2023届河北省邯郸市高三三模数学试题（保温卷）

邯郸市2023届高三年级保温试题

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．   1              14．               15．  2024            16．  

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）（2）3

【解析】（1）因为，所以. …………2分

又故由正弦定理得，，故有.  ……………4分

（2）选择条件①：

在中，由余弦定理得，

即，故.        ……………………………………6分

又因为

所以                     ……………………………………8分

当且仅当时，等号成立.

故的最大值为3.                             ………………………………………10分

选择条件②：

由题，平方得，  ……………………………………6分

在中，由余弦定理得，

即，所以.          …………………………………8分

故有

从而，当且仅当时，等号成立.     

故的最大值为3.                                    ………………………………………10分

18．【答案】（1）；（2）不存在

【解析】（1）由题意，

两式相减可得，，即      ……………………………………………2分

由条件，，故．       ……………………………………………4分

因此是以1为首项，4为公比的等比数列.        

从而．                           ……………………………………………6分

（2）由题意，，如果满足条件的存在，

则其中，即，      ……………………………………9分

又，故，可得，结合

可得，与已知矛盾，所以不存在满足条件的三项．       ………………………………12分

19．【答案】（1）2 （2）．

【解析】（1）在中，，且为中点，

所以，

又因为，，所以平面．             ……………………………2分

所以，

则，因为的面积为，

所以，又，故．                  ……………………………4分

则的面积为，设到平面的距离为，

所以，即．                                   ……………………………6分

（2）作交平面于点，因为，，

所以≌，所以.

又，，故≌，故，则在的延长线上．

因为，，，所以平面．

因为平面，所以，

所以四边形为正方形．                                       ………………………7分

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐

标系，

则、、、，

设平面的法向量为，

由，得

取，得，则，   ……………9分

设平面的法向量为，

由，得，取，则，            

，                              ………………………11分

设二面角的平面角为，则，

所以平面与平面夹角的余弦值是．                     ………………………12分

20．【答案】（1） （2）．

【解析】（1）设曲线的方程为，由曲线过点两点，得，

解得，所以曲线的方程为；              …………………………………4分

（2）由题意可知过点的直线的方程为，设

由消去，得

则，解得且    ①

                                                       ………………………………………6分

设则有   ②

设直线的方程为，令得，

所以直线与轴交点的坐标为.              ………………………………………7分

同理可得直线的方程为，令得，

所以直线与轴交点的坐标为.              ………………………………………8分

由题意可知，

即，

即

所以    ③              …………………………………10分

将②代入③得

整理得，                                    ………………………………11分

所以满足①式，综上，.                    ………………………………12分

21．【答案】（1）（2）略

【解析】（1）由题意，，

因为在单调递增，所以在恒成立．  

即在恒成立，                                …………………………2分

令，

则，在上恒小于等于0，              

故在单调递减，  

故．                                                     …………………………4分

（2）有两个零点，即有两个根.

由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，且.

所以，且.                                      …………………………6分

要证，只需证，又在单调递减，只需证.

又， 只需证.

只需证；

只需证，                                    ………………………………8分

记，则，         …………………………10分

故在上单调递减，                               

从而当时，，

所以，因此.                                      …………………………12分

22．【答案】（1） （2）；9

【解析】（1）根据题意，可取1，2，3

，，       ………………………………2分

所以                    ………………………………3分

由得，又

所以的取值范围是                                     ………………………………4分

（2）（i），其中

所以的数学期望为

                     ………………………………6分

设利用错位相减可得

所以

………………………………9分

另解：

                          ………………………………9分

(ii)依题意，，即，即

故的最小值为9．                                          ………………………………12分