专题九 概率与统计——2023届高考数学公式定律速记清单

专题九 概率与统计——2023届高考数学公式定律速记清单

（一）排列组合与二项式定理

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

3．两个计数原理的比较

4.排列、组合的应用

 (1)排列数公式：

 (2)组合数公式：

5.二项式定理：

①定理内容：=

②通项公式：．

6.组合数的性质：

①；

②；

③；

④．

7.二项式系数的有关性质：

①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即

②若，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，

奇数项系数和为，

偶数项系数之和为．

（二）概率，随机变量及分布列   

1．随机事件的概率

(1)随机事件的概率范围：； 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0．

2．古典概型的概率

P(A)＝

3.条件概率

在事件A发生的条件下事件B发生的概率：　.

4..互斥事件与对立事件

(1)对立事件是互斥事件，互斥事件未必是对立事件．

(2)如果事件A，B互斥，那么事件发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即.这个公式称为互斥事件的概率加法公式．

(3)在一次试验中，对立事件A和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有 1－P(A)．

5.．相互独立事件同时发生的概率

若A，B为相互独立事件，则．

6..独立重复试验

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为.

7.超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝

，，其中，且.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n．

（三）离散型随机变量的分布列

1. 离散型随机变量的分布列

(1)设离散型随机变量X可能取的值为取每一个值xi的概率为，则称表：

为离散型随机变量X的分布列．

(2)为X的均值或数学期望(简称期望)，反应X的平均水平．

(3)D(X)为随机变量X的方差．

叫标准差，它们均反映X的离散程度．

2.正态分布

正态曲线的定义：函数，，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

3.重要公式与性质

（一）离散型随机变量X的分布列具有两个性质

（二）期望与方差的性质

(1)；

(2)；

(3)X服从两点分布，则．

（三）正态曲线的性质

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；

(3)曲线在处达到峰值；

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

（四）正态分布的三个常用数据

（四）统计与统计案例

1．抽样方法

三种抽样方法包括：简单随机抽样　、系统抽样、分层抽样

2．统计图表

在频率分布直方图中：

①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；

②各小矩形面积之和等于1；

③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．

3．样本的数字特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；

(2)样本平均数；

(3)样本方差；

 (4)样本标准差.

 (5)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．

(6)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．

4. 变量间的相关关系

(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系．

(2)用最小二乘法求回归直线的方程

设线性回归方程为，则．

注意：回归直线一定经过样本的中心点，据此性质可以解决有关的计算问题．

5.回归分析

叫做相关系数．

相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低．

6.独立性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

则，

若，则有95%的把握说两个事件有关；

若，则有99%的把握说两个事件有关；

若，则没有充分理由认为两个事件有关．