如下：

该“防疫服务队”共有志愿者        人；补全条形统计图；
扇形统计图中，“操场活动监督岗”所占扇形的圆心角的数值为        ；
李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗，用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．

20.  本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，是中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，求菱形的面积．

21.  本小题分
某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知件甲种奖品和件乙种奖品共需元，件甲种奖品和件乙种奖品共需元．
求甲、乙两种奖品的单价；
根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共件，且甲种奖品不少于件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

22.  本小题分
如图，在中，，是的平分线，是上的一点，以为半径的经过点，过点作于点．
求证：≌；
求证：是的切线；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，若二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接、．
求二次函数的解析式；
若点是抛物线在第一象限上一动点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标；
如图，若点是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数为．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意；
B.球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意；
C.圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意；
D.长方体的三视图都是矩形，但个矩形的长、宽不同，故此选项不符合题意；
故选：．
根据简单几何体的三视图逐个判断即可．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：在这组已知的数据中，“”出现次，“”出现次，“”出现次，
要使这组数据有唯一的众数，因此所表示的数一定是，
故选：．
根据众数的定义，结合这组数据的具体情况进行判断即可．
本题考查众数的定义，掌握一组数据中出现次数最多的数据是这这组数据的众数是正确判断的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为的算术平方根是，即，则选项不符合题意；
B.因为，则选项不符合题意；
C.因为的平方根是，即，则选项符合题意；
D.负数没有平方根，则选项不符合题意；
故选：．
根据算术平方根和平方根的定义即可求解．
本题主要考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
，
；
故选：．
根据平行线的性质，得到：，根据角平分线平分角，得到，再根据两直线平行，同旁内角互补，求出的度数即可．
本题考查利用平行线的性质求角度．熟练掌握平行线的性质以及角平分线平分角，是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四条边相等的矩形是正方形，所以原命题是错误命题；
四边形具有不稳定性，所以原命题是正确命题；
有两个锐角对应相等的两个直角三角形相似，不一定全等，所以原命题是错误命题；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以原命题是错误命题．
故选：．
利用正方形的判定、四边形的性质、直角三角形的判定、平行四边形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：甲每小时比乙多做个，且甲每小时做个零件，
乙每小时做个零件．
根据题意得：．
故选：．
由甲、乙工作效率间的关系，可得出乙每小时做个零件，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：线段是的直径，弦，
由垂径定理可知：，
，
设与相交于点，

在中，
，
故选：．
由垂径定理可知：，由圆周角定理得：，然后再根据三角形内角和定理求出的度数即可．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可得，与的面积的和是的面积；与的面积的和是的面积；而，的面积的和是的面积．
即、、、、、、的面积之和为个的面积．
的面积是，
、、、、、、的面积之和为．
故选：．
根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：正方形，，，的面积之和等于正方形，的面积之和，正方形，的面积之和等于最大正方形的面积．
本题主要考查了勾股定理，注意在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
，
，
，
经检验，是方程的解．
故答案为：．
根据概率公式得，然后利用比例性质求的值．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】 

【解析】解：、是方程的根，
，，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系得出，，求出，再代入求出答案即可．
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系内容是解此题的关键，已知一元二次方程、、为常数，的两根为，，则，．
 

14.【答案】 

【解析】解：点，是反比例函数图象上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，
，
，
，
，
故答案为：．
根据反比例函数的比例系数的几何意义得，进而便可求得结果．
本题考查了反比例函数中的几何意义，即图象上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩形面积．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，

在与中，

≌，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
连接，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】按照有理数混合运算的法则进行计算即可，需注意非零有理数的零次幂等于的法则．
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
 

17.【答案】解：，
解得，；
解得，；
不等式组的解集为：． 

【解析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，即为所求；

，平分，
，
，
，
． 

【解析】根据角平分线的尺规作图求解即可；
先由角平分线的定义得出，结合知，最后根据三角形内角和定理可得答案．
本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质及三角形内角和定理．
 

19.【答案】   

【解析】解：人，戴口罩监督岗人数为：人，补全条形统计图如图所示：
，即，
故答案为：；
用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共用种等可能出现的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的有种，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率为．
由两个统计图可知，就餐监督岗的人数是人，占调查人数的，根据频率进行计算即可；求出戴口罩的人数即可补全条形统计图；
求出操场活动监督岗所占的百分比，再根据扇形统计图中各个部分所占的百分比进而求出其对应的圆心角度数即可；
用列表法列举出所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，列表法或树状图法，列举出所有可能出现的结果是正确计算概率的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
四边形是矩形，
，，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积． 

【解析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据线段中点的定义可得，然后利用“角边角”证明和全等；根据全等三角形对应边相等可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出，即可得出结论；
根据矩形和菱形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】解：设甲种奖品的单价为元件，乙种奖品的单价为元件，
依题意，得：，
解得，
答：甲种奖品的单价为元件，乙种奖品的单价为元件．
设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元，
甲种奖品不少于件，
．
依题意，得：，
，
随值的增大而增大，
当学校购买件甲种奖品、件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是元． 

【解析】设甲种奖品的单价为元件，乙种奖品的单价为元件，根据“购买件甲种奖品和件乙种奖品共需元，购买件甲种奖品和件乙种奖品共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为，由甲种奖品不少于件，可得出关于的取值范围，再由总价单价数量，可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式．
 

22.【答案】证明：平分，
，
，，
，
，
≌；
证明：连接，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：≌，
，，
在中，，，
，
，，
，
设，
则，
在中，，
，
解得：，
． 

【解析】根据是的平分，得，即可证明全等；
要证是的切线，只要连接，再证即可；
过点作于点，根据角平分线的性质可知，由勾股定理得到的长，再根据勾股定理得出的长．
本题考查了圆的综合应用，掌握切线的判定，角平分线的性质，勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：二次函数的图象与轴交于点、，
，
解得，
；
如图，过点作轴的垂线，交于点，

在中，当时，，
，
设直线的解析式为，
将点代入，
得，
，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，的面积最大，
；
设，
当点在直线上方时，如图，过点作轴，过点作交于，

，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：或舍，
经检验，是原方程的解，
；
当点在直线上下方时，如图，过点作轴交于，

，，
，
，
∽，
，
，
解得舍或，
经检验，是原方程的解，
；
综上所述：点坐标为或 

【解析】将、代入，即可求二次函数的解析式；
过点作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，设，则，用含的代数式表示出的长，由即可用含的代数式表示出的面积，由二次函数的图象及性质可求出的面积最大时点的坐标；
设，分点在直线上方和下方两种情况，当点在直线上方时，过点作轴，过点作交于，则，可得∽，根据相似三角形的性质可求出；当点在直线上下方时，过点作轴交于，，可得∽，根据相似三角形的性质可求出
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．