1.4核心考点突破训练：分式计算及应用-2023届中考数学一轮大单元复习（原卷版）
展开1.4突破训练：分式的计算及应用
类型体系
类型1：与分式有关的规律探究
典例：观察下面的变形规律：
，，……解答下面的问题：
(1)若n为正整数，请你猜想___________．
(2)若n为正整数，请你用所学的知识证明．
巩固练习
1．观察下面的等式：，，，……按上面的规律归纳出一个一般的结论______（用含n的等式表示，n为正整数）．
2．观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
根据以上规律，解决下列问题：
（1）写出第个等式：______；
（2）计算结果等于______．
3．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：
(1)计算：若n为正整数，猜想=___________
(2)
(3)若，求的值
4．附加题：观察下列等式：
，，，，
将以上三个等式两边分别相加得：
，
用你发现的规律解答下列问题：
(1)直接写出下列各式的计算结果：
①______．
②______．
(2)仿照题中的计算形式，猜想并写出：______．
(3)解方程：．
5．观察下列式子：
以上变形的过程称为“分离系数法”，可以看作是分式加减运算的逆运算，这是解决有关分式问题的一种常用的数学思想与方法，请同学们认真探索它们的规律，并回答下列问题：
(1)根据以上式子填空：
① ．
② ．
(2)按照上述规律，将分式进行“分离系数法”为常数，且；
(3)当x取哪些正整数时，分式的值为整数？
6．阅读理解并回答问题．观察下列算式：
……
(1)填空：＝ ＝ ；
(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律： ．
(3)请用（2）中的规律解方程：．
7．观察下列式子：
，，，，……
按照上面式子的规律，完成下列问题：
(1)再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子：① ，② ；
(2)设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为＝（ ）（不必写出字母的取值范围）；
(3)验证这个规律．
8．观察下列一组等式：
第①个等式：；第②个等式：；
第③个等式：；第④个等式：．
根据你观察到的规律，完成以下问题：
(1)第⑤个等式为______；
(2)用n的式子表示第个等式为______；
(3)若等式是符合上面规律的等式，27是的一个平方根，求a的值．
9．探索发现：
＝1﹣；
＝
根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)＝______；＝______；
(2)利用发现的规律计算：+…+．
10．观察下列式子，并探索它们的规律
，，，……
(1)试用正整数n表示这个规律：______；
(2)当时，试计算：
；
(3)请你尝试解方程：
11．观察下列各等式：
①；
②；
③；
④
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明其正确性．
12．观察下列等式：，，，
把以上三个等式两边分别相加得：．
这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．
(1)猜想并写出：＝______．
(2)规律应用：计算：；
(3)拓展提高：计算：．
13．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．
14．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题；
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明；
(3)计算：
15．观察下列各式：
，
(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________；
(2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，；
(3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值．
16．【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”．
例如与，
解：，
，
是的“关联分式”．
(1)【解决问题】已知分式，则 ，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．
(2)和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设的“关联分式”为B，
则，
，
．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．
(3)【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”：________．
类型2：分式的化简求值
典例：先化简：，再从一元一次不等式的解集中选择一个你喜欢的数代入求值．
巩固练习
1．已知，那么______．
2．（1）计算：；
（2）先化简，再求的值，其中是不等式的非负整数解．
3．先化简，再求值：，其中，．
4．当时，求的值．
5．先化简，再求值：，其中．
6．先化简，再求值：，从，，0，1，2中选择一个有意义的数求值．
7．求代数式的值，其中．
8．已知非零实数a、b、c、x、y、z满足，求的值．
9．先化简，再求值：，其中．
10．我们定义：如果一个代数式有最大值，就称之为“青一式”，对应的最大值称之为“青一值”．如：是“青一式”，它的“青一值”为4．
(1)以下代数式是“青一式”的有___________（请填序号）
① ② ③ ④
(2)如果实数请判断代数式是否为“青一式”？如果是，请求出它的“青一值”，如果不是，请说明理由．
(3)①已知，求“青一式”的“青一值”，并求出此时x和y满足何种条件？
②求代数式在范围内的“青一值”．
11．先化简再求值：
(1)，其中
(2)，并从，0，2中选一个合适的数代入求值．
12．已知，求代数式的值．
13．先化简，再求代数式的值，其中．
14．先化简：，再从1，，2中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
15．先化简，再求代数式的值，其中．
15．先化简，再求值：，其中．
17．先化简，再求值: ，其中．
18．先化简，再求代数式的值，其中．
19．先化简再求值：，其中
类型3：与分式有关的纠错问题
典例：学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答过程都有错误.
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.
（1）我选择哪位同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第几步开始出现错误（填序号），错误的原因是什么.
（3）请写出正确解答过程.
巩固练习
1．若，为实数且满足，，设，，有以下个结论：①若，则；②若，则下列判断正确的是( )
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
2．在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（ ）
甲同学： | 乙同学： |
A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错
3．在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（ ）
甲同学： | 乙同学： |
A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错
4．为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的方法学习分式，要求每小组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，每做对一步得10分，从哪一步出错，后面的步骤无论对错，全部不计分．某小组计算过程如下所示，该组最终得分为（ ）
………………甲
………乙
………………………丙
=—2……………………………………丁
A．10分 B．20分 C．30分 D．40分
5．乐陵市某中学八年级教师为鼓励学生合作学习设计了一个接力游戏——用合作的方式完成分式化简.规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的情况是（ ）
A．只有甲出错 B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁
6．已知 a、b 为实数且满足 a 1，b 1 ，设 M ， N ，则下列两个结论（ ）
① ab 1 时，M N ；ab 1时，M N .② 若a b 0, 则M N 0.
A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错
7．如图，是淇淇对分式化简求值的计算过程，嘉嘉看了以后说淇淇的计算步骤中有错误，则从上一步化简到下一步时，开始出错的步骤是（ ）
① ② ③ ④ |
A．① B．② C．③ D．④
8．小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上，则甲、乙两块地的撒播密度比为（ ）
A． B． C． D．
9．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
第三次操作；将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①；②当时，；③若，则；
④在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，．
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，设（），则有（ ）
A．0＜k＜ B．＜k＜1 C．1＜k＜2 D．k＞2
11．有这样一道题：“化简求值：其中．”小明误把写成，最后的计算结果也是正确的，这是什么原因？
12．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步 | 乙同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步 |
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：
13．（1）计算：．
（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：已知，求的值．
原式第一步
第二步
第三步
所代入上式，得
原式 第四步
第五步
． 第六步
任务一：填空：
①在化简步骤中，第______步是进行分式的通分．
②第_____步开始出错，这一错误的原因是______．
任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．
14．计算时，小明、小亮两位同学的解法如下：
小明： ① ② | 小亮： ③ ④ |
(1)判断：小明、小亮两位同学的解题过程有无错误？若无误，请直接跳到下一问；若有误，则找出最先出错的式子：______（填序号）．
(2)请任选一种自己喜欢的解法，完成解答．
15．（1）计算：．
（2）下面是小明同学分式化简的过程，请认真阅读并完成任务．
解：
……第一步
……第二步
．……第三步
①小明的解答过程从第______步开始出错；
②请你写出正确的解答过程．
16．请你阅读圆圆同学的解题过程，并回答所提出的问题．
计算：＋．
圆圆的解法
原式＝……①
＝……②
＝……③
问：圆圆在第 步开始出错（写出序号即可）；请你给出正确的解答过程．
17．（1）先化简，再求值，其中x为方程x2﹣4＝0的根．
（2）小刚在学习一元二次方程时，解方程2x（x﹣3）＝（3﹣x）的过程如下：
原方程可化为2x（x﹣3）＝﹣（x﹣3）．（第一步） 方程两边同时除以x﹣3，得x＝﹣．（第二步） |
小刚的解答过程是从第 步开始出错的，请写出正确的解答过程．
18．（1）解方程：①
②
（2）学习“分式”一章后，老师写出下面的一道题让同学们解答．
计算：，其中小明的解答过程如下：
解：原式 =………………（第一步）
=………………（第二步）
=………………（第三步）
=………………（第四步）
上述计算过程中，是从第 步开始出错，请写出正确的解答过程．
19．下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题．
（1）填空：
①以上化简步骤中，第 步进行的是分式的通分，通分的依据是 .即为： ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（2）请直接写出该分式化简后的正确结果：
（3）除注意上述错因外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 ……第七步 |
20．（1）计算：
（2）化简：．
小江的解答如下：
①
②
③
小江的解答过程从第______步（填“①”或“②”或“③”）开始出错，请你写出正确的解答过程．
58．下面是某同学在完成作业本（2）第5题第（2）小题的过程．
……①
……②
……③
上面的解题过程________（填“正确”或“错误”）；如果正确，请写出每一步的依据；如果有错，请写出从第几步开始出错，并写出正确的解题过程．
21．下面是小明化简的过程
解：＝ ①
＝ ②
＝﹣ ③
（1）小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步？
（2）求当x＝时原代数式的值．
22．某同学化简分式出现了错误，解答过程如下：
解：原式＝ （第一步）
＝ （第二步）
＝－ （第三步）
（1）你认为该同学的解答过程是从第几步开始出错的？
（2）写出你的解答过程．
23．计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
甲同学：
①
②
③
④
乙同学：
①
②
③
④
老师发现这两位同学的解答过程都有错误.
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.
（1）我选择________同学的解答过程进行分析. （填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________；
（3）请写出正确解答过程.
24．某学生在化简求值：，其中x＝时出现错误，解答过程如下，
原式＝ （第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
当x＝是，原式＝ （第四步）
（1）该学生解答过程从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题的正确解答过程．
25．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答都有错误．
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．
（1）我选择 同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）该同学的解答从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
（2）请重新写出完成此题的正确解答过程．
．
类型4：分式的应用问题
典例：13．有这样一段叙述：“要比较与的大小，可以先求出与的差，再看这个差是正数、负数还是0”．由此可见，要比较两个代数式的值的大小，只要考查它们的差即可．
问题：甲、乙两人两次同时去同一个商店购买水果（假设两次购水果的单价不同，分别为元，元，），甲每次购水果20千克，乙每次购水果用去20元．
（1）用含，的代数式表示：甲两次购水果共付 元；乙两次共购 千克水果；甲两次购水果的平均单价为 元/千克，乙两次购水果的平均单价为 元/千克；
（2）现规定：谁购水果的平均单价低，谁购水果的方式就合算，请你判断甲、乙两人的购水果方式哪一个更合算？并说明理由．
巩固练习
13．有这样一段叙述：“要比较与的大小，可以先求出与的差，再看这个差是正数、负数还是0”．由此可见，要比较两个代数式的值的大小，只要考查它们的差即可．
问题：甲、乙两人两次同时去同一个商店购买水果（假设两次购水果的单价不同，分别为元，元，），甲每次购水果20千克，乙每次购水果用去20元．
（1）用含，的代数式表示：甲两次购水果共付 元；乙两次共购 千克水果；甲两次购水果的平均单价为 元/千克，乙两次购水果的平均单价为 元/千克；
（2）现规定：谁购水果的平均单价低，谁购水果的方式就合算，请你判断甲、乙两人的购水果方式哪一个更合算？并说明理由．
1.4分式知识点演练（讲练）-2023届中考数学一轮大单元复习（原卷版）： 这是一份1.4分式知识点演练（讲练）-2023届中考数学一轮大单元复习（原卷版），共11页。试卷主要包含了其中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.4分式(验收卷)-2023届中考数学一轮大单元复习（原卷版）： 这是一份1.4分式(验收卷)-2023届中考数学一轮大单元复习（原卷版），共5页。
1.3核心考点突破训练：二次根式的应用-2023届中考数学一轮大单元复习（原卷版）： 这是一份1.3核心考点突破训练：二次根式的应用-2023届中考数学一轮大单元复习（原卷版），共13页。试卷主要包含了当时，化简__________，化简，如果，则________，当时，求的值等内容，欢迎下载使用。
