1.3二次根式（验收卷）-2023届中考数学一轮大单元复习（解析版）

1.3二次根式验收卷

注意事项：

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2022·广东·肇庆市颂德学校八年级期中）下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据二次根式的化简，二次根式的乘法分别计算并判断．

【详解】解：与不是同类项，故不能合并，故选项A不正确；

，故选项B正确；

，故选项C不正确；

，故选项D不正确；

故选：B．

【点睛】此题考查了二次根式的化简，二次根式的乘法，熟记各计算法则是解题的关键．

2．（2022·福建泉州·九年级期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可．

【详解】A、此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意；

B、，故不是最简二次根式，不符合题意；

C、，故不是最简二次根式，不符合题意；

D、，故不是最简二次根式，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，二次根式的性质，掌握最简二次根式的概念是关键．

3．（2022·上海市淞谊中学八年级期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】D

【分析】根据二次根式的性质可判断①，根据二次根式的乘法运算可判断②，根据二次根式的性质和乘法可判断③，根据同类二次根式的定义可判断④．

【详解】解：，所以①正确；

，所以②正确；

因为，则，所以③正确；

与不是同类二次根式，不能合并，所以④不正确．

故选D．

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和运算，分别将各项化简是解题的关键．

4．（2022·上海市彭浦初级中学八年级期中）等式成立的条件是（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】根据二次根式的乘法法则成立的条件为且，即可确定答案．

【详解】解：根据题意，可得，

解不等式组，得 ，

所以，等式成立的条件是．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．

5．（2022·福建莆田·八年级期中）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则BC的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据勾股定理求得的长度，然后根据线段的和差即可得到结论．

【详解】解：∵，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了勾股定理，二次根式的减法，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

6．（2022·四川·威远中学校九年级期中）计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．

【详解】解：

．

故选：A

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是关键．

7．（2022·四川省蒲江县蒲江中学八年级期中）设，则可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

故选D．

【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．

8．（2022·北京市师达中学八年级期中）如图，长方形内，两个小正方形的面积分别是18，2，则图中阴影部分的面积为（    ）

A．4 B．9 C．6 D．

【答案】A

【分析】由两个小正方形的面积分别为18、2，得出其边长分别为和，则阴影部分的长等于（﹣），宽等于的长方形，从而可得答案．

【详解】面积为18的正方形的边长为：，面积为2的正方形的边长为：，

则阴影部分面积为：×＝4，

故选：A．

【点睛】本题考查了二次根式在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大．

9．（2022·河南信阳·八年级期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积；

【详解】，，．

，

的面积；

故选A．

【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．

10．（2022·重庆八中模拟预测）如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边上，连接，且有．将沿翻折，若点D的对应点恰好落在上，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】过点E作于点，设，，根据勾股定理列方程求得，即可．

【详解】解：过点作于点，如下图：

设，，则，，

由题意可得：，，为等腰直角三角形，

又∵，

∴，

∴，，

∴，

由勾股定理可得：，

，即，解得，

，即，解得，

，

故选：D.

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上

11．（2022·湖北宜昌·八年级期中）函数中，自变量的取值范围是_____．

【答案】

【分析】根据分式分母不为、二次根式中被开方式非负，列出式子求解即可得到答案．

【详解】解：，

，解得，即自变量的取值范围是，

故答案为：．

【点睛】本题考查根据表达式求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式分母不为、二次根式中被开方式非负，是解决问题的关键．

12．（2022·上海市奉贤区钱桥学校八年级期末）化简：________．

【答案】

【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可

【详解】有意义，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法法则，掌握以上知识是解题的关键．

13．（2022·福建省福州第一中学八年级期中）的面积，底边，则底边上的高为______.

【答案】

【分析】设底边上的高为h，根据三角形的面积公式列方程求解即可．

【详解】解：设底边上的高为h，根据题意，得，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查解一元一次方程、二次根式的除法运算、三角形的面积公式，正确计算是解答的关键．

14．（2022·福建莆田·八年级期中）求值：______.

【答案】

【分析】先根据积的乘方得到原式＝，然后利用平方差公式计算．

【详解】解：原式＝

＝

＝

＝．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与幂的乘方是解决问题的关键．

15．（2022·陕西西安·八年级期末）把两个同样大小含角的直角三角尺（，，）按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若，则____________．

【答案】##

【分析】作于F，根据等腰直角三角形的性质求出AF，BF，CF，在中根据勾股定理求出，得到，在中，根据勾股定理求出，可得，即可求得

【详解】过点A作于点F，

在中，，

∴，

∴，，

∵两个同样大小的含角的三角尺，

∴，

在中，根据勾股定理得，

，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．

16．（2022·福建宁德·八年级期中）如图，在的方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有_____（填写序号）．

①的形状是直角三角形；

②的周长是；

③点B到边的距离是2；

④若点D在格点上（不与A重合），且满足，这样的D点有3个不同的位置．

【答案】①②③

【分析】根据勾股定理求出、、的长，即可判断②，再根据勾股定理的逆定理即可判断①，根据三角形面积公式即可判断③和④．

【详解】由勾股定理得：， ， ＝，

，

的形状是直角三角形，且，故结论①正确；

的周长是，故结论②正确；

设点B到边的距离是h，

由三角形面积公式得： ，  

h，故结论③正确；

，

∴D点到的距离等于A点到的距离，如图所示，

D点可以是直线m、n上的任意一点，

又∵点D在格点上（不与A重合），

∴这样的D点有 个不同的位置，故结论④错误．

故答案为：①②③．

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2022·陕西汉中·九年级期末）一矩形花坛与一圆形花坛的面积相等，矩形花坛的长为，宽为，求圆形花坛的半径．（结果化为最简二次根式）

【答案】

【分析】设圆形花坛的半径为，根据矩形花坛与一圆形花坛的面积相等，列出方程，解方程即可求解．

【详解】解：设圆形花坛的半径为，

根据题意，得：，

即，

∴，

答：圆形花坛的半径为．

【点睛】本题考查了算术平方根的应用，二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．

18．（2022·广东·深圳市龙岗区联邦学校八年级期中）计算：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（）利用二次根式的性质化简运算即可；

（）利用二次根式的性质，立方根的意义和绝对值的意义化简运算即可．

【详解】（1）原式

；

（2）原式

．

【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，立方根的意义和绝对值的意义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

19．（2022·江苏·苏州市振华中学校模拟预测）先化简，再求值：，其中是使二次根式有意义的整数值．

【答案】；

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，再根据分式的性质化简，最后根据二次根式有意义求得的值代入求解．

【详解】解：

；

∵二次根式有意义，

∴，

解得：，

∵是使二次根式有意义的整数值，

∴，

又∵分式中，，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，解不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．

20．（2022·上海市民办迅行中学八年级期中）已知代数式．

(1)当时，求代数式的值；

(2)求当x为何值时，代数式的值为0．

【答案】(1)1

(2)2

【分析】（1）先分母有理数，化简x，再把变形为，然后代入计算即可求值；

（2）根据题意先列方程，再求解一元二次方程即可．

【详解】（1）解：

，

当时，

；

（2）解：由题意，得，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了二次根式、解一元二次方程，代数式求值，掌握二次根式的运算法则、一元二次方程的解法是解决本题的关键．

21．（2022·四川·树德中学八年级期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，，且，以点为圆心，为半径作半圆，与数轴相交于点和点E，点表示的数记为，点表示的数记为．

(1)______，______；

(2)求的值；

(3)若，求的值．

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）根据勾股定理可求出的长度，从而可求出与的值．

（2）根据完全平方公式即可求出答案．

（3）先求出的值，然后根据完全平方公式即可求出答案．

【详解】（1）解：由题意可知：，，

由勾股定理可知：，

，，

，，

故答案为：，；

（2）

；

（3）由题意可知：，

．

【点睛】本题考查了在数轴上表示实数，二次根式的运算，完全平方公式，整式的运算以及勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及整式的运算法则，本题属于中等题型．

22．（2022·河南驻马店·九年级期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：

（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化．

根据阅读材料解决下列问题：

(1)化简“和谐二次根式”①_________；②_______．

(2)已知，求的值．

【答案】(1)①；②；

(2)

【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；

（2）先根据阅读材料（一）化简与的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可；

【详解】（1）解：①，

②，

（2），

，

∴，

；

【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．

23．（2022·江苏·华中师范大学苏州实验中学八年级期中）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的5倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．

(1)若一个三角形的三边长分别是1，，，这个三角形是否为“平方倍三角形”？请你作出判断并说明理由；

(2)若一个直角三角形是“平方倍三角形”，求该直角三角形的三边之比（将比值按从小到大的顺序排列）；

(3)如图，在中，，，是边上的高，若是“平方倍三角形”，求的面积．

【答案】(1)这个三角形是“平方倍三角形”，理由见解析

(2)

(3)或

【分析】（1）根据“平方倍三角形”的定义，即可求解；

（2）设直角边长为，，斜边为，根据“平方倍三角形”的定义，可得，从而得到，，即可求解；

（3）由（2）知，的三边比为，从而得到，或，，再结合勾股定理，即可求解．

【详解】（1）解：结论：这个三角形是“平方倍三角形”．

理由：，，

，

这个三角形是“平方倍三角形”．

（2）解：设直角边长为，，斜边为，

为“平方倍三角形”

，且，

，

，

，

；

（3）解：是“平方倍三角形”，

由（2）知，的三边比为，

，或，，

当，时，设，由勾股定理得，

，

解得，

，

的面积为，

当，时，设，由勾股定理得，

，

解得，

，

的面积为，

综上：的面积为或．

【点睛】本题主要考查了理解新定义，勾股定理，直角三角形的性质等，理解“平方倍三角形”的定义时解题的关键．