人教版中考数学复习第三章函数及其图象第12课时二次函数教学课件

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考点一　二次函数的概念一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.任意一个二次函数都可化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,因此y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数的一般形式.注意:1.二次项系数a≠0;2.ax2+bx+c必须是整式;3.一次项系数可以为零,常数项也可以为零,一次项系数和常数项可以同时为零;4.自变量x的取值范围是全体实数.
考点二　二次函数的图象及性质
考点三　二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)图象的特征与a,b,c及b2-4ac的取值范围之间的关系
考点四　二次函数图象的平移抛物线y=ax2与y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k中a相同,则图象的形状和大小都相同,只是位置不同.它们之间的平移关系如下:
考点五　二次函数关系式的确定1.设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式y=ax2+bx+c(a≠0),将已知条件代入,求出a,b,c的值.2.设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将关系式化为一般式.
3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0)若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式.
考点六　二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,就变成了ax2+bx+c=0(a≠0)+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标.3.当Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个不同的公共点;当Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个公共点;当Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有公共点.4.设抛物线y=ax2+bx+c与x轴两公共点坐标分别为A(x1,0),B(x2,0),则
考点七　二次函数的应用1.二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型,这就需要认真审题、理解题意,利用二次函数解决实际问题,应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题.2.建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题,求二次函数的解析式是解题关键.
【例1】 (1)二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(　　)A.(-1,8)B.(1,8)C.(-1,2)D.(1,-4)(2)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=1,且经过点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1 y2.(填“>”“<”或“=”)
解析:(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求.
所以二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(-1,8).故选A.(2)点(-1,y1),(2,y2)不在对称轴的同一侧,不能直接利用二次函数的增减性来判断y1,y2的大小,可先根据抛物线关于对称轴的对称性,再用二次函数的增减性即可.设抛物线经过点(0,y3),因为抛物线对称轴为直线x=1,所以点(0,y3)与点(2,y2)关于直线x=1对称.则y3=y2.又a>0,所以当x<1时,y随x的增大而减小.则y1>y3.故y1>y2.
答案:(1)A　(2)>
【例2】 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2.下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有(　　)A.1个B.2个C.3个D.4个
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象判断a,b,c的符号
解析:因为对称轴为直线x=2,所以- =2,所以4a+b=0,所以①正确;因为当x=-3时,9a-3b+c<0,所以9a+c<3b,所以②错误;易知a<0,b>0,c>0,又因为4a+b=0,所以8a+7b+2c=-2b+7b+2c=5b+2c>0,所以③正确;因为当x>2时,y的值随x值的增大而减小,所以④错误.所以正确的有2个.故选B.
变式训练已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列结论:①b2-4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0.其中,正确结论的个数是(　　)A.1B.2C.3D.4
【例3】 将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线对应函数的解析式为(　　)A.y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6 D.y=(x-4)2+6解析:∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴将其图象向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,所得图象对应函数的解析式为y=(x-1-3)2+2+2,即y=(x-4)2+4.故选B.答案:B
【例4】 已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.
解法一(1)设这个抛物线对应函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).由已知抛物线经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,
解法二(1)设这个抛物线对应函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).由点A和点B的坐标,得y=a(x+2)(x-1).由点C的坐标,可得8=a×(2+2)×(2-1),解得a=2.故y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4,即所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.
【例5】 已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是(　　)A.有最小值-5,最大值0B.有最小值-3,最大值6C.有最小值0,最大值6D.有最小值2,最大值6
解析:由二次函数的图象,得当x=-5时,y=-3;当x=-2时,y=6;当x=0时,y=2.∵-5≤x≤0,∴-3≤y≤6.故选B.答案:B
【例6】 若关于x的一元二次方程(x-2)·(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:①x1=2,x2=3;②m>- ;③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是(　　)A.0B.1C.2D.3
解析:因式分解求方程的解,右边应化为0,而现在方程右边为m,所以①错误;方程可化简为x2-5x+6-m=0,则Δ=52-4(6-m)>0,可解出m>- ,所以②正确;二次函数可化简为y=x2-(x1+x2)x+x1x2+m,由根与系数的关系,x1+x2=5,x1x2=6-m,所以y=x2-5x+6-m+m,即y=x2-5x+6,则此二次函数图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0),所以③正确.故选C.
【例7】 如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.(1)求该抛物线所对应的函数解析式;(2)求△ABD的面积;(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.
解:(1)因为四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,所以点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3).
所以抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3.
(2)因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以抛物线的顶点坐标为(1,4).所以在△ABD中,AB边上的高为4,令y=0,得-x2+2x+3=0,解之得,x1=-1,x2=3,所以AB=3-(-1)=4.
(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,又由(2)可知,OA=1,所以点A的对应点G的坐标为(3,2).当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,所以点G不在该抛物线上.