人教版中考数学复习第四章几何初步知识与三角形第15课时等腰三角形教学课件

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考点一　等腰三角形1.等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形.2.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”);(3)等腰三角形是轴对称图形,它有一条对称轴.
3.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
考点二　等边三角形的性质与判定1.等边三角形的性质(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;(2)等边三角形的三条边都相等,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.2.等边三角形的判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
考点三　线段的垂直平分线1.概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.3.判定:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.
考点四　角平分线的性质及判定1.性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合.3.三角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于一点,且这一点到三角形三边的距离相等.
【例1】 如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.(1)求证:BF=2AE;(2)若CD= ,求AD的长.
(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.∴∠CAD=∠CBE.又∠CDA=∠BDF=90°,∴△ADC≌△BDF,∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.
(2)解:∵△ADC≌△BDF,
【例2】 已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度数.
分析:解决等边三角形问题时,要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60°的性质.全等是解决这类问题最常见的方法.
(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,∴△ABE≌△CAD.(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
变式训练如图,已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE.
证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵点D是AC边上的中点,∴∠ABD=∠CBD=30°.∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.又∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CED=30°.∴∠CBD=∠CED=30°.∴BD=DE.
【例3】 一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
分析:(1)由对称性可知,CD=CB,根据勾股定理求出OD,即可以求得点D的坐标;(2)由线段的垂直平分线的性质,点Q为BF的中点.由线段的垂直平分线的判定,可确定l上的另一点.
(1)如图①,将纸片沿CE对折,点B落在x轴上的点D处,求点D的坐标;(2)如图②,若将纸片沿直线l对折,点B落在x轴上的点F处,l与BF的交点为Q,若点Q的坐标是(3,2),求直线l对应函数的解析式.若点Q的坐标是(4,2),你能确定直线l对应函数的解析式吗?若能,求出其解析式;若不能,请说明理由.
解:(1)根据题意,知CD=CB=OA=5.
∴点D的坐标为(3,0).(2)过点Q作QM⊥x轴于点M.当点Q的坐标为(3,2)时,如题图,OM=3,MA=2,QM为△FAB的中位线,∴FM=2,即FA=4.而AB=4,FA=AB,而l为线段BF的垂直平分线,∴点A在直线l上.∴直线l对应函数的解析式为y=-x+5.
当点Q的坐标为(4,2)时,OM=4,MA=1,OF=3,CF=5,而CB=5,∴CF=CB.∵直线l为线段BF的垂直平分线,∴点C在直线l上.
【例4】 如图,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD,求证:(1)DF=DE;(2)AD平分∠BAC.
分析:由BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,易得∠BFD=∠CED,先证△BDF与△CDE全等得到DF=DE,再由两直角三角形全等的判定条件“HL”,证明Rt△ADF与Rt△ADE全等,便可得证AD平分∠BAC.
证明:(1)∵CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,∴∠BFD=∠CED=90°.又∠BDF=∠CDE,BD=CD,∴△BDF≌△CDE(AAS),∴DF=DE.(2)在Rt△ADF和Rt△ADE中,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴∠FAD=∠EAD,即AD平分∠BAC.